主從企業(yè)產(chǎn)品動態(tài)博弈的stackelberg模型

陳國光+王曦

摘要： 研究地位不同的大企業(yè)與小企業(yè)產(chǎn)量博弈模型，并在此基礎上，引入市場容量可變的概念，從而將模型推廣到多個階段，得出了主從兩企業(yè)的產(chǎn)量、利潤和價格數(shù)學表達式，通過計算和分析得到了在主從企業(yè)產(chǎn)品動態(tài)博弈中，大企業(yè)主導作用逐漸加強，主從兩企業(yè)隨著階段數(shù)增加，產(chǎn)量、利潤呈現(xiàn)不同程度下降，新增市場容量對于多階段博弈起重要作用等結論。

Abstract： The paper studies the output game model of the large and small enterprises with different status， and on this basis， introduces the market capacity variable concept， which will make this model be extended to multiple stages， and gets the mathematical expression of the output， profits and prices of the main and subordinate enterprises. Through the calculation and analysis， the paper finds that in the dynamic game of enterprise products， the leading role of large enterprise is gradually strengthening； with the increase of the stage number， the production and profits of the main and subordinate enterprises show the varying degrees of decrease； the new added market capacity plays an important role in multi-stage game.

關鍵詞： 博弈；主從企業(yè)；市場容量；stackelberg模型

Key words： game；the main and subordinate enterprises；market capacity；stackelberg model

中圖分類號：F273.2 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2014）22-0021-02

0 引言

主從企業(yè)博弈是指在一個行業(yè)內(nèi)，由少數(shù)幾個大企業(yè)處于主導地位，由它們先來制定其在行業(yè)內(nèi)的產(chǎn)量，其他小企業(yè)處于從屬地位，它們將根據(jù)大企業(yè)的產(chǎn)量來制定自己的產(chǎn)量。在企業(yè)之間相互博弈中，大企業(yè)擁有相對于小企業(yè)的生產(chǎn)優(yōu)勢，它將可能按照低于小企業(yè)產(chǎn)品成本但高于自己產(chǎn)品成本的價格提供產(chǎn)品，以達到讓小企業(yè)退出市場的目的。所以大企業(yè)為擁有相對于小企業(yè)的產(chǎn)量、利潤優(yōu)勢，而小企業(yè)為能夠在與大企業(yè)的競爭中生存下來，二者之間將采取一種主從博弈模型。

從目前的研究來看，在寡頭企業(yè)博弈過程中，對于企業(yè)之間的地位假設是無差別的。但在現(xiàn)實中，由于各種原因，可能存在市場被少數(shù)幾個企業(yè)壟斷，但是寡頭企業(yè)之間可能由于資產(chǎn)、前期投入或生產(chǎn)能力等影響，它們之間的地位也有可能是不平等的，占有優(yōu)勢的大企業(yè)可能對于整個行業(yè)的運作都起到重要作用，而小企業(yè)將根據(jù)大企業(yè)的策略制定自己的策略。對于這種類型企業(yè)之間的博弈將是本文研究重點。同時企業(yè)博弈將不是一次性的過程，一些產(chǎn)品需求可以在本階段得到滿足，但是隨著時間的發(fā)展，市場上將會產(chǎn)生新的產(chǎn)品需求，使市場容量產(chǎn)生變化，引起重復博弈。本文將地位不相等的企業(yè)產(chǎn)品博弈與動態(tài)多階段博弈相結合，使文章更符合現(xiàn)實的生產(chǎn)經(jīng)營情況。

