基于混沌理論的模擬量糾錯編碼方法研究

胡 星，馬林華，賈鎮(zhèn)澤，楊 雪

(1.空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，陜西西安 710038;2.空軍駐北京地區(qū)軍事代表局，北京 100009)

1 研究背景

1.1 數(shù)字糾錯編碼的局限性

1948年，香農(nóng)(Shannon)在論文《通信的數(shù)學(xué)原理》中提出并證明了有噪信道編碼定理(香農(nóng)第二定理)。信道編碼定理告訴人們:只要信息傳輸速率小于信道容量，則信息傳輸可以以任意小的錯誤概率進(jìn)行［1］。這一結(jié)論為信道編碼指出了方向，開創(chuàng)了信道編碼的新紀(jì)元。

信道糾錯編碼最開始就是在數(shù)字通信中實現(xiàn)的。1950年，漢明發(fā)表了糾正單個隨機(jī)錯誤的漢明碼;隨后半個多世紀(jì)，在信息技術(shù)發(fā)展和實際需要的不斷推動下，人們一直在尋求糾錯性能更好的、簡便的編碼方法，去逼近Shannon理論的理想界限。從早期的分組碼(BCH碼、RS碼)、卷積碼、串行級聯(lián)碼，到今天的Turbo碼、LDPC碼，其性能在不斷逼近Shannon限。

經(jīng)試驗表明:Turbo、LDPC碼的性能與香農(nóng)限只相差不到1 dB［2－3］。由于數(shù)字通信在信源壓縮、信源加密、信道編碼以及數(shù)字調(diào)制等方面已有成熟技術(shù)，因此已在各個領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

對于數(shù)字圖像無線通信來說，關(guān)鍵在于信源壓縮和信道編碼。在生活中仍存在許多的物理量是模擬的，數(shù)字通信需要對信源進(jìn)行量化，量化是將幅度連續(xù)的序列按照一定的準(zhǔn)則轉(zhuǎn)變成幅度離散的序列，會產(chǎn)生不可恢復(fù)的量化誤差［4］。另外，模擬信源在量化后，其傳輸帶寬就會擴(kuò)展。因此要進(jìn)行信源壓縮，如JPEG、MPEG、H.264等，壓縮后的信源包含的冗余信息大大減少，對誤碼很敏感，會產(chǎn)生誤碼擴(kuò)散的問題。例如，近年來視頻壓縮標(biāo)準(zhǔn)H.264得到了廣泛的應(yīng)用，它的熵編碼是基于上下文的算術(shù)碼CABAC，由于其壓縮性能較高，冗余信息留存較少，解碼一旦出現(xiàn)錯誤，比特就會很快地將誤碼擴(kuò)散，導(dǎo)致重建視頻質(zhì)量的嚴(yán)重下降［5］。

在數(shù)字圖像通信中，由于存在量化誤差、帶寬擴(kuò)展、誤碼擴(kuò)散等問題，傳輸?shù)恼`碼率只有在低于10－6時，才能保持正常通信。但是在低信噪比的惡劣環(huán)境中，現(xiàn)有的成熟的數(shù)字編碼技術(shù)，很難保證誤碼率低于10－6，使無線圖像通信難以進(jìn)行。

1.2 四位循環(huán)Baker碼的研究意義

傳統(tǒng)的模擬通信，由于沒有有效的模擬量信道編碼方法，因此抗噪聲能力很弱，應(yīng)用受到限制。當(dāng)加入模擬量信道編碼方法后，模擬通信系統(tǒng)具有抗噪聲能力，在無線遙測、通信控制、軍事等領(lǐng)域都有很強(qiáng)的應(yīng)用需求。數(shù)字糾錯編碼通信和模擬量的糾錯編碼通信模型如圖1、圖2所示。

圖1 數(shù)字糾錯編碼通信的基本模型

圖2 模擬量糾錯編碼通信的模型

所謂的模擬量信道編碼就是在傳輸模擬信息時，只進(jìn)行采樣，不需要進(jìn)行量化直接傳輸。為了進(jìn)行有效、可靠的模擬量通信，關(guān)鍵在于信源壓縮和信道編碼。

