基于尺度空間的小波紋理描述算法的壁畫修復*

任小康，鄧琳凱

(西北師范大學計算機科學與工程學院,甘肅 蘭州 730070)

基于尺度空間的小波紋理描述算法的壁畫修復*

任小康，鄧琳凱

(西北師范大學計算機科學與工程學院,甘肅 蘭州 730070)

近年來，壁畫的數字化修復技術得到了很大的發展，但是其主要算法在圖像紋理方向的修復效果一般。為了解決這些問題，還原壁畫的原有樣貌，提出了一種簡單快速的壁畫修復算法。該算法在改進的Telea算法的基礎上，根據圖像紋理的多尺度特征性，利用小波紋理描述算法對壁畫的紋理結構進行了修復處理，運用非局部梯度算子，通過計算待修復區域的像素點的非局部梯度值并依據曲率選取的全局最優方向進行擴散，達到壁畫紋理修復的目的。實驗結果表明了該算法的有效性。

壁畫修復；Telea算法；尺度空間；小波紋理描述算法；梯度算子

1 引言

敦煌壁畫作為世界文化遺產，有較高的歷史和藝術價值。由于地處戈壁荒漠，常年風沙侵蝕，敦煌壁畫面臨著各種自然及人為因素的影響，損壞嚴重,極其嚴重地影響了其文化價值及觀賞價值。通過計算機技術對敦煌壁畫進行修復，虛擬重現敦煌壁畫的風貌，是了解敦煌藝術，對敦煌藝術的美學和歷史進行探索，更好地展示敦煌壁畫的宏偉氣勢，為敦煌藝術的發展提供更好的交流平臺，為敦煌壁畫的保護與研究開拓新方法的有效途徑。

現有壁畫修復方法主要有:Bertalmio M等[1,2]提出的基于非線性高階偏微分方程的方法；Chan T等人[3～5]提出的基于曲率驅動擴散CDD (Curvamre Driven Diffusions) 的修復模型、TV 修復模型、Euler’s Elastica修復模型;Esedoglu S等人[6]為圖像修補提出的Mumford-shah-Euler修復模型等。這些方法實質上都是求解一個描述信息擴散的偏微分方程。求解偏微分方程需要大量的迭代運算以致修復速度很慢,針對這種情況，Telea A[7]提出了一種FMM(Fast Marching Method)算法，具有較快的修復速度。該方法通過FMM來建立近似的邊界距離場，然后沿該方向通過對已知圖像值的局部加權平均得到待修補區域的值。該方法無需迭代，可以快速實現圖像修補，效果不錯，所以后期大部分的圖像修復算法[8～10]都是在該算法的基礎上進行的改進。但是，通過實驗發現這些圖像修復算法都有一個主要缺點：修補信息只沿著修補區域的幾何結構方向傳播，因此沒有考慮圖像紋理結構的信息。文獻[9,10]雖然對紋理結構進行了一定的修復，但是修復時間上有些長。對此，本文提出了基于尺度空間[11]的小波紋理描述算法的壁畫修復算法，它在一般的圖像修復算法的基礎上，根據圖像紋理的多尺度性特征，借助正交小波，對圖像進行小波分解，運用非局部梯度算子，計算待修復區域的像素點的非局部梯度值并依據曲率選取的全局最優方向進行擴散，從而保證在短時間的情況下使破損區域的紋理結構得到較好的修復，使壁畫修復效果得到很大的提高。

2 Telea算法

設Ω是圖像中待修復的區域，?Ω是待修復區域的邊界，p是該邊界上的任意一點，在點p周圍的圖像已知區域內部，選擇一個以ε為尺度的鄰域B(ε),如圖1所示。那么，p的像素值可以由鄰域B(ε)內部的像素值來近似計算得到。當尺度參數ε足夠小的時候，給定點q的像素值I(q)以及q的梯度值I(q)，那么點p的一階估計：

點p周圍的已知信息越多，其優先權越大。點p的像素值可以由式(1)計算得到：

(1)

Figure 1 Telea algorithm圖1 Telea算法

加權函數W(p,q)向待修復區域傳遞圖像邊緣細節以及其平滑區域，它在修復過程中起到關鍵作用。在這里首先取以p點為中心、大小為ε的區域作為其鄰域，然后在該鄰域中計算該點的梯度，并取前幾個最大梯度的平均作為該點梯度。然后，沿著等照度線c⊥(p)對待修復區域進行圖像信息傳遞，這樣便可以保證等照度線盡可能平滑。其計算公式為：

(2)

要修復整個Ω，需要迭代地把公式(1)應用到?Ω上的所有離散點，并不斷增加離初始邊界?Ω的距離，為了保持圖像邊緣處的邊界連續性，圖像修補應當使用圖像的等照度線盡量光滑地擴散到待修補區域的內部像素中。相對梯度向量，結構張量對于提取圖像的局部方向信息更為有效。

(3)

