信賴域方法在高超聲速飛行器建模中的應用

謝金龍, 陸宇平, 劉燕斌, 彭福軍

(1.南京航空航天大學 航天學院, 江蘇 南京 210016;2.上海宇航系統工程研究所 上海市空間飛行器機構重點實驗室, 上海 200030)

0 引言

NASA對高超聲速飛行器的研究已經有很長時間,但鮮有關于高超聲速飛行器建模的文獻。文獻[1]建立的首個可分析動態氣動推進/氣動彈性變形高超模型采用牛頓理論分析二維高超聲速氣動力;2005年,美國空軍研究實驗室提出了考慮推進系統、氣動、結構動力學模塊之間相互作用的飛行器模型[2]。上述模型的建立均采用理論分析法。2009年,Colgren等[3]在之前分析的基礎上,結合風洞試驗數據和CFD代碼分析結果,建立了高超聲速飛行器氣動數據庫,代表了高超聲速飛行器建模的最前沿。結構、氣動力系統和推進系統之間的相互作用導致飛行器運動方程之間的耦合非常復雜。本文采用信賴域方法構建了飛行器的曲線擬合模型,通過仿真計算驗證了擬合模型與真實模型的相似程度。

1 吸氣式高超聲速飛行器模型

Bolender等[4]在文獻[1]所建模型的基礎上構建了高超聲速飛行器真實模型,其縱向幾何構型如圖1所示。基于拉格朗日公式得到高超聲速飛行器縱向動力學模型為:

(1)

本文稱式(1)為真實模型,為控制器設計仿真和驗證提供了豐富的模型。為便于模型分析,需要推導出一個簡化的曲線擬合模型,并保留真實模型的必要特性。借鑒早期剛性飛行器建模工作[5],對模型作如下近似:

(2)

圖1 高超聲速飛行器模型幾何構型Fig.1 Geometry of the hypersonic vehicle model

其中:

CM,δe=ceδe

式中,ρ為空氣密度,可以通過查表、樣條插值擬合得到。

2 信賴域方法

飛行器模型曲線擬合的本質即非線性規劃問題,解決非線性規劃最簡單的方法是最速下降法。最速下降法具有總體收斂性,但其收斂速度得不到保證。另一種常用的方法是牛頓法,該方法將目標函數f(x)二次泰勒展開,并將其極小化。牛頓法保證了算法的局部收斂性,但是算法本身不具備總體收斂性[6]。為了解決這一問題,Powell[7]于1970年提出了信賴域方法,其基本思想是以當前迭代點為中心定義一個鄰域,在該鄰域內對近似于原問題的簡單模型求極值,并將該鄰域稱為信賴域。該方法確定一個步長上界hk,并由此定義xk的鄰域Ωk:

Ωk={x|‖x-xk‖≤hk} (3)

信賴域法既有牛頓法的快速局部收斂性,又有理想的總體收斂性,同時通過控制步長避免了傳統線搜索方法因步長過大導致算法發散的問題,因此在非線性優化問題方面應用非常廣泛。

(4)

式中,x為擬合過程的初始值;F(x)為均方差。最優化的目標是找到合適的x,使F(x)取最小值。最優化的過程是在初始值x的信賴域范圍內,找到一個新的點,使得準則函數F(x)更小。本文算法為基于內部映射牛頓算法的信賴域子空間方法[7],在信賴域范圍內采用一個更簡單的函數G來近似表達準則函數F(x):

(5)

其中:

s=xi+1-xi

gi=grad(F)=(F)

式中,s為試探步,表示二次子問題的近似解;Hf為Hessian矩陣2F(x)的對稱近似;Di為縮放矩陣;hi為信賴域的大小。

如果Hf的特征值λ≥0,則Hf+λI是正定的,式(8)是有意義的:

‖(Hf+λI)-1s‖=h(8)

采用喬里斯基分解[8]計算試探步s;如果Hf的特征值為負,則采用Hebden算法[9]計算試探步s。

3 仿真驗證及結果分析

為了檢驗曲線擬合模型的擬合效果,選取狀態參數取值范圍如下:α∈[-5°,+5°],Ma∈[6,12],H∈[26,30] km,δe∈[-20°,20°],Φ∈[0.1,1.0]。

3.1 模型辨識

對于吸氣式高超聲速飛行器,采用式(2)建立數學模型,但模型中CL和CD等系數的模型結構是未知的,需要對模型結構進行辨識。為了評估模型的準確性,引入方差比率VAF。

(9)

