信賴(lài)域方法在高超聲速飛行器建模中的應(yīng)用

謝金龍, 陸宇平, 劉燕斌, 彭福軍

(1.南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院, 江蘇 南京 210016;2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所 上海市空間飛行器機(jī)構(gòu)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200030)

0 引言

NASA對(duì)高超聲速飛行器的研究已經(jīng)有很長(zhǎng)時(shí)間,但鮮有關(guān)于高超聲速飛行器建模的文獻(xiàn)。文獻(xiàn)[1]建立的首個(gè)可分析動(dòng)態(tài)氣動(dòng)推進(jìn)/氣動(dòng)彈性變形高超模型采用牛頓理論分析二維高超聲速氣動(dòng)力;2005年,美國(guó)空軍研究實(shí)驗(yàn)室提出了考慮推進(jìn)系統(tǒng)、氣動(dòng)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模塊之間相互作用的飛行器模型[2]。上述模型的建立均采用理論分析法。2009年,Colgren等[3]在之前分析的基礎(chǔ)上,結(jié)合風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)和CFD代碼分析結(jié)果,建立了高超聲速飛行器氣動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù),代表了高超聲速飛行器建模的最前沿。結(jié)構(gòu)、氣動(dòng)力系統(tǒng)和推進(jìn)系統(tǒng)之間的相互作用導(dǎo)致飛行器運(yùn)動(dòng)方程之間的耦合非常復(fù)雜。本文采用信賴(lài)域方法構(gòu)建了飛行器的曲線擬合模型,通過(guò)仿真計(jì)算驗(yàn)證了擬合模型與真實(shí)模型的相似程度。

1 吸氣式高超聲速飛行器模型

Bolender等[4]在文獻(xiàn)[1]所建模型的基礎(chǔ)上構(gòu)建了高超聲速飛行器真實(shí)模型,其縱向幾何構(gòu)型如圖1所示。基于拉格朗日公式得到高超聲速飛行器縱向動(dòng)力學(xué)模型為:

(1)

本文稱(chēng)式(1)為真實(shí)模型,為控制器設(shè)計(jì)仿真和驗(yàn)證提供了豐富的模型。為便于模型分析,需要推導(dǎo)出一個(gè)簡(jiǎn)化的曲線擬合模型,并保留真實(shí)模型的必要特性。借鑒早期剛性飛行器建模工作[5],對(duì)模型作如下近似:

(2)

圖1 高超聲速飛行器模型幾何構(gòu)型Fig.1 Geometry of the hypersonic vehicle model

其中:

CM,δe=ceδe

式中,ρ為空氣密度,可以通過(guò)查表、樣條插值擬合得到。

2 信賴(lài)域方法

飛行器模型曲線擬合的本質(zhì)即非線性規(guī)劃問(wèn)題,解決非線性規(guī)劃最簡(jiǎn)單的方法是最速下降法。最速下降法具有總體收斂性,但其收斂速度得不到保證。另一種常用的方法是牛頓法,該方法將目標(biāo)函數(shù)f(x)二次泰勒展開(kāi),并將其極小化。牛頓法保證了算法的局部收斂性,但是算法本身不具備總體收斂性[6]。為了解決這一問(wèn)題,Powell[7]于1970年提出了信賴(lài)域方法,其基本思想是以當(dāng)前迭代點(diǎn)為中心定義一個(gè)鄰域,在該鄰域內(nèi)對(duì)近似于原問(wèn)題的簡(jiǎn)單模型求極值,并將該鄰域稱(chēng)為信賴(lài)域。該方法確定一個(gè)步長(zhǎng)上界hk,并由此定義xk的鄰域Ωk:

Ωk={x|‖x-xk‖≤hk} (3)

信賴(lài)域法既有牛頓法的快速局部收斂性,又有理想的總體收斂性,同時(shí)通過(guò)控制步長(zhǎng)避免了傳統(tǒng)線搜索方法因步長(zhǎng)過(guò)大導(dǎo)致算法發(fā)散的問(wèn)題,因此在非線性?xún)?yōu)化問(wèn)題方面應(yīng)用非常廣泛。

(4)

式中,x為擬合過(guò)程的初始值;F(x)為均方差。最優(yōu)化的目標(biāo)是找到合適的x,使F(x)取最小值。最優(yōu)化的過(guò)程是在初始值x的信賴(lài)域范圍內(nèi),找到一個(gè)新的點(diǎn),使得準(zhǔn)則函數(shù)F(x)更小。本文算法為基于內(nèi)部映射牛頓算法的信賴(lài)域子空間方法[7],在信賴(lài)域范圍內(nèi)采用一個(gè)更簡(jiǎn)單的函數(shù)G來(lái)近似表達(dá)準(zhǔn)則函數(shù)F(x):

(5)

其中:

s=xi+1-xi

gi=grad(F)=(F)

式中,s為試探步,表示二次子問(wèn)題的近似解;Hf為Hessian矩陣2F(x)的對(duì)稱(chēng)近似;Di為縮放矩陣;hi為信賴(lài)域的大小。

如果Hf的特征值λ≥0,則Hf+λI是正定的,式(8)是有意義的:

‖(Hf+λI)-1s‖=h(8)