當λ1=λ2時為圖像的平滑區域，μ值較小；當λ1、λ2差異較大時，μ值較大。這樣，當q點位于邊緣信息比較豐富的區域，并在p點的一致性方向上，就能取得較大的權重。

最后,將計算得到的特征向量作為一致性方向向Ω內部推進其邊界，直到所有的區域被修復。但是，由于圖像不能保證當前待修復像素點的周圍有足夠多的已知像素點，所以直接利用Telea算法來修復圖像是不穩定的，當ε取值過大時會造成圖像的細節呈現不夠細膩，從而造成失真的情況。由上所述，Telea算法對于圖像修復存在一定的缺陷，并不能很好地修復圖像的紋理特征，對此提出基于尺度空間的小波紋理描述算法來對圖像的紋理信息進行修復處理。

3 紋理修復

由于圖像紋理往往表現出多尺度特征，而尺度空間理論最早出現在計算機視覺領域，其目的是模擬圖像數據的多尺度特征，其中小波變換為多尺度思想提供了一個清晰的數學框架。借助正交小波，對圖像進行小波分解，得到不同分辨率的一系列圖像。多尺度方法應用于紋理分割的基本思想就是要在低分辨率下獲得穩定的紋理特征，快速可靠地識別不同紋理區域；在高分辨率下精確定位，以得到紋理邊緣的真實位置。因此，本文采用基于尺度空間的小波紋理描述算法來對壁畫的紋理結構進行修復。

3.1 圖像的尺度空間生成

首先定義一幅二維圖像的尺度空間為：

其中,G(x,y,σ)是尺度可變高斯函數：

其中,(x，y)是空間坐標，代表圖像的像素位置；符號*表示卷積,σ是尺度空間因子，值越小表示圖像被平滑的越少，相應的尺度也就越小。大尺度對應于圖像的概貌特征，小尺度對應于圖像的細節特征。

為了有效地在尺度空間檢測到穩定的關鍵點，提出了高斯差分尺度空間DOG scale-space(Difference of Gaussi scale-space)。利用不同尺度的高斯差分核與圖像卷積生成:

(4)

選擇高斯差分函數主要有兩個原因:(1)其計算效率高；(2)其可作為尺度歸一化的拉普拉斯高斯函數σ2▽2G的一種近似。因為高斯差分函數是歸一化的高斯拉普拉斯函數的近似，所以可以從高斯差分金字塔分層結構提取出圖像中的極值點作為候選的特征點。對DOG 尺度空間每個點與相鄰尺度和相鄰位置的點逐個進行比較，得到的局部極值位置即為特征點所處的位置和對應的尺度。

3.2 小波紋理描述算法

對于紋理有損失的壁畫圖像，根據原圖的已知信息添加必要的細節。紋理區域有較強的全局相似性，對于紋理破損較嚴重的壁畫圖像，運用非局部梯度算子，通過計算待修復區域的像素點的非局部梯度值以及依據式(3)選取的全局最優方向進行擴散，達到壁畫紋理修復的目的。

利用梯度函數求得各像素點的梯度值：

(5)

其中，F是經小波重構后的四個高頻圖層，利用式(5)求出X和Y。X是F在X方向的微分，Y是F在Y方向的微分。

3.3 本文算法描述

本文算法步驟如下：

步驟1用一般的圖像修復算法(公式(1))對圖像破損區域的像素值進行計算，其中權重函數為公式(2)；

步驟2生成圖像的尺度空間，并通過公式(4)將圖像的尺度計算出來；

步驟3根據公式(5)計算出待修復區域的像素點的非局部梯度值；

步驟4將步驟1、步驟3中計算出的待修復區域像素點的權重和梯度值按照公式(3)計算得到的特征向量作為推進方向修復整個破損區域。

4 實驗結果及分析

此算法以Matlab 7.8.0作為平臺，在Windows XP操作系統上實現。實驗所用圖片均為24位bmp真彩色位圖，這里首先列舉了Telea算法和尺度空間下的小波修復算法對一些壁畫的修復實驗效果圖，如圖2所示，圖2a為要修復的壁畫；圖2b為用Telea算法得到的初步修復效果。從圖2b中可以看出，一般壁畫修復算法對于破損區域的紋理信息修復效果不好；而圖2c為尺度空間下的小波紋理描述算法對圖2b中的壁畫進行進一步的修復，從圖2c中可以看出紋理修復后的壁畫更接近原圖。圖3和圖4的實驗效果圖也說明了這點。其次，用表1列舉了文獻[8～10]與尺度空間下的小波修復算法的時間比較。通過實驗可以看出，本算法解決了人工修復、臨摹的不可重復性和不可回溯等難題，對于有劃痕及褪色、缺損的壁畫有著較好的修復功能，使古老的壁畫原貌重現在人們的面前；同時在修復時間上有了很大的改進，為今后數字化快速修復敦煌壁畫打下堅實的基礎。

