淺談方程組的同解原理在初中數學中的應用
2014-09-18 09:50:48張劍
教育教學論壇 2014年36期
張劍
摘要：本文通過對初中數學中常見的解方程組的問題，結合《代數教材教法》中方程組的同解原理舉例論述，從而闡述了初中數學方程組的解法和技巧，使學生在解方程組時有章可循、有據可依，全面調動了學生的積極性。
關鍵詞：方程組的同解原理；方程組的解法；舉例應用
中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）36-0088-01
解方程組的基本思想是“消元”和“降次”。消元的方法主要是代入法和加減法，降次的方法一般是換元法和因式分解法。
為了表達簡練，規定記號A（x·y），B（x·y）表示含有未知數x、y的二元二次整式（例如A=x2-4y2+x+3y-1）；規定記號M（x、y），N（x、y）表示含有未知數x、y的二元一次整式（如M（x·y）=2x-y-1）。
一、方程組的同解原理1、2及其應用
定理1：如果方程M（x·y）=0與N（x·y）=0是同解方程，那么方程組：
（1）A（x·y）=0，M（x·y）=0；
（2）A（x·y）=0，N（x·y）=0.
是同解方程組（摘自《初等代數教材教法》第267頁定理13）。
這個定理告訴我們，方程組中某一個方程變形后與未變方程組成的方程組是同解方程組。
定理2：已知y=ax+b（a≠0），把y代入A（x·y）中的y處，消去y，得到一個只含x的式子，記為P（x），那么方程組：
（1）A（x·y）=0，y=ax+b（a≠0）；與（2）P（x）=0，y=ax+b（a≠0）.
是同解方程組（摘自《初等代數教材教法》第269頁定理15）。
這個定理告訴我們，把一個方程代入另一個方程所得的方程與被代入方程組成的方程組是同解方程組，它是代入消元法的依據。
例1 解方程組：
x2-4y2+x+3y-1=0， j2x-y-1=0； k
解：由②得y=2x-1 ③
由于②與③同解，由定理1，得：
x2-4y2+x+3y-1=0， m2x-y-1=0； n
由定理2，得：
x2-4（2x-1）2+x+3（2x-1）=0，y=2x-1；
化簡，得15x2-23x+8=0， o2x-y-1=0； p
（在沒有根據以前，學生對⑥中解得的x1=1，x2=■代入①、②還是③呢？無法確定）。可求得原方程組的解（略）。
二、方程組的同解原理3及其應用
定理3：方程組：
（1）A（x·y）=0，M（x·y）·N（x·y）=0.與下列兩個方程組：
（2）A（x·y）=0，M（x·y）=0.或A（x·y）=0，N（x·y）=0.是同解方程組（摘自《初等代數教材教法》第270頁定理16）。
這個定理告訴我們，某一個方程能用分解因式法降次時，可以將原方程組寫成兩個方程組求解。
例2 解方程組x2+2xy+y2=25，9x2-12xy+4y2=9.
解：原方程組可化為：
（x+y+5）（x+y-5）=0，（3x-2y+3）（3x-2y-3）=0.
由定理3，方程組可化為：
x+y+5=0，3x-2y+3=0；
x+y+5=0，3x-2y-3=0；
x+y-5=0，3x-2y+3=0；
x+y-5=0，3x-2y-3=0；
可求得原方程組的解（略）。
評注：對于形如A·B=0C·D=0的方程組可化為A=0，C=0；A=0，D=0；B=0，C=0；B=0，D=0.按這樣的順序組合，可以避免重復或遺漏原方程組的解。
以上方程組的同解原理是為了使學生便于理解，敘述方法與原定理稍有不同，教師要向學生說明數學知識增加后再考慮證明。學生現在只需要認可，相信自己解方程的方法是正確的，有根據的，會用就可以了。endprint
摘要：本文通過對初中數學中常見的解方程組的問題，結合《代數教材教法》中方程組的同解原理舉例論述，從而闡述了初中數學方程組的解法和技巧，使學生在解方程組時有章可循、有據可依，全面調動了學生的積極性。
關鍵詞：方程組的同解原理；方程組的解法；舉例應用
中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）36-0088-01
解方程組的基本思想是“消元”和“降次”。消元的方法主要是代入法和加減法，降次的方法一般是換元法和因式分解法。
為了表達簡練，規定記號A（x·y），B（x·y）表示含有未知數x、y的二元二次整式（例如A=x2-4y2+x+3y-1）；規定記號M（x、y），N（x、y）表示含有未知數x、y的二元一次整式（如M（x·y）=2x-y-1）。
一、方程組的同解原理1、2及其應用
定理1：如果方程M（x·y）=0與N（x·y）=0是同解方程，那么方程組：
（1）A（x·y）=0，M（x·y）=0；
（2）A（x·y）=0，N（x·y）=0.
是同解方程組（摘自《初等代數教材教法》第267頁定理13）。
這個定理告訴我們，方程組中某一個方程變形后與未變方程組成的方程組是同解方程組。
定理2：已知y=ax+b（a≠0），把y代入A（x·y）中的y處，消去y，得到一個只含x的式子，記為P（x），那么方程組：
（1）A（x·y）=0，y=ax+b（a≠0）；與（2）P（x）=0，y=ax+b（a≠0）.
