形狀不規則筏基在SH波下的動力響應研究*

文學章，蔣 林，尚守平

(湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082)

筏板基礎是工程中常見的基礎形式之一，對其動力特性的研究是近幾十年來的熱門課題[1-2].目前，對于筏板基礎在地震波中的動力響應的研究，大多是以規則對稱的圓形或矩形基礎作為研究對象，但實際工程中，往往會出現其平面形狀不規則對稱的情況.而平面形狀不規則會使結構在地震中發生扭轉，從而可能給結構帶來較大的損壞，因此，有必要對不規則形狀基礎-地基的動力相互作用進行研究.

土-結構相互作用有兩個基本物理量：動力阻抗和有效輸入地動，其中有效輸入地動即基礎在地震波作用下的動力位移響應，在子結構分析模型中作為上部結構的動力輸入，顯然比直接采用自由場地動更加合理，二者的差別在地震觀測中也得到證實[3].在以往對基礎有效輸入地動的研究中，Kobori等研究了彈性半空間表面剛性圓盤基礎在地震波作用下的動力響應[4]；Mita等研究了正方形埋置基礎的動力阻抗和有效輸入地動[5]，Wong等研究了剛性矩形基礎在傾斜地震波作用下的動力響應，指出：傾斜地震波作用下基礎的動力響應與垂直地震波作用下的響應有很大不同，因此對這類問題的研究不能只考慮垂直地震波[6]；Yoshida則用邊界元法研究了矩形基礎的阻抗與地震波作用下的有效輸入地動[7]；而王鵬等則研究了飽和地基表面上剛性圓盤基礎在地震波下的豎向振動[8].以上的研究其對象均為圓盤基礎或矩形基礎等規則形狀，而把不規則對稱基礎作為研究對象的研究非常少.

在以往對于不規則基礎的動力特性的研究中，本文作者對形狀不規則基礎的動力阻抗進行了研究[9-10]，而對于基礎在地震波作用下的動力位移響應的研究非常少．在垂直射入SH波作用下，對稱基礎不會發生扭轉而非對稱基礎會發生扭轉，而在傾斜射入SH波作用下，即使是對稱基礎也會發生扭轉[11]．對于非對稱基礎，影響因素較多，問題變得更加復雜，因此有必要對其進行研究.

對于筏板基礎在地震波作用下的動力響應的研究方法，常見的可大致分為兩類，一類是利用Hankel變換等積分變換得到的連續解[12]，但這種方法只適用于平面問題以及軸對稱問題，不適用于平面形狀不規則的基礎；另一類是基于Green函數的離散解法，而薄層元素法[13-15]是計算Green函數有效方法之一.

因此，本文采用薄層元素法，對不規則形狀筏板基礎在各種傾斜角度的SH波作用下的動力響應進行研究.

1 分析方法

為了便于研究，本文的研究作了如下的假設：1)假設土為均勻的粘彈性介質，不考慮其非線性；2)筏板厚度較大，其剛度比土的剛度大得多，假設其為無質量剛體(基礎質量一般是在基礎-上部結構子結構中考慮)；3)假設土與筏板基礎的接觸面緊密接觸，不發生脫離和相對滑移.

土-基礎動力相互作用系統如圖1所示，設自由場的節點位移列向量為uf，筏基約束后的土節點位移列向量為u，則節點力列向量F可表示為：

F=K(u-uf)．

(1)

式中：K為土的剛度矩陣，可由式(2)得到：

K=G-1．

(2)

式中：G為土的柔度矩陣，其各元素為各個節點處的Green函數，本文采用薄層元素法[13-14]求得，底部采用Paraxial Boundary[13-15]，其具體計算步驟參見文獻[13-15].

圖1 地基-基礎動力相互作用模型

設筏基的位移和力的列向量分別為uP和FP，分別包含3個平動和3個轉動元素.根據筏基剛性假設，可得到下面的關系式：

u=TuP，

(3)

FP=TTF．

(4)

式中：T為剛體位移轉換矩陣．

Ti=

式中：(xi,yi)和(x0,y0)分別為i節點和筏板幾何中心的坐標.

將式(3)與式(4)代入式(1)，并化簡可得：

KPuP=FP．

(5)

式中：KP=TTKT；FP=TT(F+Kuf).

對于地震波入射問題，F={0}，則：

KpuP=FP=TTKuf．

(6)

求解式(6)即可得到筏基在地震波作用下的動力響應.

對于自由場的節點位移列向量uf，本文只考慮入射波為SH的情況.如圖1(b)所示，當SH波傾斜射入時，產生的反射波只有SH波，因為SH波的振動位移只有y方向成分，所以，土的位移v可表示為：

v(x,z)=vsi(x,z)+vsy(x,z)．

(7)

式中：vsi和vsr分別表示入射波與反射波的位移.如果SH波的入射角為θ，振幅為A，則入射波可表示為：

(8)

式中：VS為土的剪切波波速.

