Dithering對(duì)ADC量化誤差影響的分析研究

劉 欣，熊興中，楊平先

(四川理工學(xué)院人工智能四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川自貢 643000)

Dithering的中文意思為“抖動(dòng)”，近年來(lái)，在ADC中加入抖動(dòng)噪聲來(lái)提高動(dòng)態(tài)性能獲得了研究人員的普遍重視和大力研究，如Dithering的加入可使15位20 Mbit/s的流水線ADC的無(wú)雜散動(dòng)態(tài)范圍提高約29 dB［1］;惠普公司在矢量分析儀HP86400的12位ADC中加入Dithering使其分辨率提高了11 位［2］。

理論上，量化噪聲(QN)與輸入信號(hào)完全無(wú)關(guān)的ADC是不存在的。ADC的非線性特性決定了輸出噪聲相對(duì)于輸入信號(hào)畢竟存在一定的依賴關(guān)系。當(dāng)前的研究主要集中在Dithering－ADC結(jié)構(gòu)的優(yōu)化和Dithering噪聲對(duì)改善ADC 性能的應(yīng)用等方面［3－4］，文獻(xiàn)［3］探討了 Dithering對(duì)流水線型ADC的SFDR指標(biāo)的提升效應(yīng)，文獻(xiàn)［4］從硬件上證明了Dithering－ADC技術(shù)上的先進(jìn)性并給出了一定的優(yōu)化方案。而對(duì)于按照什么標(biāo)準(zhǔn)添加Dithering噪聲目前還少有文獻(xiàn)介紹和討論。本文將對(duì)Dithering－ADC中Dithering對(duì)系統(tǒng)性能影響的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析研究，并且以3種典型分布的抖動(dòng)信號(hào)為例，分別從微分非線性誤差、諧波分量損傷和協(xié)方差等3方面進(jìn)行了理論分析和探討，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)仿真進(jìn)行了驗(yàn)證，最后給出了Dithering信號(hào)的有效性條件，從而為有目的、有針對(duì)性地選擇Dithering信號(hào)提供了一定的參考。

1 Dithering算法的實(shí)現(xiàn)原理

由于ADC固有的非線性特性帶來(lái)了QN與輸入信號(hào)的關(guān)聯(lián)性，降低了系統(tǒng)性能，目前人們廣泛采用的有效方法是通過(guò)Dithering噪聲來(lái)減少量化噪聲對(duì)系統(tǒng)非線性性能的影響［5］。實(shí)際中QN以ADC譜分布的諧波形式出現(xiàn)，諧波或者QN的噪聲調(diào)制產(chǎn)物對(duì)于許多模擬數(shù)字的轉(zhuǎn)換應(yīng)用都是有害的，有目的地添加Dithering可將量化噪聲轉(zhuǎn)換成白噪聲，使得QN與輸入信號(hào)相關(guān)性減弱，或者不再相關(guān)，大大減少了QN對(duì)諧波分量的貢獻(xiàn)，從而有效地降低或抑制了ADC的量化噪聲對(duì)系統(tǒng)性能的影響。

本文所討論的Dithering信號(hào)采用加性(不減)方式，而且為了分析方便，系統(tǒng)采用窄頻帶Dithering結(jié)構(gòu)，如圖1所示。輸入信號(hào)經(jīng)過(guò)防混疊濾波器(低通濾波器)濾波后，Dithering信號(hào)與其疊加，然后進(jìn)行A/D轉(zhuǎn)換、D/A轉(zhuǎn)換，經(jīng)過(guò)低通濾波器對(duì)輸出信號(hào)進(jìn)行相應(yīng)的處理。

圖1 Dithering－ADC的模型框圖

微分非線性DNL(Differential Non－Linearity)是ADC相鄰2刻度差值的最大值，即對(duì)每個(gè)模擬數(shù)據(jù)按點(diǎn)量化產(chǎn)生的誤差，所有DNL的數(shù)學(xué)積分即為積分非線性，都屬于ADC的靜態(tài)誤差［6］。由于DNL由QN產(chǎn)生，根據(jù)ADC輸出碼字的概率密度函數(shù)，分析Dithering對(duì)DNL的總誤差影響。一個(gè)信號(hào)在ADC的量化過(guò)程中由DNL造成的總誤差為