是同解方程組（摘自《初等代數教材教法》第269頁定理15）。
這個定理告訴我們，把一個方程代入另一個方程所得的方程與被代入方程組成的方程組是同解方程組，它是代入消元法的依據。
例1 解方程組：
x2-4y2+x+3y-1=0， j2x-y-1=0； k
解：由②得y=2x-1 ③
由于②與③同解，由定理1，得：
x2-4y2+x+3y-1=0， m2x-y-1=0； n
由定理2，得：
x2-4（2x-1）2+x+3（2x-1）=0，y=2x-1；
化簡，得15x2-23x+8=0， o2x-y-1=0； p
（在沒有根據以前，學生對⑥中解得的x1=1，x2=■代入①、②還是③呢？無法確定）。可求得原方程組的解（略）。
二、方程組的同解原理3及其應用
定理3：方程組：
（1）A（x·y）=0，M（x·y）·N（x·y）=0.與下列兩個方程組：
（2）A（x·y）=0，M（x·y）=0.或A（x·y）=0，N（x·y）=0.是同解方程組（摘自《初等代數教材教法》第270頁定理16）。
這個定理告訴我們，某一個方程能用分解因式法降次時，可以將原方程組寫成兩個方程組求解。
例2 解方程組x2+2xy+y2=25，9x2-12xy+4y2=9.
解：原方程組可化為：
（x+y+5）（x+y-5）=0，（3x-2y+3）（3x-2y-3）=0.
由定理3，方程組可化為：
x+y+5=0，3x-2y+3=0；
x+y+5=0，3x-2y-3=0；
x+y-5=0，3x-2y+3=0；
x+y-5=0，3x-2y-3=0；
可求得原方程組的解（略）。
評注：對于形如A·B=0C·D=0的方程組可化為A=0，C=0；A=0，D=0；B=0，C=0；B=0，D=0.按這樣的順序組合，可以避免重復或遺漏原方程組的解。
以上方程組的同解原理是為了使學生便于理解，敘述方法與原定理稍有不同，教師要向學生說明數學知識增加后再考慮證明。學生現在只需要認可，相信自己解方程的方法是正確的，有根據的，會用就可以了。endprint
摘要：本文通過對初中數學中常見的解方程組的問題，結合《代數教材教法》中方程組的同解原理舉例論述，從而闡述了初中數學方程組的解法和技巧，使學生在解方程組時有章可循、有據可依，全面調動了學生的積極性。
關鍵詞：方程組的同解原理；方程組的解法；舉例應用
中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）36-0088-01
解方程組的基本思想是“消元”和“降次”。消元的方法主要是代入法和加減法，降次的方法一般是換元法和因式分解法。
為了表達簡練，規定記號A（x·y），B（x·y）表示含有未知數x、y的二元二次整式（例如A=x2-4y2+x+3y-1）；規定記號M（x、y），N（x、y）表示含有未知數x、y的二元一次整式（如M（x·y）=2x-y-1）。
一、方程組的同解原理1、2及其應用
定理1：如果方程M（x·y）=0與N（x·y）=0是同解方程，那么方程組：
（1）A（x·y）=0，M（x·y）=0；
（2）A（x·y）=0，N（x·y）=0.
是同解方程組（摘自《初等代數教材教法》第267頁定理13）。
這個定理告訴我們，方程組中某一個方程變形后與未變方程組成的方程組是同解方程組。
定理2：已知y=ax+b（a≠0），把y代入A（x·y）中的y處，消去y，得到一個只含x的式子，記為P（x），那么方程組：
（1）A（x·y）=0，y=ax+b（a≠0）；與（2）P（x）=0，y=ax+b（a≠0）.
是同解方程組（摘自《初等代數教材教法》第269頁定理15）。
這個定理告訴我們，把一個方程代入另一個方程所得的方程與被代入方程組成的方程組是同解方程組，它是代入消元法的依據。
例1 解方程組：
x2-4y2+x+3y-1=0， j2x-y-1=0； k
解：由②得y=2x-1 ③
由于②與③同解，由定理1，得：
x2-4y2+x+3y-1=0， m2x-y-1=0； n
由定理2，得：
x2-4（2x-1）2+x+3（2x-1）=0，y=2x-1；
化簡，得15x2-23x+8=0， o2x-y-1=0； p
（在沒有根據以前，學生對⑥中解得的x1=1，x2=■代入①、②還是③呢？無法確定）。可求得原方程組的解（略）。
二、方程組的同解原理3及其應用
定理3：方程組：
（1）A（x·y）=0，M（x·y）·N（x·y）=0.與下列兩個方程組：
（2）A（x·y）=0，M（x·y）=0.或A（x·y）=0，N（x·y）=0.是同解方程組（摘自《初等代數教材教法》第270頁定理16）。
這個定理告訴我們，某一個方程能用分解因式法降次時，可以將原方程組寫成兩個方程組求解。
例2 解方程組x2+2xy+y2=25，9x2-12xy+4y2=9.
解：原方程組可化為：
（x+y+5）（x+y-5）=0，（3x-2y+3）（3x-2y-3）=0.
由定理3，方程組可化為：
x+y+5=0，3x-2y+3=0；
x+y+5=0，3x-2y-3=0；
x+y-5=0，3x-2y+3=0；
x+y-5=0，3x-2y-3=0；
可求得原方程組的解（略）。
評注：對于形如A·B=0C·D=0的方程組可化為A=0，C=0；A=0，D=0；B=0，C=0；B=0，D=0.按這樣的順序組合，可以避免重復或遺漏原方程組的解。
以上方程組的同解原理是為了使學生便于理解，敘述方法與原定理稍有不同，教師要向學生說明數學知識增加后再考慮證明。學生現在只需要認可，相信自己解方程的方法是正確的，有根據的，會用就可以了。endprint
