固定時間軌道攔截的制導方法研究

黨露, 和興鎖, 徐衛昌

(1.西北工業大學 工程力學系, 陜西 西安 710129;2.第二炮兵工程大學 士官職業技術教育學院, 山東 青州 262500)

0 引言

隨著空間技術的不斷發展和進步,人們對各類航天器的任務需求也在不斷地提高。空間攔截與交會已成為現階段航天任務中不可或缺的關鍵技術之一,特別是隨著空間軍事應用能力逐步從信息化保障向空間作戰的拓展,可以預見,軌道機動作戰無疑會成為一種新的作戰方式，從而影響未來戰爭的走向[1]。軌道攔截是軌道機動的一種。以往的研究中,軌道攔截問題多是基于沖量假設研究的,而在實際工程中,大多數軌道發動機的推力是有限的,不可能瞬間完成推進;因此沖量假設將不再滿足實際任務的需求,需要在有限推力的情況下研究軌道攔截問題。

本文在有限推力情況下,研究了攝動下的固定時間軌道攔截問題。研究中引入虛擬攔截點[2]將攝動下的軌道攔截問題轉化為二體假設下的Lambert問題進行求解,以彌補攝動項對攔截軌道的影響,達到精確攔截的目的。在求解二體Lambert問題時,使用超幾何算法對傳統的普適變量法進行改進,使得二體Lambert問題的求解更加高效。

1 二體Lambert問題的求解

軌道攔截示意圖如圖1所示。對于給定的二體Lambert問題,設初始時刻攔截器的位置矢量為r0,攔截結束時的位置矢量為rt,攔截時間為t,則攔截軌道是唯一確定的。二體假設下的Lambert問題,可以用不同的迭代算法求解[3-6]。傳統的普適變量法對初值的選取較為敏感,本文采用超幾何函數對其進行改進。改進后的方法適用于大范圍攔截(Δθ>180°)的情況,不會因為初值選取不當而導致算法不收斂。

圖1 軌道攔截示意圖Fig.1 Orbital interception

引入普適變量x,則攔截軌道的半長軸可表示為:

(1)

式中,am為燃料最省攔截軌道的長半軸。可以看出,當-11時為雙曲線。定義如下參數:

(2)

式中,s=2am=(r0+rt+c)/2。

對于橢圓攔截軌道,定義如下變量:

(3)

將式(2)和式(3)代入攔截時間方程可得：

(4)

式中,λ,η,z為x的已知函數;F(z)為超幾何函數。

其中:

利用超幾何函數求解二體Lambert問題的具體過程為:首先給定x的猜測值,由式(4)計算出相應的攔截時間t12。當t12與已知的攔截時間t的差值不滿足容許誤差限的要求時,則由牛頓迭代法得到x的新猜測值,直到計算出的攔截時間差值滿足容許誤差限要求為止。將所求得的x值代入式(5),即可求得攔截所需要的速度增量和攔截軌道的軌道參數。

(5)

用牛頓迭代法對x的猜測值進行修正,為此,將式(4)記為:

(6)

則:

(7)

式中,dη/dx,dz/dx可由式(3)得到。

其中:

2 攝動下軌道攔截問題的求解

二體Lambert問題是大氣層外遠距離固定時間攔截的基礎,其核心是通過各種迭代算法得到初始時刻變軌所需要的速度增量,而這些算法都是基于二體理論和牛頓平方反比力場假設而來。攔截器在實際飛行過程中還會受到空間各種攝動力的影響,包括J2攝動、大氣阻力攝動、太陽光壓攝動等。在這些攝動力的共同作用下,攔截器將會偏離預定的二體攔截軌道,從而導致攔截任務失敗。在地心慣性坐標系中,攔截器的運動方程為:

(8)

在求解攝動下的軌道攔截問題時,可以在實際攔截點附近引入一個虛擬攔截點,從而使問題簡化。下面介紹利用虛擬攔截點法求解軌道攔截問題的具體過程:

在發動機推力有限的情況下,攔截器不可能瞬時獲得所需要的攔截速度v1;因此,需要在攔截任務的每一個時刻用虛擬攔截點法實時求解軌道攔截問題,然后根據測軌裝置所測得的速度矢量,確定該時刻攔截器的速度增益vd。由速度增益制導方程[7]確定ac的方向使得|vd|減小。重復上述過程,直到|vd|=0時使發動機關機,此后攔截器沿著軌道運動,直到完成攔截任務。

由速度增益制導方程可知,有以下三種有限推力修正方案[7]:

(1)固定沿初始速度增益方向加速,進行速度修正;

(2)沿每個時刻的速度增益方向加速,進行速度修正;

(3)推力方向使速度增益加速度與速度增益方向相反,從而使速度增益迅速減小。

本文選用第二種有限推力修正方案。

3 仿真算例

考慮J2項攝動(比其他攝動項至少大兩個數量級)和大氣阻力攝動(小量,但由于損耗系統的能量,因此必須考慮)的影響。以低軌道衛星對高軌道目標點攔截為例進行仿真計算。假設攔截器的初始質量為200 kg,發動機比沖300 s,燃料的秒消耗量6 kg/s。初始時刻的軌道根數如表1所示,攔截時間為1 740 s,仿真結果如圖2和圖3所示。

表1 軌道根數Table 1 Orbit elements

圖2為攔截器所需速度增量的大小與攔截時間的關系曲線,可以看出所需速度增量隨著攔截時間逐漸減小,直到攔截到目標為止。圖3中，α為制導過程中發動機推力方向與初始推力方向之間的夾角,可以看出推力方向的變化很小,在修正過程中推力方向的改變量小于1°,因此,在某些情況下也可以假定發動機的推力方向恒定,從而達到簡化計算的目的。

圖2 攔截所需速度增量Fig.2 Increment of speed during interception

圖3 攔截過程中推力方向與初始推力方向的夾角Fig.3 Angel between thrust direction and the initial direction

表2為按照二體Lambert導引和虛擬攔截點法進行導引后所得到的最終脫靶量。其中,虛擬攔截點法采用不同迭代容許誤差限(100 m,10 m)。

表2 最終脫靶量Table 2 Final miss distance

從表2中可以看出,如果按照二體Lambert算法導引,最后的脫靶量為千米的量級,可見攝動因素對攔截軌道的影響非常大。因此,如果不考慮攝動因素對攔截軌道的影響,將會使攔截任務失敗。按照虛擬攔截點法進行導引后,脫靶量大大減少,當給定不同的迭代容許誤差限時,虛擬攔截點法可以達到不同的攔截精度。容許誤差限選取越小,虛擬攔截點法所能達到的攔截精度就越高,只是計算所消耗的時間會越長。

4 結束語

本文研究了攝動下的固定時間軌道攔截問題,給出了一種基于虛擬攔截點的導引算法,該算法將實際攝動下的軌道攔截問題轉化為二體Lambert問題進行求解,從而將攝動下的攔截問題簡化。仿真結果表明,虛擬攔截點法能夠有效地彌補攝動對攔截軌道的影響,按照該方法導引后,最終的攔截脫靶量為米的量級,能達到較高的攔截精度。本文的方法可以為實際軌道攔截問題提供參考,具有一定的工程參考價值。

參考文獻：

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