中職數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)研究：案例分析

王志成+姚東根

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，即學(xué)生在經(jīng)歷和感悟、探究和構(gòu)建等數(shù)學(xué)基本活動(dòng)過(guò)程中積淀而成的具有個(gè)體認(rèn)知特征的思維模式。那么，中職數(shù)學(xué)課程教學(xué)如何幫助學(xué)生積累和提升數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀勘疚囊浴熬€(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的有關(guān)概念”這一內(nèi)容的兩個(gè)不同教學(xué)方案為例，通過(guò)具體教學(xué)環(huán)節(jié)探討促進(jìn)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的策略與途徑。

一、建立“情景設(shè)置——信息表征——方法歸納——經(jīng)驗(yàn)提升”的模式

1.感受現(xiàn)實(shí)情景，聯(lián)系已有經(jīng)驗(yàn)

教師可根據(jù)教學(xué)內(nèi)容向?qū)W生呈現(xiàn)背景熟悉、問(wèn)題陌生的兩個(gè)情景，這兩個(gè)情景分別包含目標(biāo)函數(shù)求最大值或最小值，決策變量是整數(shù)或非整數(shù)，約束條件“不少于”“不多于”等信息。

例1.某房地產(chǎn)公司建造居民小區(qū)，若建一棟普通的住宅樓需投入資金300萬(wàn)元，并占地200m2，可獲利潤(rùn)70萬(wàn)元；若建一棟別墅需投入資金200萬(wàn)元，并占地300 m2，可獲利潤(rùn)60萬(wàn)元。該公司現(xiàn)有資金9 000萬(wàn)元，拍得土地11 000m2。問(wèn)：應(yīng)怎樣投資，才能獲利最多？請(qǐng)嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)研究的問(wèn)題。

例2.某點(diǎn)心店要做甲、乙兩種饅頭，甲種饅頭的主要原料是每3份面粉加2份玉米粉，乙種饅頭的主要原料是每4份面粉加1份玉米粉。這個(gè)點(diǎn)心店每天可買(mǎi)進(jìn)面粉50kg、玉米粉20kg。做1kg甲種饅頭的利潤(rùn)是5元，做1kg乙種饅頭的利潤(rùn)是4元。問(wèn)：這個(gè)點(diǎn)心店每天做甲、乙兩種饅頭各多少，才能獲利最多？

針對(duì)上述兩個(gè)情景，教師引導(dǎo)學(xué)生自主探究，即要求學(xué)生讀題、審題，教師啟發(fā)、指點(diǎn)，使學(xué)生回歸生活，并從自身的經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)中尋找解決問(wèn)題的方法。

2.通過(guò)數(shù)學(xué)建模，獲得信息經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵在于：理解相應(yīng)的背景，并對(duì)背景中的關(guān)系進(jìn)行恰當(dāng)?shù)谋碚鳎催\(yùn)用數(shù)學(xué)方法研究問(wèn)題，也就是，進(jìn)行數(shù)據(jù)整理和重新組織，這個(gè)過(guò)程正如荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾說(shuō)的“數(shù)學(xué)化”。數(shù)學(xué)建模的過(guò)程有兩個(gè)。其一，學(xué)生根據(jù)已有的生活經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)問(wèn)題背景進(jìn)行整體感知，聚焦要解決的問(wèn)題。其二，學(xué)生展示問(wèn)題解決過(guò)程，并在討論交流中修正和完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

3.體會(huì)概念形成，獲得歸納思維

數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程既是學(xué)生生活常識(shí)的精致化過(guò)程，又是學(xué)生思維開(kāi)拓的過(guò)程，它一般遵循由特殊到一般、由具體到抽象的認(rèn)知過(guò)程，因此，源于生活的數(shù)學(xué)概念一般采用歸納的思維方式進(jìn)行加工，正如弗賴(lài)登塔爾指出的，在實(shí)際生活中，許多概念并不是通過(guò)定義學(xué)到的，而是接觸了大量實(shí)例，經(jīng)反復(fù)觀(guān)察、對(duì)比體會(huì)后歸納出來(lái)的。有了前面的背景材料和問(wèn)題解決過(guò)程，“線(xiàn)性規(guī)劃”的概念就有了參考的經(jīng)驗(yàn)現(xiàn)象和歸納的基礎(chǔ)，概念的形成就水到渠成。在之后的鞏固練習(xí)中，教師可通過(guò)正反例比較幫助學(xué)生補(bǔ)充、修改和完善概念表象，以理解形成的概念。