1 模型的假設

Stackelberg模型是研究完全信息動態(tài)博弈的經(jīng)典模型，可以看作為澤爾騰的子博弈精煉納什均衡的最早工具，也是被應用于研究非同等地位寡頭競爭的重要研究方法。在本文中假設由于規(guī)模經(jīng)濟的作用，大企業(yè)在前期投入較多資源情況下，在生產(chǎn)過程中，每件產(chǎn)品的單位成本將小于小企業(yè)的單位成本，大企業(yè)在生產(chǎn)過程中處于主導地位，由它先制定自己的生產(chǎn)銷售計劃，小企業(yè)根據(jù)大企業(yè)的剩余需求來制定自己的生產(chǎn)銷售計劃。同時對于一個多階段的動態(tài)市場而言，引入了企業(yè)的市場容量可變的假設，本階段的市場容量等于上一個階段的市場容量減去上一個階段的市場生產(chǎn)銷售總額，而后將階段延續(xù)到多階段，來觀察大小企業(yè)不同階段的產(chǎn)量、利潤等指標和兩者產(chǎn)量、利潤相互關系。為敘述方便，本文模型中只包含主從兩個企業(yè)的情形。在以上分析基礎上，本文的假設具體有以下幾個方面：

①假設市場存在大小兩個企業(yè)，大企業(yè)的邊際成本為c1，小企業(yè)的邊際成本為c2。其中，c1

2 傳統(tǒng)情形一階段主從企業(yè)的stackelberg博弈模型

在競爭情況下，大企業(yè)首先行動，決定自己的產(chǎn)量，并且由于市場為完全信息市場，小企業(yè)會在知道大企業(yè)的產(chǎn)量后再決定自己的，大企業(yè)也會知道小企業(yè)根據(jù)大企業(yè)的產(chǎn)量決定自己的產(chǎn)量。

小企業(yè)的利潤函數(shù)為

π■=P■q■-c■q■=bd■-c■+be-bq■-bq■q■ （1）

對（1）式對q12偏導并令其等于0，可得

q■=■ （2）

將（2）式代入大企業(yè)的利潤函數(shù)

π■=P■q■-c■q■=bd■-c■+be-bq■-bq■q■ （3）

對q11求導并令其等于0，得到定理1。

定理1 在第一階段，主從企業(yè)的產(chǎn)量均衡解分別為

q■■=■；q■■=■

根據(jù)定理1，我們可以得到推論1。

推論1 即在第一階段競爭情形下，大小企業(yè)的利潤與行業(yè)價格分別為

π■=■q■■，π■=bq■■；P■=■

3 動態(tài)stackelberg模型的建立

在實際企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營中，上述的產(chǎn)品博弈并不是一次性的，對于一個行業(yè)來說，重復博弈是普遍存在的情況。現(xiàn)實生產(chǎn)經(jīng)營中，隨著時間的變化，部分消費需求可能已得到滿足，同時，在現(xiàn)有市場或者新增市場上，有的消費需求可能又產(chǎn)生，這就導致了市場容量的變化。主從企業(yè)在市場容量變化的每個階段，都存在著這種stackelberg博弈。