于是，可得到自由場總位移的表達式：

(9)

式中：Ag0=2A，為自由場表面的振幅.將節點坐標代入式(9)即可求得自由場的節點位移列向量為uf.

2 計算模型及參數

本文考慮實際工程中比較常見的“L”形和“C”形兩種平面形狀不規則對稱的筏板基礎，如圖2所示，以正方形和邊長比為2的矩形為基本形狀，凹進尺寸分別為0C1/2，2C1/3和5C1/6，基礎的相對面積分別為1，3/4，5/9和11/36，其形狀參數如表1.地基考慮為均勻介質，剪切波速VS=250 m/s，密度ρ=1 800 kg/m3，泊松比ν=0.40，阻尼比h=0.05.地震波考慮為傾斜射入的SH波，入射角θ考慮為0°，30°和60° 3種情況.為了保證計算精度，基礎劃分為邊長1.25 m的網格；土層按深度劃分如下：0～10 m劃分為20層，每層0.5 m；10～50 m劃分為40層，每層1.0 m；50～150 m劃分為50層，每層2.0 m，150 m以下為人工邊界.

圖2 “L”形和“C”形基礎的平面圖

表1 算例中基礎形狀參數

3 計算結果及分析

3.1 SH波作用下規則基礎的動力響應

圖3為入射角θ=30°，B2=C2=0時(即正方形與長方形基礎)的水平與扭轉動力響應.從圖3(a)可以看出，本文所得結果與文獻[10]的結果吻合較好.當SH波傾斜射入時，隨著頻率的增大，水平位移反應減小，這種現象稱為“輸入損失”[3]，是由于與基礎接觸的各個土節點振動的相位不同引起的.傾斜射入的SH波會使得基礎發生扭轉，隨著頻率的增大，扭轉反應增大，在α0= 4左右達到峰值.對比正方形與長方形基礎發現，二者的水平反應差別非常小，而扭轉反應差別較大，長方形基礎的扭轉反應比正方形基礎大得多，而峰值所對應的無量綱頻率卻基本上相同.

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3.2 不規則基礎的動力響應

圖4,圖5為入射角θ=60°時，“L”形和“C”形基礎的動力響應.從圖中可看出，缺口對于水平反應的影響為：隨著其尺寸的增大而增大；在低頻區域其影響較小而高頻區域其影響較大.在一定的頻率范圍內(本算例約為3.5)，“L”形基礎的水平反應隨缺口的增大而增大，而“C”形基礎卻呈現相反的趨勢，這是因為基礎的動力響應是基礎各處波的綜合作用的結果，基礎各處波的相位差別越大，水平位移響應就越小，“L”形基礎缺口在端部，缺口越大，各處波相位差別越小；而“C”形基礎的缺口在中間，缺口越大，各處波的相位差別越大.隨著頻率的增大，“C”形基礎的兩翼緣處波的相位差經歷了一個由逐漸增大到反相然后又逐漸減小的過程，因此基礎的水平響應呈現出先減小后擴大的變化趨勢.缺口對于“L”形基礎的扭轉反應的影響很小，這表明對于“L”形基礎，由傾斜SH波引起的扭轉響應起著控制作用，而對于“C”形基礎，低頻時影響很小而高頻時影響較大.

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3.3 入射角的影響

圖6，圖7為B2/B1=C2/C1=1/2時，“L”形和“C”形基礎的動力響應.從圖中可看出：對于水平響應，當SH波垂直射入時恒為1，即沒有輸入損失.當SH波傾斜射入時，在一定的頻率范圍內，水平響應隨著頻率的增大而減小，減小的量隨著入射角的增大而增大.對于扭轉響應，當SH波垂直射入時其值恒為0，即這時不會產生扭轉響應.當SH波傾斜射入時，會產生扭轉響應，其峰值隨入射角的變化較小，“L”形基礎為0.6左右，“C”形基礎達到1.0左右，峰值對應的頻率隨著入射角的增大而減小，入射角θ分別為30°和60°時，對應的峰值頻率分別約為4.0 Hz和2.5 Hz，大約與sinθ成反比例關系.

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4 結 論

對形狀不規則筏板基礎在傾斜射入SH波作用下的動力響應進行了研究，得到的結論如下：

1)當SH波傾斜射入時，隨著其頻率的增大，水平位移響應減小，扭轉響應增大，在某個頻率達到峰值.

2)缺口尺寸越大，其對筏基水平響應的影響越大，在一定的頻率范圍內，缺口使得“L”形筏基的水平響應增大，而“C”形筏基減小，呈現相反的影響趨勢；缺口尺寸對“L”形筏基的扭轉響應影響較小，對“C”形筏基的扭轉響應在低頻區影響較小而高頻區域影響較大.

3)SH波的入射角越大，對筏基的水平響應的影響越大，對扭轉響應的峰值影響不大，但峰值所對應的頻率隨著入射角的增大而減小.

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