4.構(gòu)建解決模式，提升活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

例3.某運(yùn)輸公司有8輛載重6t的A型卡車(chē)，4輛載重10t的B型卡車(chē)，并有9名駕駛員。在建造某段高速公路時(shí)，公司承包了每天至少運(yùn)輸瀝青180t的任務(wù)。已知每輛卡車(chē)每天往返次數(shù)為A型4次，B型6次，派出每輛卡車(chē)每天的成本為A型120元，B型200元。每天應(yīng)派出A型和B型卡車(chē)各多少輛，才能使公司總成本最低？

教師可通過(guò)上述例題幫助學(xué)生積累“做數(shù)學(xué)”的豐富經(jīng)驗(yàn)，既獲得知識(shí)，又找到解決問(wèn)題的策略。由于認(rèn)識(shí)活動(dòng)是一個(gè)“意義賦予”的過(guò)程，因此，只有借助已有的經(jīng)驗(yàn)和概念進(jìn)行自我構(gòu)建，才能獲得對(duì)嶄新概念的完整理解，所以，在教學(xué)中，教師要為學(xué)生設(shè)置情景，并注重師生或生生之間的討論與合作，以歸納“線(xiàn)性規(guī)劃”問(wèn)題構(gòu)建解決模式的三個(gè)步驟。

二、建立“信息搜集——自主構(gòu)建——規(guī)范操作——模式檢驗(yàn)”的模式

1.通過(guò)自主閱讀，獲得初始經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生往往帶著對(duì)世界的看法走進(jìn)課堂，而教學(xué)又必須在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行，所以，經(jīng)驗(yàn)自然成為數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯起點(diǎn)。由于中職生個(gè)體間的差異較大，而教師確立的起點(diǎn)難免或高或低，有時(shí)甚至遠(yuǎn)離學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，因此，起點(diǎn)的確立須考慮兩個(gè)問(wèn)題。其一，學(xué)生在課前必須彌合水平的差異，即通過(guò)問(wèn)題的指引閱讀教材，獲取信息，以初步整理信息，從而獲得初始經(jīng)驗(yàn)。其二，課前的教材閱讀，其重點(diǎn)應(yīng)放在對(duì)陳述性知識(shí)的了解和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題方面，也就是說(shuō)，要求學(xué)生通過(guò)閱讀，將已有經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)與嶄新知識(shí)相聯(lián)系，并聚焦問(wèn)題（什么叫做“線(xiàn)性規(guī)劃”問(wèn)題，一個(gè)“線(xiàn)性規(guī)劃”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型有哪些共同特征），這樣，學(xué)生便能根據(jù)個(gè)人生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)進(jìn)行初步的自主構(gòu)建，從而為課堂生成做準(zhǔn)備。

2.通過(guò)問(wèn)題導(dǎo)引，自主構(gòu)建概念

本課涉及的主要是陳述性知識(shí)。例如，“線(xiàn)性規(guī)劃”問(wèn)題的定義，記號(hào)“max”和“min”，“線(xiàn)性規(guī)劃”問(wèn)題分類(lèi)，目標(biāo)函數(shù)、決策變量和約束條件，“線(xiàn)性規(guī)劃”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型特征，“線(xiàn)性規(guī)劃”數(shù)學(xué)模型的一般形式，等等。在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，上述陳述性知識(shí)總是由教師講解，結(jié)果學(xué)生只機(jī)械地記住了這些知識(shí)，卻沒(méi)有對(duì)它們形成個(gè)性化的理解。而在富有創(chuàng)見(jiàn)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，即使是陳述性知識(shí)或常規(guī)性概念，也要通過(guò)適當(dāng)?shù)幕顒?dòng)，讓學(xué)生自主構(gòu)建概念。針對(duì)“線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的有關(guān)概念”這一內(nèi)容，教師可采用讓學(xué)生整理、舉例、闡釋、辨析和比較等方式，這樣，學(xué)生不僅能獲得知識(shí)，更能習(xí)得獲取知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)和方法。