當博弈進行到了第i階段，行業(yè)市場容量為d■且d■=d■+ie-■q■+q■。通過借鑒一階段的研究可以得到：

第i階段小企業(yè)的利潤函數(shù)得到大小企業(yè)的關系

π■=p■-c■q■=bd■-bq■+q■-c■q■ （4）

對其求關于的偏導并令其等于0，可得

q■=■ （5）

采用逆推法得定理2。

定理2 主從兩個企業(yè)在階段i的均衡產(chǎn)量解分別為

q■■=■d（0）+■1-■+■1-■-■

推論2 主從兩個企業(yè)在階段i的利潤和產(chǎn)品價格分別為。

π■=■q■■；π■=bq■■；

P■=■+■1-■+■1-■+■

4 模型分析

4.1 通過以上模型，結合假設條件分析可得，在主從企業(yè)的產(chǎn)量和利潤的比較中，大企業(yè)都占有絕對優(yōu)勢。并且由于■=■=21+■，■=■，市場容量d（i）是階段數(shù)的減函數(shù)，所以隨著階段數(shù)的增加，大企業(yè)與小企業(yè)之間的利潤和產(chǎn)量相對差異將越來越大，這也就意味著隨著博弈的進行，情況越來越對大企業(yè)有利，對小企業(yè)越來越不利。對于大企業(yè)來說，應當讓這種博弈進行下去，采取各種措施保持這種先動優(yōu)勢。而對于小企業(yè)來說，改進生產(chǎn)等方法使邊際成本變小對于產(chǎn)量和利潤的提高作用是很小的，最重要的是改變這種博弈方式，爭取與大企業(yè)相對平等的地位。在企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營中，小企業(yè)之間結成戰(zhàn)略同盟、小企業(yè)自身實施重大科技創(chuàng)新和對相關大企業(yè)提起反壟斷調(diào)查等，都是謀求與大企業(yè)同等地位的手段。

4.2 大企業(yè)的利潤始終大于兩倍小企業(yè)利潤，并且隨著階段數(shù)的增加，兩者利潤相對差距會越來越大，所以當小企業(yè)的最低可接受利潤大于大企業(yè)的最低可接受利潤一半時，即u■>■u■，小企業(yè)將首先退出這個市場，結束兩企業(yè)之間博弈。

5 算例分析

令d（0）=60，c1=2，c2=3，b=0.5，u1=1，u2=0.5，e=5。分別求階段1-5時主從企業(yè)的產(chǎn)量解、利潤值和利潤率。所得結果進行比較見表1。

由上述算例可知，采用本文方法時，主從企業(yè)博弈持續(xù)了3個階段，后由于小企業(yè)的利潤小于其最低利潤率退出此行業(yè)而結束了此次博弈，而后行業(yè)就形成了一個企業(yè)壟斷的局面。在從階段1至階段3的過程中，主從企業(yè)的產(chǎn)量、所得利潤、行業(yè)價格都是一個單調(diào)遞減的過程，這也于相關結論相符合。在同一個階段中，大企業(yè)與小企業(yè)的產(chǎn)量、利潤差異與動態(tài)古諾模型相比較差異較為明顯，這也與本文中對于兩企業(yè)地位不同的假設想符合。而值得注意的是，在與動態(tài)古諾模型比較中，兩個企業(yè)的博弈持續(xù)階段數(shù)大于本文模型的階段數(shù)，兩企業(yè)產(chǎn)量與利潤階段之間的減少數(shù)小于本文模型中的數(shù)值，地位的不相同，將使小企業(yè)提早離開行業(yè)，而在此博弈過程中，大企業(yè)也損失了部分利潤。

6 結束語

本文在前人研究基礎上，對于行業(yè)內(nèi)企業(yè)地位相同的假設進行了修正，提出了關于行業(yè)內(nèi)地位不相同主從企業(yè)的動態(tài)產(chǎn)量博弈模型。得到了在多階段情形下主從企業(yè)的均衡產(chǎn)量解和利潤，通過求解與證明，得到了企業(yè)的產(chǎn)量與利潤遞減和此模型對于大企業(yè)有利的結論。但是，本文只研究了兩企業(yè)、新增市場容量不變且只考慮了邊際成本的情形多企業(yè)，新增市場容量有變化和其他性態(tài)成本的加入將更為適合一般情形，這也是以后探討與研究的一個方向。

參考文獻：

[1]Agliari A，Gardini L，Puu T. The dynamics of a tripoly cournot game[J].Chaos，Solitons and Fractals，2000，11（15）：2531-2560.

[2]張明善，唐小我.多個生產(chǎn)商的動態(tài)古諾模型分析[J].管理科學學報，2002，5（5）：85-90.

[3]易余胤，盛昭瀚，肖條軍.具溢出效應的有限理性雙寡頭博弈的動態(tài)演化[J].系統(tǒng)工程學報，2004，19（3）：244-250.

[4]李森.2008.開放系統(tǒng)下企業(yè)產(chǎn)品博弈定價的理論與實證研究[D].東北大學管理科學與工程專業(yè)博士學位論文.