式中:I為碼字的位數(shù);P(I)為輸出碼的概率密度函數(shù);DNL(I)為微分非線性誤差。

根據(jù)ADC信噪比SNR=6.02N+1.76(dB)及現(xiàn)有理論，大幅度且復(fù)雜信號(hào)的QN主要是白噪聲，小幅度且簡(jiǎn)單信號(hào)的QN主要是諧波噪聲，不同信號(hào)影響不同，但都會(huì)使SFDR指標(biāo)惡化［9］。對(duì)于Dithering信號(hào)，一個(gè)幅度為A的正弦信號(hào)與幅度為C的抖動(dòng)信號(hào)疊加后的輸出概率密度函數(shù)設(shè)為Pd(x)，根據(jù)式(2)有

2 不同分布的Dithering

2.1 均勻分布的Dithering

均勻分布信號(hào)的概率密度函數(shù)為

振幅為C的Dithering信號(hào)疊加到振幅為A的正弦信號(hào)，通過(guò)理想ADC輸出概率密度函數(shù)為

為更直觀觀察，分別畫(huà)出A=1和加入C=0.08的均勻Dithering后輸出信號(hào)的概率密度函數(shù)曲線，如圖2所示。

圖2 輸出信號(hào)的概率密度函數(shù)曲線

由圖2可知，引入Dithering后，輸出概率密度的最大值由0.23左右降低到0.015左右，式(1)中的被積數(shù)減小了，和DNL共同引起的失真變小了，證明了均勻分布的Dithering可以降低ADC的量化噪聲。

2.2 高斯分布的Dithering

將理想ADC的QN依據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，并寫(xiě)成頻域形式，即

Dithering服從高斯分布［0，δ2］時(shí)，概率密度函數(shù)及其傅里葉變換為

畫(huà)出的頻譜曲線如圖3所示。

圖3 平均量化誤差頻譜曲線，其中σ/Δ=1

引入高斯Dithering后，量化噪聲中其他高次諧波成分消失(第一個(gè)諧波成分仍然存在)。實(shí)際上諧波分量是被分散了，總的諧波損傷大大減少，證明高斯分布的Dithering也能有效降低ADC的量化噪聲。

2.3 正弦分布的Dithering

式中:J(u)為第一類的零階貝塞爾函數(shù)。用輸入信號(hào)與量化誤差的協(xié)方差函數(shù)討論二者的關(guān)聯(lián)性，即ADC的非線性特性。建立特征函數(shù)與協(xié)方差之間的關(guān)系式，特征函數(shù)相當(dāng)于概率密度函數(shù)在頻域上的期望值，因此二者在時(shí)頻域上具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。設(shè)輸入信號(hào)為s，總的噪聲為n，輸入信號(hào)頻率為ω，將聯(lián)合期望值E(ω·u)頻域上用概率密度函數(shù)積分為

協(xié)方差函數(shù)Cov(ω，u)=E(ω·u)－E(ω)E(u)，得到加入正弦Dithering輸入信號(hào)與量化噪聲的協(xié)方差函數(shù)，寫(xiě)成貝塞爾函數(shù)形式為

依據(jù)量化定理:如果協(xié)方差函數(shù)值比較小(理想情況下為0)，說(shuō)明加入的Dithering對(duì)于ADC的量化誤差具有很好的改善作用［11］。結(jié)合貝塞爾函數(shù)性質(zhì)，加入正弦Dithering不能夠使特征函數(shù)值有效地減少，因?yàn)槌莄和u同時(shí)為0，而這在實(shí)際應(yīng)用中毫無(wú)意義。2.4節(jié)將從Dithering信號(hào)可行性方面做進(jìn)一步分析。

2.4 Dithering信號(hào)的優(yōu)選條件

Dithering信號(hào)滿足什么條件可以有效地改善量化噪聲?這個(gè)問(wèn)題一直沒(méi)有準(zhǔn)確的答案，本文將在理論上做一些初步的探索，假設(shè)概率密度函數(shù)為f(x)，均勻分布信號(hào)的特征函數(shù)為

式中:k為系數(shù)。由式(14)可以看出，QN的特征函數(shù)與Dithering信號(hào)特征函數(shù)近似呈現(xiàn)出正比例的關(guān)系，即當(dāng)Dithering信號(hào)特征函數(shù)的值為0時(shí)，量化噪聲的特征函數(shù)值才為0，此時(shí)量化噪聲獨(dú)立于輸入信號(hào)，Dithering對(duì)QN才有很好的改善。因此，Cd(ω)=0(或者近似為0)可以作為有效Dithering的限制性條件，只要滿足此限制條件，就能有效地改善ADC的量化噪聲。

