淺析古諾雙寡頭模型的實際應用

陳迪輝 唐 杰 李博超

（河海大學，江蘇 南京210000）

納什均衡是一種策略組合，使得每個參與人的策略是對其他參與人策略的最優反應。 假設有n 個局中人參與博弈，給定其他人策略的條件下，每個局中人選擇自己的最優策略（個人最優策略可能依賴于也可能不依賴于他人的戰略），從而使自己利益最大化。所有局中人策略構成一個策略組合。 如果在一個策略組合上，當所有其他人都不改變策略時，沒有人會改變自己的策略，則該策略組合就是一個納什均衡。

古諾模型是一個簡單模型， 假定一種產品僅由兩家公司生產，且產品相同。 兩家企業相互間沒有任何勾結行為，但相互間都知道對方將怎樣行動，從而各自確定最優的產量來實現利潤最大化。

在古諾模型的基本假定：兩家企業各自生產商品產量為q1和q2，商品的價格相同且不變，表示為p=a-b*(q1+q2)，其中a，b 為常數。 商品的生產成本為邊際成本，每生產1 個單位的商品成本為c。

基于上述假定， 企業1 的利潤u1=（p-c）*q1=a*q1-b*-b*q*1q2-c*q1，企業2 的利潤u2=（p-c）*q2=a*q2-b*q1*q2-b*q22-c*q2。

對企業1 的利潤u1進行分析。由于要求q1產量下的最大利潤，對q1求導，可得極值點為q1=（a-c）/2b-q2/2。 再次求導，可知該點為極大值點，故在q2下企業1 的最佳策略q1=（a-c）/2b-q2/2。 同理，在q1下企業2 的最佳策略q2=（a-c）/2b-q1/2。

對于q1有，q2=（a-c）/b 時， 可理解為市場已飽和，q1=0， 即公司1的最佳對策為停止生產，若繼續生產，會導致產品價格低于成本價導致虧本。 當q2=0，即企業1 壟斷該產品時，q1=（a-c）/2b，此時企業1 利潤最大，稱此時的q1為壟斷產出。

考慮到兩家企業相互間知道對方將怎樣行動，企業2 的商品產量為q2，由于q1=（a-c）/2b-q2/2，可知企業1 應生產q1，企業2 知道在自己生產q2的條件下，企業1 會生產的商品產量為q1，則為了利潤最大化，企業2 應生產=（a-c）/2b-q1/2，同理，企業1 知道企業2 的想法，知道企業2 的產量為q2’，則企業1 會生產商品=（a-c）/2b-q2’/2，如此循環，可以證明，直線q1=（a-c）/2b-q2/2 與q2=（a-c）/2b-q1/2 的交點對應的商品產量即為納什均衡。 對于有，q2=（a-c）/2b-即為最佳對策，對于有，q1=（a-c）/2b-。故交點為納什均衡點。

事實上， 寡頭壟斷廠商經常發現它們自己處于一種囚徒的困境。當寡頭廠商選擇產量時，選擇壟斷利潤最大化產量，如果寡頭廠商們聯合起來形成卡特爾。卡特爾是指廠商之間為了合謀而簽訂公開和正式協議這樣一種市場結構形態。也可以說卡特爾是一種正式的串謀行為，它能使一個競爭性市場變成一個壟斷市場，每個廠商都可以得到更多的利潤。 卡特爾以擴大整體利益作為它的主要目標，為了達到這一目的，在卡特爾內部將訂立一系列的協議，來確定整個卡特爾的產量、產品價格，指定各企業的銷售額及銷售區域等。但卡特爾協定不是一個納什均衡，因為給定雙方遵守協議的情況下，每個廠商都想增加生產，以期增加自己的利潤，最后導致市場總產量增加，處于納什均衡。 結果是每個廠商都只得到納什均衡產量的利潤，而這遠小于卡特爾產量下的利潤。

上面的這個過程，與囚徒困境十分相似。 囚徒困境是兩個被捕的囚徒甲和乙之間的一種特殊博弈， 說明為什么在合作對雙方都有利時，保持合作也是困難的。 如果兩人都抵賴，各判刑一年；如果兩人都坦白，各判八年；如果兩人中一個坦白而另一個抵賴，坦白的放出去，抵賴的判十年。在這個博弈中，雙方都坦白不僅是納什均衡，而且是一個嚴格優勢對策，即不論對方如何選擇，個人的最優選擇是坦白。因為如果乙不坦白，甲坦白的話就釋放，不坦白的話就判一年，坦白比不坦白要好；如果乙坦白，甲坦白的話判八年，不坦白的話判十年，坦白仍然比不坦白要好。 這樣，坦白就是甲的上策，當然也是乙的上策。 其結果是雙方都坦白。

其實，如果甲乙都不坦白，比他們都坦白要好，誠如上面的例子，企業1 和企業2 采用卡特爾的產量比采用納什均衡點的產量總利潤要高，但這不符合個人理性，對自己不利，或者改變策略能夠獲得更大的好處，即使甲與乙、企業1 和企業2 互相協議，考慮各自的利益，也不會遵守協議。

綜上，本文以市場生產為例介紹分析了古諾雙寡頭模型，并求出了在古諾模型下的納什均衡點及最佳對策，為市場商品生產提供了依據。最后，將古諾雙寡頭模型與囚徒困境相比較，得出了古諾模型在實際生活中具有的指導意義。

［1］阿維納什·K·迪克西特,巴里·J·奈爾伯夫.策略思維[M].中國人民大學出版社,2013.

［2］阿維納什·K·迪克西特,蘇珊·斯克絲.策略博弈[M].中國人民大學出版社,2009.

［3］阿維納什·K·迪克西特.妙趣橫生博弈論[M].機械工業出版社,2009.