對一道數學例題的教學思考

馬海龍

摘 要 本文結合一道課堂例題，從數學、學生、教學三個角度深入分析造成學生“假懂”的原因，進而闡述了在教學中既要正視學生的思維水平現實，放低教學的思維起點，又要充分借助學生的原有知識經驗，以生動活潑的思維教學為主線，引導學生由特殊到一般，從具體到抽象，最終實現在理性思維的層面理解和運用概念，實現為促進學生的理解而教學。

關鍵詞 假懂 理解 思維 理性

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）15-0036-03

一、從一個教學片斷說起

教師：回顧上述解題思路，數列求和型的不等式，要向有利于求和的方向進行轉化（不少同學似有所悟，微微點頭回應）。

教師：下面請看下一題。

課后，筆者問坐在教室后排的兩位同學：“懂了嗎？”他們說：“懂了！”筆者接著問：“答案蓋住，自己做下試試看。”兩位同學想了想，試著寫了一下，放縮還是無法完成。

可見，學生的“懂”是“假懂”，而非“真懂”。

二、學生“假懂”的原因分析

1.從數學的角度看

上文的例題，其解答的思維過程包括一下兩個方面：

一是要熟知高中數列常見的求和方法，如：常數列求和，周期數列求和，等差數列求和，等比數列求和，倒序相加求和，錯位相減求和，裂項相消求和法等，解題時要能從題目信息中聯想到已知的求和方法。從求和式Tn=++++…+的結構特征可以提示我們應采用的是裂項相消求和法，這是后續推理活動的鋪墊，是題意理解的一個關鍵。

二是通項bn2（n≥2）本事不具有裂項求和法的結構特征，從目標分析，需要適當的轉化放大，而“適當”說的輕松做起并不容易，這也是本題的一個難點所在。通過以上分析，解題時的目標是明確的，即需要尋找這樣一個等差數cn，能夠使得，當n≥2時，bn2≤成立，而后式能用裂項相消求和，但注意不要放得過度。

2.從學生的角度來看

面對上文的例題，學生的困難主要來自以下三個方面：

一是兩個小題相互關聯，前面小題是為后面小題做鋪墊的，因此對部分學生而言，第（1）小題結構形式復雜，一下子難以找到突破口， 找尋到突破口還要謹小慎微，細致討論下才能得到正確結論，這已經就是一只攔路虎。在沒有能全面解對情況下，第（2）小題對他來說沒有任何意義；

二是看到求和型的不等式時，學生心理上不適應。首先司空見慣的是求數列的前n項的和問題，學習的都是具體而相對簡單的數列求和問題，基本思維還希望數列本身能是上述求和類型的。而現在要求和的數列既不是等差也不是等比的，哪怕是等差乘以等比的通項公式也可以，理想很豐滿，現實很骨感，這樣對于題設中的求和與目標中的不等式內在邏輯聯系存在困惑。其次，這與學生接觸不等式問題少密切相關，現行高中課本必修部分不等式問題獨立成章的，主要內容是解不等式和二元的均值不等式為主。從這個方面分析，學生不能將數列求和與不等式聯系起來。

三是在以上兩個問題在思維層面都解決了，想到向裂項相消求和轉化，但在放縮時卻遇到一個更大的攔路虎。放縮法是說起來容易操作起來困難，始終感覺到放縮很神秘，高不可攀，一步小心就放縮過頭，實屬不易。要在課堂和考試的有限時間內獨立完成，也許需要的是技巧和好運氣了，但好運氣不是時時會有的。

3.從教學的角度來看

上文的例題教學中，教師的講解思路清晰，邏輯準確，表述簡潔規范，可謂“一氣呵成”。那么造成學生“假懂”的原因，除了前面已述及的例題本身與學生的知識經驗、認知發展的局限性，難道就沒有教學上的原因？筆者以為：沒有正視學生的思維水平現實，放低教學的思維起點。

新課改以來，一直強調學生是教學的主體，教師是教學的主導，作為主導的教師，從哪里開始導， 導向哪里，怎么導， 是作為教師必須思考的問題。

第一個問題從哪里開始導？筆者的想法是從學生的原有知識基礎和現有思維水平開始，本題的原有知識基礎最基本的是裂項相消法的一般結構模式，擴展起來還有數列求和的一般方法等。現有的思維水平，就是學生想到哪里了，還有那些地方沒想到。這些問題清楚后， 又要注意正視學生的思維水平現實，放低教學的思維起點，這些可作為解此題的出發點。