早在20 世紀(jì)80 年代，Wolf和 Marshall［6－7］首次提出了“模擬量糾錯編碼”的概念。近年來，關(guān)于模擬量糾錯編碼的研究有了一定的進(jìn)展，模擬量糾錯編碼的關(guān)鍵在于設(shè)計和構(gòu)造性能好的映射關(guān)系，在模擬量編碼概念被提出的近30年中，只發(fā)現(xiàn)了為數(shù)不多的幾種具有糾錯性能的碼字，分為線性和非線性構(gòu)造方法。例如數(shù)字正余弦變換(DCT/DST)碼、數(shù)字傅里葉變換(DFT)碼(其一些碼字演化為模擬量BCH碼和RS碼)等線性碼字，以及Kai Xie等人提出的非線性的鏡像Baker碼(Mirrored Baker’s Map Code)和混沌模擬量拓?fù)?CAT)碼［8］。

對于Kai Xie等人提出的非線性的鏡像Baker碼，在較高信噪比(10 dB以上)的糾錯能力有待于進(jìn)一步提高。本文借鑒近年“鏡像Baker碼”模擬量糾錯編碼研究結(jié)果，提出“四位循環(huán)Baker碼”的編碼方法和最大似然譯碼方法，有效提高了模擬量編碼的糾錯性能。

2 編碼方法的改進(jìn)

2.1 鏡像Baker碼編碼方法

Kai Xie，Jing Li(Tiffany)提出的鏡像 Baker碼［9］是基于Baker’s map和tent map結(jié)合構(gòu)造的混沌系統(tǒng)，通過該混沌系統(tǒng)映射獲得的一種編碼方法。

混沌系統(tǒng)是一種在演變過程中對初始狀態(tài)具有很強(qiáng)敏感性的非線性系統(tǒng)［10］。近年來，混沌的這種特性被Xie Kai和Li Jing發(fā)現(xiàn)，這種對初始狀態(tài)的敏感性是模擬編碼的關(guān)鍵［11］。具體說來，如果把混沌系統(tǒng)的初始狀態(tài)看作是有待于編碼的信源，把混沌系統(tǒng)演變而來的狀態(tài)看作是編碼后的碼字，這樣混沌系統(tǒng)就可以有效地放大信源的差異，增大碼距，從而達(dá)到信道編碼的目的［12］。另外，為了得到均衡的糾錯能力，提出一種鏡像的結(jié)構(gòu)來構(gòu)造碼字。其中，{x［0］，y［0］}是碼字的初始狀態(tài)，{x［k］，y［k］}是根據(jù)Baker’s map的映射函數(shù)F得到的后續(xù)狀態(tài)，即

通過Baker’s map變換可以進(jìn)行模擬編碼，鏡像編碼是指對每個二維的信源調(diào)換次序，得到鏡像的對稱信源。例如:對信源{u，v}，首先將其作為初始狀態(tài)進(jìn)行Baker’s map 變 換，得 到 編 碼 碼 字 {x1［0］，y1［0］}={u，v}，{x1［1］，y1［1］}，{x1［2］，y1［2］}，…，{x1［2N－1］，y1［2N－1］}，再對 {v，u}進(jìn)行變換得到 {x2［0］，y2［0］}={u，v}，{x2［1］，y2［1］}，{x2［2］，y2［2］}，…，{x2［2N－1］，y2［2N－1］}，得到碼率為c的碼字。編碼過程為

2.2 四位循環(huán)Baker碼編碼方法

本文提出的四位循環(huán)Baker碼也是利用Baker’s map和tent map結(jié)合構(gòu)造的混沌系統(tǒng)，通過對信息位的擴(kuò)展，構(gòu)造出一種四位循環(huán)的結(jié)構(gòu)，來平衡各位的糾錯能力，再通過該混沌系統(tǒng)的映射，得到四位循環(huán)的碼字，如圖3所示。