對CL和CD使用方差比率VAF作為性能指標,觀察在模型階次為一階、二階以及二階包含交叉項的情況下的擬合效果。通過擬合數據發現,在一階情況下,升力模型VAF已經能夠達到較高精度,而阻力模型則必須采用二階模型。在包含交叉項的情況下,升力模型精度有較明顯的提高,而阻力模型并不明顯。力矩模型中包含CM,α和CM,δe兩個待辨識系數。同樣使用VAF作為性能指標,觀察模型階次不同時的擬合效果。通過擬合計算發現:CM,α為二階模型時精度較高,而CM,δe從一階模型到二階模型的精度幾乎沒有變化。

對于需要辨識模型系數βi(H,q)的推力模型結構,對比性能指標可以看出,一階模型的精度已經較高,而隨著模型階次的提高,所需要的參數數量顯著增加,大大增加擬合時間的同時還導致算法發散,因此βi(H,q)采用一階模型進行擬合。

為了更直觀地觀察模型的擬合效果,本文采用Matlab仿真工具生成了升力系數、阻力系數、力矩系數和推力系數的擬合圖形,結果如圖2所示。

由圖2可以看出,由于采用了較好的擬合模型,擬合精度非常高,其中力矩系數和升力系數的擬合情況最好,推力系數和阻力系數的擬合存在不足,這可能是因為擬合模型本身并不能完全反映真實模型,可以通過改變初始阻力和推力的模型形式或者改變相應模型的系數來解決。

3.2 擬合模型的靜態特性分析

為了了解曲線擬合模型對真實模型的擬合程度,首先考察擬合模型的靜態特性。飛行器控制相關的靜態特性主要是飛行器平飛狀態下配平點的狀態。在Matlab環境下,對剛體氣動模型進行配平,其平衡狀態如表1所示。

表1 剛體模型平衡狀態Table 1 Equilibrium point of rigid model

由表1可以看出,當飛行器在指定高度和馬赫數飛行時,剛體模型的配平迎角、發動機輸入(化學當量比)和舵面均處于合理值,這也說明了該構型是合理的。

3.3 擬合模型的動態特性分析

對于動態特性,一般考慮對系統進行雅可比線性化,求出線性化系統的零點和極點。模型的零極點分布如圖3所示。

圖3 零、極點分布圖Fig.3 Pole/zero transmission maps

由圖3可以看出,模型短周期模態為一正一負,與虛軸幾乎成鏡像分布。長周期模態幾乎靠近虛軸,接近中性穩定;同樣與虛軸幾乎成鏡象分布的傳輸零點,則證明了尾控型飛行器的共同特征——非最小相位特性。擬合模型與真實模型的零極點分布非常相似,較好地捕捉到了真實模型的動態特性。

4 結論

(1)曲線擬合模型很好地反映了真實模型升力、阻力、推力以及力矩的變化趨勢,通過改善模型形式,擬合效果有可能進一步提高。

(2)通過對擬合模型的靜、動態特性分析發現,擬合模型在不同狀態下的平衡點均在合理范圍內,說明構型是合理的。

(3)由模型的零極點分布圖可以看出,擬合模型能夠捕捉到真實模型的動態特性。

(4)曲線擬合模型的形式比真實模型更加簡單,同時能夠捕捉到真實模型的重要特性。利用簡化的曲線擬合模型,后續的控制器設計將更加靈活。

參考文獻：

[1] Chavez F,Schmidt D.Analytical aeropropulsive aeroelastic hypersonic vehicle model with dynamic analysis[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,1994,17(6):1308-1319.

[2] Bolender M A,Doman D B.Nonlinear longitudinal dynamical model of an air-breathing hypersonic vehicle [J].Journal of Spacecraft and Rockets,2007,44(2):374-387.

[3] Colgren R,Keshmiri S,Mirmirani M.Nonlinear ten-degree-of-freedom dynamics model of a generic hypersonic vehicle[J].Journal of Aircraft,2009,46(3):800-813.

[4] Bolender M,Doman D.A non-linear model for the longitudinal dynamics of a hypersonic air-breathing vehicle[R].AIAA-2005-6255, 2005.

[5] Wang Q,Stengel R.Robust nonlinear control of a hypersonic aircraft [J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2000,23(4):577-585.

[6] 袁亞湘,孫文瑜.最優化理論與方法[M].北京:科學出版社,1997.

[7] Powell M J D.A new algorithm for constrained optimization[M].New York:Academic Press,1970:31-66.

[8] Coleman T F,Li Yu-ying.An interior,trust region approach for nonlinear minimization subject to bounds [J].SIAM Journal on Optimization,1996,6(2):418-445.

[9] Coleman T F,Li Yu-ying.On the convergence of reflective newton methods for large-scale nonlinear minimization subject to bounds [J].Mathematical Programming,1994,67(1-3):189-224.