3.規(guī)范思維操作，獲得解決經(jīng)驗(yàn)

由于數(shù)學(xué)認(rèn)知的核心是思維，因此，只有調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，數(shù)學(xué)知識(shí)才能轉(zhuǎn)化為學(xué)生的知識(shí)。要做到這一點(diǎn)，最根本的一條就是：充分暴露數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程，把數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)變成數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。針對(duì)“線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的有關(guān)概念”這一內(nèi)容，其核心在于：培養(yǎng)學(xué)生的信息處理能力，使他們學(xué)會(huì)數(shù)據(jù)整理和分析、規(guī)劃和統(tǒng)籌，即引導(dǎo)他們分析有關(guān)量間的局部關(guān)系，用表格描述數(shù)據(jù)關(guān)系，并討論相關(guān)問(wèn)題（例如，要解決的問(wèn)題是什么，“利潤(rùn)”的含義是什么，買(mǎi)進(jìn)的原料是不是要恰好用完，應(yīng)從何處入手思考解決方案，等等），以使學(xué)生切身體驗(yàn)，并獲得真正的理解。當(dāng)然，在這一過(guò)程中，學(xué)生獲得的經(jīng)驗(yàn)可能是片面的、零碎的和膚淺的，所以，需要進(jìn)一步歸納問(wèn)題的解決過(guò)程，規(guī)范思維操作，也就是從實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中抽象、識(shí)別“線(xiàn)性規(guī)劃”模型，設(shè)決策變量，寫(xiě)目標(biāo)函數(shù)，并列表描述數(shù)據(jù)，從而找出約束條件，以規(guī)劃寫(xiě)法，這樣，便形成“抽象——識(shí)別——規(guī)劃”這一思維模式。endprint

4.探究與反思，檢驗(yàn)思維模式

探究與反思問(wèn)題的過(guò)程是檢驗(yàn)思維模式的必要步驟。由于學(xué)生的初始經(jīng)驗(yàn)尚不牢固，因此，他們對(duì)建立“線(xiàn)性規(guī)劃”模型的思維方式還沒(méi)有形成應(yīng)有的解題思路，并對(duì)問(wèn)題分析方法的有效性存在疑慮，所以，只有通過(guò)獨(dú)立探究與解題反思，才能促使學(xué)生關(guān)注思維模式的細(xì)節(jié)，從而形成有效的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并在實(shí)踐中獲得檢驗(yàn)。

例4：某運(yùn)輸公司有8輛載重6t的A型卡車(chē)，4輛載重10t的B型卡車(chē)，并有9名駕駛員。在建造某段高速公路時(shí)，公司承包了每天至少運(yùn)輸瀝青180t的任務(wù)。已知每輛卡車(chē)每天往返次數(shù)為A型4次，B型6次，派出每輛卡車(chē)每天的成本為A型120元，B型200元。每天應(yīng)派出A型和B型卡車(chē)各多少輛，才能使公司總成本最低？

針對(duì)上述例題，教師可提出相關(guān)問(wèn)題（從哪入手，什么是總成本，目標(biāo)函數(shù)是什么，約束條件是什么，有沒(méi)有考慮周全），并采用表格表征信息，以將問(wèn)題的解決過(guò)程獨(dú)立而完整地表達(dá)出來(lái)。然后，教師修改題目（派出每輛卡車(chē)每天可得利潤(rùn)為A型120元，B型200元，求每天應(yīng)派出A型和B型卡車(chē)各多少輛，才能使公司利潤(rùn)最大），并要求學(xué)生解答。教學(xué)完成后，反思：確立教學(xué)的關(guān)鍵，即“抽象、識(shí)別、規(guī)劃”的思維操作過(guò)程，明確“線(xiàn)性規(guī)劃”問(wèn)題建模的三個(gè)步驟（設(shè)決策變量、定目標(biāo)函數(shù)和列約束條件），建立“熟悉背景、表征信息”這一問(wèn)題解決的通用策略。