圖3 四位循環(huán)Baker碼編碼流程

通過循環(huán)結(jié)構(gòu)的編碼方式，加強(qiáng)信源的相關(guān)性，實現(xiàn)信源的均衡保護(hù)，從而提高糾錯的性能。例如對信源{u，v，w，z}，根據(jù)Baker’s map利用循環(huán)的方式進(jìn)行編碼。首先，對 {u，v}進(jìn)行變換得到 {x1［0］，y1［0］}={u，v}，{x1［1］，y1［1］}，{x1［2］，y1［2］}，…，{x1［2N－1］，y1［2N－1］}，對 {v，w}進(jìn)行變換得到 {x2［0］，y2［0］}={v，w}，{x2［1］，y2［1］}，{x2［2］，y2［2］}，…，{x2［2N－1］，y2［2N－1］}，對{w，z}進(jìn)行變換得到{x3［0］，y3［0］}={w，z}，{x3［1］，y3［1］}，{x3［2］，y3［2］}，…，{x3［2N－1］，y3［2N－1］}，再對 {z，u}進(jìn)行變換得到 {x4［0］，y4［0］}={z，u}，{x4［1］，y4［1］}，{x4［2］，y4［2］}，…，{x4［2N－1］，y4［2N－1］}，得到碼率為1/2N的碼字。編碼過程為

3 最大似然譯碼

本文提出的四位循環(huán)Baker碼，利用最大似然準(zhǔn)則進(jìn)行譯碼［13］。但模擬量的最大似然譯碼不同于數(shù)字的最大似然譯碼。

對于數(shù)字量的最大似然譯碼準(zhǔn)則為:設(shè)離散單符號信道的輸入符號集為A={ai}，i=1，2，…，r;輸出符號集為B={bj}，j=1，2，…，s;制定譯碼規(guī)則就是設(shè)計一個函數(shù)F(bj)，它對于每一個輸出符號bj確定一個唯一的輸入符號ai與其對應(yīng)。即選擇一種譯碼函數(shù)F(bj)=a'，a'?A，bj?B，使?jié)M足P(bj|a')≥P(bj|ai)，ai?A，ai≠a'［1］。

但對于模擬量，由于是整個實數(shù)域，沒有固定的值，所以最大似然譯碼應(yīng)借鑒極限的概念，對于輸入的信號S，S?R，根據(jù)一定的編碼規(guī)則f，得到冗余的信息T，T?R，其中，T=f(S)，其碼字為{S，T}，通過一定的無線信道后，得到的信息為{RS，RT}，則模擬量的最大似然譯碼即為選擇一個最接近原信號的S'，使Pr{RS，RT|S}最大，應(yīng)用極值的求解方法即可得到近似解S'。

由于是四位循環(huán)編碼，為了使錯誤概率進(jìn)一步降低，可以得到

由于 Baker’s map 的每一次變換都是線性的［13］，所以可以得到

4 仿真及結(jié)果分析

本文提出的模擬編碼主要是用來傳輸模擬信號，也可以用來傳輸數(shù)字信號，為了與數(shù)字編碼相比較，本文將用模擬編碼傳輸JPEG圖像信息，通過鏡像Baker碼和四位循環(huán)Baker碼相比較，得出結(jié)論。

本文對255×256的Lena圖像進(jìn)行處理，對于Lena圖像，其每個像素點是用8位二進(jìn)制表示的0～255的數(shù)，傳統(tǒng)的數(shù)字編碼是將每個像素點擴(kuò)展成二進(jìn)制表示，對255×256×8的二進(jìn)制的碼流進(jìn)行處理。而本文提出的模擬編碼則是將像素點看作一個個實數(shù)來處理。

1)把JPEG圖像的每個像素點通過(x－128)/128變換成［－1，1］之間的小數(shù)，進(jìn)行四位Baker碼編碼。

2)將編碼后的信息通過加性高斯信道，通過控制信噪比(SNR)來比較圖像的失真度。

3)將加噪后的信息進(jìn)行最大似然譯碼，把［－1，1］之間的小數(shù)經(jīng)(x×128)+128變換成0～255之間的像素點，并還原出圖像，便于對比。

