淺談數(shù)學(xué)解題教學(xué)

潘興華

摘 要 在數(shù)學(xué)解題教學(xué)的過程中，如何發(fā)展學(xué)生的思維是一個(gè)非常重要的課題。現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)理論認(rèn)為，數(shù)學(xué)是思維活動(dòng)的過程，數(shù)學(xué)教學(xué)主要就是思維活動(dòng)的教學(xué)，數(shù)學(xué)知識(shí)只是進(jìn)行思維訓(xùn)練的結(jié)構(gòu)材料。因此，通過數(shù)學(xué)解題教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力也是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要目標(biāo)。

關(guān)鍵詞 解題教學(xué) 思維能力 中學(xué)數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2014）15-0059-01

所謂數(shù)學(xué)思維，就是以數(shù)學(xué)問題為載體，通過發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的形式，達(dá)到對(duì)顯示世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)的一般性的認(rèn)識(shí)的思維過程。由此可知，數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中最重要也是最基本的內(nèi)容。而數(shù)學(xué)問題是由解題主體與數(shù)學(xué)題系統(tǒng)組成的集，它反映了解題者現(xiàn)有的心理水平與客觀需要的矛盾。因而，數(shù)學(xué)問題是推動(dòng)數(shù)學(xué)思維發(fā)展的動(dòng)力。

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要方面。如何更好的進(jìn)行數(shù)學(xué)解題教學(xué)引起了許多教師的思考，其中提議較多的是通過一題多解來教學(xué)。如山東師范大學(xué)的揚(yáng)成武老師在“淺談數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的一題多解”一文中明確指出：一題多解作為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維，創(chuàng)新意識(shí)的有效方式，應(yīng)該得到數(shù)學(xué)教師的充分重視。但值得強(qiáng)調(diào)的是在解題教學(xué)中進(jìn)行一題多解，教師首先應(yīng)明確其目的之所在，不要盲目的追求一題多解，尤其應(yīng)防止純粹為追求一題多解的“作秀”味，為體現(xiàn)另一種解法的巧妙，而故意先設(shè)置一種繁解，這樣反而不利學(xué)生的學(xué)習(xí)。因此，我們必須選擇有效的“一題多解”。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間交往互動(dòng)與共同發(fā)展的過程。”從這個(gè)高度看，數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)是“解題”活動(dòng)的教學(xué)，是師生之間、生生之間圍繞“問題”的解答所進(jìn)行的交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過程。

不管是初中還是高中，教師的教學(xué)任務(wù)都是非常重的，因此，在教學(xué)過程中，提高教學(xué)效率至關(guān)重要。但為了急于完成教學(xué)任務(wù)而去盲目的趕進(jìn)度是不可取的，須知教師的教學(xué)目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)多少東西，而不是教完了多少內(nèi)容。事實(shí)上，如果可以在解題教學(xué)的過程中把握住一些問題，將這些問題舉一反三，由一個(gè)問題拓展成一類問題，向這種由“特殊到一般”的教學(xué)就可以很好地提高教學(xué)效率，同時(shí)，也使學(xué)生經(jīng)歷圍繞“問題”的解答所進(jìn)行的交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過程，充分開發(fā)了學(xué)生的思維空間，培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力。

例1 從1，2，3，…，10這10個(gè)數(shù)中，任取3個(gè)不同的數(shù)，則這三個(gè)數(shù)恰成等差數(shù)列的概率為（ ）

A. B. C. D.

先提示學(xué)生解決這一問題的方法可能不是唯一的，讓學(xué)生先充分獨(dú)立思考，再讓同學(xué)間合作交流，是學(xué)生盡可能想出多的解題思路。

思路一 設(shè)取出的三數(shù)為X，Y，Z，則2Y=X+Z，所以X，Z同為奇數(shù)或偶數(shù)，將1，2，3，…，10分成1，3，5，7，9與2，4，6，8，10.從而三數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列的取法為2C52，所以所求的概率為P==，選（A）.

思路二 （例舉法）分別取公差d=1，2，3，4，得出取法1 2 3，…，8 9 10，1 3 5，…，6 8 10，1 4 7，…，4 7 10，1 5 9，2 6 10.共有8+6+4+2+20種，所以所求概率P==

思路三 設(shè)三數(shù)為a，a+d，a+2d（d>0），則a+2d≤10，d=1時(shí)，a≤8；d=2時(shí)，a≤6；d=3時(shí)，a≤4；d=4時(shí)，a=2。所以共有8+6+4+2+20種取法，P=

從以上多種思路中可以看出這道看似簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題有較大的拓展空間，因此，應(yīng)該馬上把握機(jī)會(huì)，將問題進(jìn)行拓展。

拓展一 （1） 從1，2，3，…，100這100個(gè)數(shù)中任取3個(gè)不同的數(shù)，使得這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列有多少種取法？

（2） 在1，2，3，…，100這100個(gè)數(shù)中任取4個(gè)不同的數(shù)成等差數(shù)列有多少種取法？

拓展二 （1） 從1，2，3，…，100這100個(gè)數(shù)中任取3個(gè)不同的數(shù)，使得這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列有多少種取法？

（2） 在1，2，3，…，100這100個(gè)數(shù)中任取4個(gè)不同的數(shù)成等比數(shù)列有多少種取法？

拓展三 （1） 在1，2，3，…， 這 個(gè)數(shù)中任取 個(gè)不同的數(shù)成等差數(shù)列有多少種取法？

（2） 在1，2，3，…， 這 個(gè)數(shù)中任取 個(gè)不同的數(shù)成等比數(shù)列有多少種取法？

有以上的解題思路作為基礎(chǔ)，相信學(xué)生很快能解決拓展一中的兩個(gè)問題，而拓展一，拓展二與拓展三又是逐步深入的，如此循序漸進(jìn)，不但使學(xué)生得出解決這類問題的一般方法，而且讓學(xué)生經(jīng)歷了從解決一個(gè)問題到解決一類問題的過程，養(yǎng)成善于思考問題的習(xí)慣；同時(shí)，也使學(xué)生對(duì)知識(shí)理解得更為深刻，并培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的敏感意識(shí)，激勵(lì)了學(xué)生創(chuàng)新、探索和研究的精神。

（責(zé)任編輯 全 玲）