[5]楊慧，周晶.易逝性產(chǎn)品降價時點的Stackelberg博弈[J].管理工程學報，2007，21（3）：155-158.endprint

對q11求導并令其等于0，得到定理1。

定理1 在第一階段，主從企業(yè)的產(chǎn)量均衡解分別為

q■■=■；q■■=■

根據(jù)定理1，我們可以得到推論1。

推論1 即在第一階段競爭情形下，大小企業(yè)的利潤與行業(yè)價格分別為

π■=■q■■，π■=bq■■；P■=■

3 動態(tài)stackelberg模型的建立

在實際企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營中，上述的產(chǎn)品博弈并不是一次性的，對于一個行業(yè)來說，重復博弈是普遍存在的情況。現(xiàn)實生產(chǎn)經(jīng)營中，隨著時間的變化，部分消費需求可能已得到滿足，同時，在現(xiàn)有市場或者新增市場上，有的消費需求可能又產(chǎn)生，這就導致了市場容量的變化。主從企業(yè)在市場容量變化的每個階段，都存在著這種stackelberg博弈。

當博弈進行到了第i階段，行業(yè)市場容量為d■且d■=d■+ie-■q■+q■。通過借鑒一階段的研究可以得到：

第i階段小企業(yè)的利潤函數(shù)得到大小企業(yè)的關系

π■=p■-c■q■=bd■-bq■+q■-c■q■ （4）

對其求關于的偏導并令其等于0，可得

q■=■ （5）

采用逆推法得定理2。

定理2 主從兩個企業(yè)在階段i的均衡產(chǎn)量解分別為

q■■=■d（0）+■1-■+■1-■-■

推論2 主從兩個企業(yè)在階段i的利潤和產(chǎn)品價格分別為。

π■=■q■■；π■=bq■■；

P■=■+■1-■+■1-■+■

4 模型分析

4.1 通過以上模型，結合假設條件分析可得，在主從企業(yè)的產(chǎn)量和利潤的比較中，大企業(yè)都占有絕對優(yōu)勢。并且由于■=■=21+■，■=■，市場容量d（i）是階段數(shù)的減函數(shù)，所以隨著階段數(shù)的增加，大企業(yè)與小企業(yè)之間的利潤和產(chǎn)量相對差異將越來越大，這也就意味著隨著博弈的進行，情況越來越對大企業(yè)有利，對小企業(yè)越來越不利。對于大企業(yè)來說，應當讓這種博弈進行下去，采取各種措施保持這種先動優(yōu)勢。而對于小企業(yè)來說，改進生產(chǎn)等方法使邊際成本變小對于產(chǎn)量和利潤的提高作用是很小的，最重要的是改變這種博弈方式，爭取與大企業(yè)相對平等的地位。在企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營中，小企業(yè)之間結成戰(zhàn)略同盟、小企業(yè)自身實施重大科技創(chuàng)新和對相關大企業(yè)提起反壟斷調(diào)查等，都是謀求與大企業(yè)同等地位的手段。

4.2 大企業(yè)的利潤始終大于兩倍小企業(yè)利潤，并且隨著階段數(shù)的增加，兩者利潤相對差距會越來越大，所以當小企業(yè)的最低可接受利潤大于大企業(yè)的最低可接受利潤一半時，即u■>■u■，小企業(yè)將首先退出這個市場，結束兩企業(yè)之間博弈。

5 算例分析

令d（0）=60，c1=2，c2=3，b=0.5，u1=1，u2=0.5，e=5。分別求階段1-5時主從企業(yè)的產(chǎn)量解、利潤值和利潤率。所得結果進行比較見表1。