采用喬里斯基分解[8]計(jì)算試探步s;如果Hf的特征值為負(fù),則采用Hebden算法[9]計(jì)算試探步s。

3 仿真驗(yàn)證及結(jié)果分析

為了檢驗(yàn)曲線擬合模型的擬合效果,選取狀態(tài)參數(shù)取值范圍如下:α∈[-5°,+5°],Ma∈[6,12],H∈[26,30] km,δe∈[-20°,20°],Φ∈[0.1,1.0]。

3.1 模型辨識(shí)

對(duì)于吸氣式高超聲速飛行器,采用式(2)建立數(shù)學(xué)模型,但模型中CL和CD等系數(shù)的模型結(jié)構(gòu)是未知的,需要對(duì)模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行辨識(shí)。為了評(píng)估模型的準(zhǔn)確性,引入方差比率VAF。

(9)

對(duì)CL和CD使用方差比率VAF作為性能指標(biāo),觀察在模型階次為一階、二階以及二階包含交叉項(xiàng)的情況下的擬合效果。通過(guò)擬合數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),在一階情況下,升力模型VAF已經(jīng)能夠達(dá)到較高精度,而阻力模型則必須采用二階模型。在包含交叉項(xiàng)的情況下,升力模型精度有較明顯的提高,而阻力模型并不明顯。力矩模型中包含CM,α和CM,δe兩個(gè)待辨識(shí)系數(shù)。同樣使用VAF作為性能指標(biāo),觀察模型階次不同時(shí)的擬合效果。通過(guò)擬合計(jì)算發(fā)現(xiàn):CM,α為二階模型時(shí)精度較高,而CM,δe從一階模型到二階模型的精度幾乎沒(méi)有變化。

對(duì)于需要辨識(shí)模型系數(shù)βi(H,q)的推力模型結(jié)構(gòu),對(duì)比性能指標(biāo)可以看出,一階模型的精度已經(jīng)較高,而隨著模型階次的提高,所需要的參數(shù)數(shù)量顯著增加,大大增加擬合時(shí)間的同時(shí)還導(dǎo)致算法發(fā)散,因此βi(H,q)采用一階模型進(jìn)行擬合。

為了更直觀地觀察模型的擬合效果,本文采用Matlab仿真工具生成了升力系數(shù)、阻力系數(shù)、力矩系數(shù)和推力系數(shù)的擬合圖形,結(jié)果如圖2所示。

由圖2可以看出,由于采用了較好的擬合模型,擬合精度非常高,其中力矩系數(shù)和升力系數(shù)的擬合情況最好,推力系數(shù)和阻力系數(shù)的擬合存在不足,這可能是因?yàn)閿M合模型本身并不能完全反映真實(shí)模型,可以通過(guò)改變初始阻力和推力的模型形式或者改變相應(yīng)模型的系數(shù)來(lái)解決。

3.2 擬合模型的靜態(tài)特性分析

為了了解曲線擬合模型對(duì)真實(shí)模型的擬合程度,首先考察擬合模型的靜態(tài)特性。飛行器控制相關(guān)的靜態(tài)特性主要是飛行器平飛狀態(tài)下配平點(diǎn)的狀態(tài)。在Matlab環(huán)境下,對(duì)剛體氣動(dòng)模型進(jìn)行配平,其平衡狀態(tài)如表1所示。

表1 剛體模型平衡狀態(tài)Table 1 Equilibrium point of rigid model

由表1可以看出,當(dāng)飛行器在指定高度和馬赫數(shù)飛行時(shí),剛體模型的配平迎角、發(fā)動(dòng)機(jī)輸入(化學(xué)當(dāng)量比)和舵面均處于合理值,這也說(shuō)明了該構(gòu)型是合理的。

3.3 擬合模型的動(dòng)態(tài)特性分析

對(duì)于動(dòng)態(tài)特性,一般考慮對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行雅可比線性化,求出線性化系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。模型的零極點(diǎn)分布如圖3所示。

圖3 零、極點(diǎn)分布圖Fig.3 Pole/zero transmission maps

由圖3可以看出,模型短周期模態(tài)為一正一負(fù),與虛軸幾乎成鏡像分布。長(zhǎng)周期模態(tài)幾乎靠近虛軸,接近中性穩(wěn)定;同樣與虛軸幾乎成鏡象分布的傳輸零點(diǎn),則證明了尾控型飛行器的共同特征——非最小相位特性。擬合模型與真實(shí)模型的零極點(diǎn)分布非常相似,較好地捕捉到了真實(shí)模型的動(dòng)態(tài)特性。

4 結(jié)論

(1)曲線擬合模型很好地反映了真實(shí)模型升力、阻力、推力以及力矩的變化趨勢(shì),通過(guò)改善模型形式,擬合效果有可能進(jìn)一步提高。

(2)通過(guò)對(duì)擬合模型的靜、動(dòng)態(tài)特性分析發(fā)現(xiàn),擬合模型在不同狀態(tài)下的平衡點(diǎn)均在合理范圍內(nèi),說(shuō)明構(gòu)型是合理的。

(3)由模型的零極點(diǎn)分布圖可以看出,擬合模型能夠捕捉到真實(shí)模型的動(dòng)態(tài)特性。

(4)曲線擬合模型的形式比真實(shí)模型更加簡(jiǎn)單,同時(shí)能夠捕捉到真實(shí)模型的重要特性。利用簡(jiǎn)化的曲線擬合模型,后續(xù)的控制器設(shè)計(jì)將更加靈活。

參考文獻(xiàn)：

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