Figure 2 Mural inpainting 1圖2 壁畫修復1

Figure 3 Mural inpainting 2圖3 壁畫修復2

Figure 4 Mural inpainting 3圖4 壁畫修復3

算法迭代次數修復時間/s修復像素文獻[9]算法560076880文獻[10]算法300257960本文算法1201431214

5 結束語

通過實驗可以看出，基于尺度空間的小波紋理描述算法的壁畫修復對于壁畫的色彩及紋理修復都有很好的效果，它根據小波高頻子帶特征反映圖像的紋理特性，分析小波基對圖像紋理的影響，從而提出了使用小波紋理描述算法對紋理的修復，利用小波分解變換，對低頻、高頻信息進行重構。為紋理分析提供了一種更加精細的分析方法，從而為紋理修復提供了一種依據。從實驗結果來看，本算法達到了較好的修復效果，在保持原有算法的快速性下，不僅對于缺損部分的色彩進行了修復，而且對于其紋理結構信息也進行了較好的修復。

[1] Bertalmio M，Sapiro G， Selles V，et al．Image inpainting[C]∥Proc of SIGGRAPH’00，2000：417-424．

[2] Oliveira M，Bowen B，MeKenna R，et al．Fast digital image inpainting[C]∥Proc of VIIP’01, 2001：261-266．

[3] Chan T，Shen J．Non-texture inpainting by curvamre driven diffusions[R]．CAM 00-35，Image Processing Research Group，2000．

[4] Chan T，Shen J．Mathematical models for local non-texture inpainting[J]．SIAM J Appl Math，2001，62(3)：1019-1043.

[5] Chan T, Kang S, Shen J. Euler’s elastica and curvature based inpaintings[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics, 2002, 63(2):564-592.

[6] Esedoglu S, Shen J. Digital inpainting based on the Mumford-shah-Euler image model[J]. European Journal on Applied Mathematics,2002, 13(4):353-370.

[7] Telea A．An image inpainting technique based on the fast marching method[J]．Journal of Graphics Tools，2004，9(1)：23-34．

[8] Yang You-ping,Wang Shu-wen. Based on automatic sampling GrabCut segmentation and dunhuang mural color restoration[J].Journal of Lanzhou University of Technology, 2010,36(3):114-117.(in Chinese)

[9] Yang You-ping,Wang Shu-wen. Based on Markov sampling of dunhuang mural restoration[J]. Journal of Computer Application,2010,30(7):1835-1840.(in Chinese)

[10] Yang You-ping,Wang Shu-wen.Improved algorithm based on priority of dunhuang murals complex repair damaged areas[J]. Journal of Computer Aided Design and Graphics, 2011,23(2):284-289.(in Chinese)

[11] Lowe D G.Distinctive image features from scale-invariant key-points[J].International Journal of Computer Vision, 2004,60(2):91-110.

附中文參考文獻

[8] 楊筱平，王書文.基于GrabCut分割和自動采樣的敦煌壁畫色彩修復[J].蘭州理工大學學報，2010,36(3):114-117.

[9] 楊筱平，王書文.基于馬爾可夫采樣的敦煌壁畫修復[J].計

算機應用，2010,30(7):1835-1840.

[10] 楊筱平，王書文.基于優先權改進算法的敦煌壁畫復雜破損區域修復[J].計算機輔助設計與圖形學學報，2011,23(2):284-28.

RENXiao-kang,born in 1963,professor,his research interest includes multimedia technology.

鄧琳凱(1989),女,河南輝縣人，碩士，研究方向為多媒體技術。E-mail:997953605@qq.com

DENGLin-kai,born in 1989,MS,her research interest includes multimedia technology.

Muralsinpaintingofthewavelettexturedescriptionalgorithmbasedonscalespace

REN Xiao-kang,DENG Lin-kai

(College of Computer Science and Engineering,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,China)

In recent years,murals digital restoration is greatly developed,but its main algorithms has no obvious effect on the restoration of image texture direction.In order to solve this problem and restore the original appearance of murals, we propose a simple and rapid mural repairing algorithm in which the Telea algorithm is improved. According to the multi-scale feature of image texture,the proposal repairs texture structure of murals by using the wavelet texture description algorithm. To repair the murals’ texture, nonlocal gradient operator is used to calculate the nonlocal gradient value of pixels in unrepaired areas and diffusion is performed according to the global optimal direction. The experimental results demonstrate the effectiveness of the algorithm.

mural inpainting;Telea algorithm;scale space;wavelet texture description algorithm;gradient operator

1007-130X(2014)11-2191-05

2013-04-07;

：2013-07-04

TP391.41

：A

10.3969/j.issn.1007-130X.2014.11.023

任小康(1963),男,甘肅蘭州人，教授，研究方向為多媒體技術。E-mail:renxk@nwnu.edu.cn

通信地址：730070 甘肅省蘭州市西北師范大學計算機科學與工程學院

Address:College of Computer Science and Engineering,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,P.R.China