第二個問題導向哪里？這是一個目標分析的問題，要有大局觀，要求的是學生和教師對試題總體方向的把握，也需要解題經驗的積累。對于本題直接求和在學生現有的水平上已是不能完成的任務的情況下，就要考慮其向已有的求和方法上轉化，轉化到那種求和方法需要根據求和式的結構特征分析。

第三個問題是怎么導，順應學生的思維方式是最為有效的。這是最為關鍵的問題，前面有了引導的基礎和方向，具體落實時就是怎么樣過渡過去，基礎是此岸，目標是彼岸，采取什么方式渡過中間的河流呢？該式<出現的過于突然，仔細思考的話，分數值放大，可以采用分子增加也可以分母減少，選擇分母減少，減少多少為有效？為什么會偏偏減少3n呢？減少1或4不行嗎？放縮的難點也就在這里，應該向學生解釋清楚其中的思維過程。這樣關鍵步驟的缺失導致例題的無效。

三、為促進學生的理解而教

以放縮方法的本身技巧性強的特性而采用“告訴式”“結果式”的教學方式，客觀上是一種教師逃避責任的行為，事實上，正是由于在學生看來放縮法艱澀難懂，變化靈活，才為教師開展創造性教學提供了巨大的空間。通過上面例題的教學，教師完全可以達到深化學生對放縮方向和尺度的把握，提升數列與不等式綜合題的解題和理解能力的目的，為學生后來更好的學習和研究數列奠定基礎。

1.目標引領思維，順勢而為達到水到渠成

康托爾說過：“在數學的領域中，提出問題的藝術比解答問題的藝術更為重要。”在例題講解過程中，教師要密切關注學生的學習動態，并不失時機地提出問題，通過引導、啟發、指導、點撥、評價矯正，拓展思路，開闊視野，提煉精要，升華情感化，繁為簡作用，讓師生對話得以持續，將學生單一的思維系統化，使教學目標迅速達成。經過教師的適時提問，學生的自主、合作、探究才能順暢，學生的思維才有可能從懵懂走向頓悟，內心才有可能從迷惘變得敞亮。

本例可以嘗試從以下問題引領思維：

問題1：我們常見的數列求和方法有那些？本題數列求和與哪種相似度大？

問題2：裂項相消求和方法有什么結構特征？

對于這兩個問題，作為剛剛復習過數列的學生而言，都易解決，屬于知識層面，其設計意圖是在已有知識和未知問題直接建立起跨越的橋梁，為學生繼續思考打下基礎。這時學生可以發現我們現在需要找到這樣的一個等差數列{cn}，能滿足當n≥2時，bn2≤成立，也就是

即<<，這是筆者得到的最好結果。

最后說明的一點是 和式沒有初等的解析表達式。

一點啟示：在數學教學中，若教師善于引導學生對典型例習題進行解法探究、推廣、發展，乃至應用，則可幫助學生鞏固和深化有關概念，完善某個知識點的結論，掌握某些解題規律和某種數學思想方法，這樣處理典型例習題恰與新課程標準所倡導的“高中數學課程應力求通過各種不同形式的自主學習，探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識”的本質相吻合。

高中數學人教A版系列教材在”主編寄語”中指出，“數學是自然的”“數學是清楚的”。筆者認為，數學教學同樣應該是“自然的”和“清楚的”：自然的概念形成教學，自然的邏輯分析引導，清楚的數學符號解析和合乎學生認知發展規律的思維點撥等。高中學生知識經驗不足，認知能力也存在局限性，這給他們學習放縮帶來了困難，教學中既要正視學生的思維水平現實，放低教學的思維起點，又要充分借助學生的原有知識經驗，以生動活潑的思維教學為主線，引導學生由特殊到一般，從具體到抽象，最終實現在理性思維的層面理解和運用概念，數學法則以及由數學內容反映的數學思想方法目的，最大限度地克服學生數學學習中“會而不懂”“會而不全”的現象，實現“為遷移而教”的教育目標。這樣不但教會學生解題，還能提高學生的數學思維，必將使數學成為人們在成長過程中，提高思辨能力和創新能力的終身受益的一門學科。

（責任編輯 全 玲）