三、促使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)策略

美國(guó)組織行為學(xué)教授庫(kù)伯認(rèn)為，學(xué)習(xí)“始于經(jīng)驗(yàn)，然后回歸于經(jīng)驗(yàn)”，學(xué)習(xí)是“改造或者轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)、創(chuàng)造知識(shí)”的過(guò)程。可見(jiàn)，有效教學(xué)必以學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，并以經(jīng)驗(yàn)形成為宗旨。回顧上述兩種教學(xué)方案，我們發(fā)現(xiàn)，促使學(xué)生獲取數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)方法有其共同的教學(xué)規(guī)律。

1.構(gòu)建有利于形成數(shù)學(xué)思維模式的教學(xué)路徑

通過(guò)參與具體活動(dòng)，直接領(lǐng)悟、創(chuàng)造活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，然后對(duì)所經(jīng)歷的活動(dòng)回顧、反思，內(nèi)化為合乎邏輯的、抽象的經(jīng)驗(yàn)，并將之在新情景中進(jìn)行證實(shí)和運(yùn)用，重新領(lǐng)悟和創(chuàng)造新的經(jīng)驗(yàn)，即形成“情景——問(wèn)題——活動(dòng)——?dú)w納——思維模式——實(shí)踐應(yīng)用”的教學(xué)方式，其中，“情景”是邏輯起點(diǎn)，“問(wèn)題”是導(dǎo)向，“活動(dòng)”是載體，“歸納”是思維方式（是對(duì)活動(dòng)的回顧與反思，是對(duì)本質(zhì)一致的不同情景的類(lèi)別劃分），“思維模式”是最后形成的經(jīng)驗(yàn)，“實(shí)踐應(yīng)用”是對(duì)經(jīng)驗(yàn)有效性的檢驗(yàn)和強(qiáng)化。

2.優(yōu)化有利于積淀數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)過(guò)程

要優(yōu)化有利于積淀數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)過(guò)程，就要做到四點(diǎn)。其一，優(yōu)化情景設(shè)計(jì)，使之成為積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的載體，以利于學(xué)生的理解、參與，促使學(xué)生調(diào)動(dòng)內(nèi)部與外部的資源處理情景問(wèn)題，并對(duì)行動(dòng)過(guò)程和結(jié)果進(jìn)行反思，最終從情景中獲得解決同類(lèi)問(wèn)題的思維模式。其二，優(yōu)化行為操作、語(yǔ)言操作、表象操作和思維操作，即以靈活的方式引領(lǐng)學(xué)生對(duì)同一數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行多元化的數(shù)學(xué)操作活動(dòng)，從而形成個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的個(gè)性化理解。其三，優(yōu)化經(jīng)驗(yàn)獲得過(guò)程，做到有序性與提升性相融，即從初始經(jīng)驗(yàn)到嶄新經(jīng)驗(yàn)的生成，是不斷積累、積淀和創(chuàng)新的過(guò)程，只有經(jīng)歷活動(dòng)，并對(duì)活動(dòng)進(jìn)行及時(shí)回顧、觀(guān)察、反思和提煉，并在新的情景中驗(yàn)證和應(yīng)用，才能獲得完整的、條理化的經(jīng)驗(yàn)。其四，優(yōu)化“對(duì)話(huà)”過(guò)程，即讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)責(zé)任的承擔(dān)者，一定要讓他們自己動(dòng)手參與、探索、傾聽(tīng)和質(zhì)疑。

本文系江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃2013年度重點(diǎn)研究課題：中職數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)及教學(xué)實(shí)踐研究（課題編號(hào)：B-a/2013/03/009）和江蘇省職業(yè)教育教學(xué)改革研究課題： 中職數(shù)學(xué)課堂教學(xué)生活化實(shí)踐研究（課題編號(hào)：ZYB37）研究成果之一。

（作者單位：江蘇省蘇州市太湖旅游中等專(zhuān)業(yè)學(xué)校）

（責(zé)任編輯：梁金）endprint