由上述算例可知，采用本文方法時，主從企業(yè)博弈持續(xù)了3個階段，后由于小企業(yè)的利潤小于其最低利潤率退出此行業(yè)而結束了此次博弈，而后行業(yè)就形成了一個企業(yè)壟斷的局面。在從階段1至階段3的過程中，主從企業(yè)的產(chǎn)量、所得利潤、行業(yè)價格都是一個單調(diào)遞減的過程，這也于相關結論相符合。在同一個階段中，大企業(yè)與小企業(yè)的產(chǎn)量、利潤差異與動態(tài)古諾模型相比較差異較為明顯，這也與本文中對于兩企業(yè)地位不同的假設想符合。而值得注意的是，在與動態(tài)古諾模型比較中，兩個企業(yè)的博弈持續(xù)階段數(shù)大于本文模型的階段數(shù)，兩企業(yè)產(chǎn)量與利潤階段之間的減少數(shù)小于本文模型中的數(shù)值，地位的不相同，將使小企業(yè)提早離開行業(yè)，而在此博弈過程中，大企業(yè)也損失了部分利潤。

6 結束語

本文在前人研究基礎上，對于行業(yè)內(nèi)企業(yè)地位相同的假設進行了修正，提出了關于行業(yè)內(nèi)地位不相同主從企業(yè)的動態(tài)產(chǎn)量博弈模型。得到了在多階段情形下主從企業(yè)的均衡產(chǎn)量解和利潤，通過求解與證明，得到了企業(yè)的產(chǎn)量與利潤遞減和此模型對于大企業(yè)有利的結論。但是，本文只研究了兩企業(yè)、新增市場容量不變且只考慮了邊際成本的情形多企業(yè)，新增市場容量有變化和其他性態(tài)成本的加入將更為適合一般情形，這也是以后探討與研究的一個方向。

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[3]易余胤，盛昭瀚，肖條軍.具溢出效應的有限理性雙寡頭博弈的動態(tài)演化[J].系統(tǒng)工程學報，2004，19（3）：244-250.

[4]李森.2008.開放系統(tǒng)下企業(yè)產(chǎn)品博弈定價的理論與實證研究[D].東北大學管理科學與工程專業(yè)博士學位論文.

[5]楊慧，周晶.易逝性產(chǎn)品降價時點的Stackelberg博弈[J].管理工程學報，2007，21（3）：155-158.endprint

對q11求導并令其等于0，得到定理1。

定理1 在第一階段，主從企業(yè)的產(chǎn)量均衡解分別為

q■■=■；q■■=■

根據(jù)定理1，我們可以得到推論1。

推論1 即在第一階段競爭情形下，大小企業(yè)的利潤與行業(yè)價格分別為

π■=■q■■，π■=bq■■；P■=■

3 動態(tài)stackelberg模型的建立

在實際企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營中，上述的產(chǎn)品博弈并不是一次性的，對于一個行業(yè)來說，重復博弈是普遍存在的情況。現(xiàn)實生產(chǎn)經(jīng)營中，隨著時間的變化，部分消費需求可能已得到滿足，同時，在現(xiàn)有市場或者新增市場上，有的消費需求可能又產(chǎn)生，這就導致了市場容量的變化。主從企業(yè)在市場容量變化的每個階段，都存在著這種stackelberg博弈。