通過分別對255×256的Lena圖像進(jìn)行鏡像Baker碼和四位循環(huán)Baker碼進(jìn)行處理，由圖4～圖7可以明顯看出，經(jīng)四位循環(huán)Baker碼編碼處理的圖像，其噪聲點明顯減少，抗噪聲性能更強(qiáng)，糾錯能力得到明顯加強(qiáng)。

圖5 13 dB噪聲下圖像比較

在信噪比為7 dB和13 dB時，由四位循環(huán)Baker碼恢復(fù)的圖像的噪聲點明顯比鏡像Baker碼少，圖像質(zhì)量得到一定的改善;在信噪比為19 dB和25 dB時，由四位循環(huán)Baker碼恢復(fù)的圖像與源圖像有略微的差別，比鏡像Baker碼的糾錯性能有一定的提高。

圖6 19 dB噪聲下圖像比較

圖7 25 dB噪聲下圖像比較

4)峰值信噪比PSNR，是一種評價圖像的客觀標(biāo)準(zhǔn)，通過PSNR值來衡量圖像的品質(zhì)，即

式中:x代表原始灰度圖像的灰度值;y代表處理后圖像的灰度值。

5)對Lena圖像，通過四位循環(huán)Baker編碼，根據(jù)得到的數(shù)據(jù)，得出SNR－PSNR曲線，并與鏡像Baker碼的性能相比較，如圖8所示。

圖8 鏡像Baker碼與四位循環(huán)Baker碼性能比較

由圖8可看出，在信噪比低于10 dB的信道環(huán)境中，鏡像Baker碼和四位循環(huán)Baker碼的PSNR隨著SNR呈近似線性的增長，改進(jìn)的編碼方法的糾錯性能略好。在信噪比高于10 dB的信道環(huán)境中，在四位循環(huán)Baker碼的糾錯能力與鏡像Baker碼相比有較大的提高。

特別地，對于圖像來說，PSNR在30 dB以上才算是好圖像，由圖8可以看出，四位循環(huán)Baker碼在信噪比16 dB即可使PSNR達(dá)到30 dB，而鏡像Baker碼則需要信噪比達(dá)到20 dB以上，由此可看出:改進(jìn)的編碼算法糾錯性能有一定的提高。

5 結(jié)束語

本文基于混沌基本理論和編碼理論，通過對Kai Xie和Jing Li(Tiffany)提出的鏡像Baker碼的編碼方法進(jìn)行改進(jìn)，利用循環(huán)結(jié)構(gòu)，增加碼元之間的相關(guān)性，構(gòu)造出一種簡便、失真小、性能好的四位循環(huán)Baker碼。并根據(jù)最大似然譯碼算法，將其應(yīng)用于數(shù)字圖像的傳輸上。經(jīng)MATLAB仿真，與鏡像Baker碼性能相比較，可以看出:在低信噪比(SNR＜10 dB)環(huán)境中，四位循環(huán)Baker碼的糾錯能力比鏡像Baker碼略好;在高信噪比(SNR＞10 dB)環(huán)境中，其有效作用環(huán)境更加寬。尤其在高信噪比情況下，四位循環(huán)Baker碼的糾錯能力比鏡像Baker碼有很大的提升。特別對于數(shù)字圖像傳輸來說，通過四位循環(huán)編碼，可以大大提升圖像的質(zhì)量，在低信噪比情況下，仍能得到質(zhì)量較好的圖像，彌補(bǔ)數(shù)字糾錯編碼低信噪比的缺陷。

進(jìn)一步的研究有三個方面:首先，進(jìn)一步對Baker碼進(jìn)行研究，特別是其編碼的結(jié)構(gòu)，找到一種更好的糾錯性能更好的編碼方法;其次，通過對混沌理論的進(jìn)一步研究，找到一種距離擴(kuò)散更快的混沌模型，提高模擬量編碼的糾錯能力;最后，對模擬量信源的壓縮感知進(jìn)行研究，搭建出一種基于壓縮感知和模擬量編碼的通信系統(tǒng)。

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