本文選取的均勻分布和高斯分布的Dithering信號(hào)理論上都是符合以上條件的，而正弦分布的Dithering信號(hào)不滿足此條件［12］。具體的仿真結(jié)果分析在下一節(jié)做詳細(xì)介紹。

3 仿真結(jié)果與分析

依據(jù)Dithering－ADC的模型框圖，利用Simulink搭建的仿真圖，如圖4所示。

原始信號(hào)為正弦模擬信號(hào)，振幅A=60 mV，頻率f=100 Hz，初相ψ =－0.52π，偏移h=119 mV。初始信號(hào)經(jīng)過(guò)防混疊濾波可以減少一些“鋸齒”，Dithering信號(hào)采取只加的方式，手動(dòng)開(kāi)關(guān)選擇是否疊加抖動(dòng)噪聲。然后經(jīng)過(guò)采樣保持，在ADC中進(jìn)行量化成為數(shù)字信號(hào)，數(shù)字信號(hào)在DAC中進(jìn)行D/A轉(zhuǎn)換，最后將信號(hào)通過(guò)低通濾波器濾波后輸出，示波器用來(lái)記錄不同時(shí)刻不同節(jié)點(diǎn)的波形特征。首先考察系統(tǒng)中有無(wú)抖動(dòng)對(duì)ADC性能的影響，如圖5所示。

圖5 無(wú)Dithering信號(hào)時(shí)輸入、輸出波形仿真圖

由圖5可知，無(wú)Dithering信號(hào)時(shí)，還原出的信號(hào)有許多鋸齒和毛刺，尤其在波峰、波谷處更加嚴(yán)重。引起很大的失真，這對(duì)ADC性能的影響是有害的。下面將考察加入Dithering后對(duì)系統(tǒng)性能的影響。Dithering噪聲由專門的噪聲生成模塊生成，分別考察加入均勻分布、高斯分布和正弦分布的Dithering對(duì)ADC性能的影響，為便于觀察，局部放大第一個(gè)周期左右的圖像，仿真結(jié)果如圖6所示。

由圖6可以看出:加入均勻分布的Dithering信號(hào)時(shí)，波形比較光滑;加入高斯分布的Dithering信號(hào)時(shí)，接收信號(hào)有很多毛刺和少量的鋸齒;加入正弦的Dithering信號(hào)，波形產(chǎn)生極大的畸變，有大量的方波和鋸齒，不能有效抑制ADC的QN，此時(shí)輸出信號(hào)不能準(zhǔn)確分離出輸入信號(hào)。

圖6 加入不同分布Dithering的輸出信號(hào)

圖6a、圖6b與圖5b比較，接收信號(hào)的曲線都變“光滑了”，說(shuō)明這2種Dithering可以有效抑制QN，提升ADC的性能。但是，輸出信號(hào)的幅值增加了大約12 mV，這是因?yàn)橄到y(tǒng)采用的是“只加”模式，可以在接收端濾去Dithering或幅值等比例縮小，準(zhǔn)確地還原出原始信號(hào)，因此和原始信號(hào)相比攜帶著等同的信息。仿真結(jié)果驗(yàn)證了2.4節(jié)的優(yōu)選條件具備一定的科學(xué)性和指導(dǎo)意義。

4 結(jié)論

論文探討了Dithering信號(hào)有效改善QN的優(yōu)選條件，考慮了均勻分布、高斯分布和正弦分布的Dithering對(duì)ADC量化噪聲的影響，從概率密度函數(shù)與DNL的共同作用、諧波分量損傷和協(xié)方差關(guān)系這3個(gè)方面進(jìn)行了原理性的討論分析。理論分析表明只要加入的Dithering信號(hào)的特征函數(shù)在一定條件下能夠?yàn)榱悖敲丛谝欢ǔ潭壬暇涂蓽p少ADC的QN。從仿真結(jié)果來(lái)看，均勻分布的Dithering性能最好，高斯分布次之，而正弦分布的Dithering不能有效抑制ADC的QN。本文對(duì)Dithering信號(hào)的加入條件及標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了探討，給出了一些初步有效Dithering的優(yōu)選條件，但如何得到最佳Dithering信號(hào)的通用計(jì)算表達(dá)式目前還沒(méi)有得到很好解決，這也是筆者未來(lái)努力研究的方向。

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