當博弈進行到了第i階段，行業(yè)市場容量為d■且d■=d■+ie-■q■+q■。通過借鑒一階段的研究可以得到：

第i階段小企業(yè)的利潤函數(shù)得到大小企業(yè)的關系

π■=p■-c■q■=bd■-bq■+q■-c■q■ （4）

對其求關于的偏導并令其等于0，可得

q■=■ （5）

采用逆推法得定理2。

定理2 主從兩個企業(yè)在階段i的均衡產(chǎn)量解分別為

q■■=■d（0）+■1-■+■1-■-■

推論2 主從兩個企業(yè)在階段i的利潤和產(chǎn)品價格分別為。

π■=■q■■；π■=bq■■；

P■=■+■1-■+■1-■+■

4 模型分析

4.1 通過以上模型，結合假設條件分析可得，在主從企業(yè)的產(chǎn)量和利潤的比較中，大企業(yè)都占有絕對優(yōu)勢。并且由于■=■=21+■，■=■，市場容量d（i）是階段數(shù)的減函數(shù)，所以隨著階段數(shù)的增加，大企業(yè)與小企業(yè)之間的利潤和產(chǎn)量相對差異將越來越大，這也就意味著隨著博弈的進行，情況越來越對大企業(yè)有利，對小企業(yè)越來越不利。對于大企業(yè)來說，應當讓這種博弈進行下去，采取各種措施保持這種先動優(yōu)勢。而對于小企業(yè)來說，改進生產(chǎn)等方法使邊際成本變小對于產(chǎn)量和利潤的提高作用是很小的，最重要的是改變這種博弈方式，爭取與大企業(yè)相對平等的地位。在企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營中，小企業(yè)之間結成戰(zhàn)略同盟、小企業(yè)自身實施重大科技創(chuàng)新和對相關大企業(yè)提起反壟斷調(diào)查等，都是謀求與大企業(yè)同等地位的手段。

4.2 大企業(yè)的利潤始終大于兩倍小企業(yè)利潤，并且隨著階段數(shù)的增加，兩者利潤相對差距會越來越大，所以當小企業(yè)的最低可接受利潤大于大企業(yè)的最低可接受利潤一半時，即u■>■u■，小企業(yè)將首先退出這個市場，結束兩企業(yè)之間博弈。

5 算例分析

令d（0）=60，c1=2，c2=3，b=0.5，u1=1，u2=0.5，e=5。分別求階段1-5時主從企業(yè)的產(chǎn)量解、利潤值和利潤率。所得結果進行比較見表1。

由上述算例可知，采用本文方法時，主從企業(yè)博弈持續(xù)了3個階段，后由于小企業(yè)的利潤小于其最低利潤率退出此行業(yè)而結束了此次博弈，而后行業(yè)就形成了一個企業(yè)壟斷的局面。在從階段1至階段3的過程中，主從企業(yè)的產(chǎn)量、所得利潤、行業(yè)價格都是一個單調(diào)遞減的過程，這也于相關結論相符合。在同一個階段中，大企業(yè)與小企業(yè)的產(chǎn)量、利潤差異與動態(tài)古諾模型相比較差異較為明顯，這也與本文中對于兩企業(yè)地位不同的假設想符合。而值得注意的是，在與動態(tài)古諾模型比較中，兩個企業(yè)的博弈持續(xù)階段數(shù)大于本文模型的階段數(shù)，兩企業(yè)產(chǎn)量與利潤階段之間的減少數(shù)小于本文模型中的數(shù)值，地位的不相同，將使小企業(yè)提早離開行業(yè)，而在此博弈過程中，大企業(yè)也損失了部分利潤。

6 結束語

本文在前人研究基礎上，對于行業(yè)內(nèi)企業(yè)地位相同的假設進行了修正，提出了關于行業(yè)內(nèi)地位不相同主從企業(yè)的動態(tài)產(chǎn)量博弈模型。得到了在多階段情形下主從企業(yè)的均衡產(chǎn)量解和利潤，通過求解與證明，得到了企業(yè)的產(chǎn)量與利潤遞減和此模型對于大企業(yè)有利的結論。但是，本文只研究了兩企業(yè)、新增市場容量不變且只考慮了邊際成本的情形多企業(yè)，新增市場容量有變化和其他性態(tài)成本的加入將更為適合一般情形，這也是以后探討與研究的一個方向。

參考文獻：

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[3]易余胤，盛昭瀚，肖條軍.具溢出效應的有限理性雙寡頭博弈的動態(tài)演化[J].系統(tǒng)工程學報，2004，19（3）：244-250.

[4]李森.2008.開放系統(tǒng)下企業(yè)產(chǎn)品博弈定價的理論與實證研究[D].東北大學管理科學與工程專業(yè)博士學位論文.

[5]楊慧，周晶.易逝性產(chǎn)品降價時點的Stackelberg博弈[J].管理工程學報，2007，21（3）：155-158.endprint