高考數學必做客觀題——計數原理

陶友根

1 分類加法計數原理與分步乘法計數原理

（ ）必做1 一個小朋友有5支不同顏色的水彩筆，老師要求用這5支筆給圖中的四個區域涂色，規定一個區域只涂一種顏色，相鄰的區域顏色不同，那么小朋友有______種不同的涂色方案.

圖1

精妙解法 先分為兩類：

第一類，當D與A不同色，則可分為四步完成.第一步，涂A有5種方法；第二步，涂D有4種方法；第三步，涂C有3種方法；第四步，涂B有3種方法. 由分步乘法計數原理，共有5×4×3×3=180種方法.

第二類，當D與A同色，分三步完成，第一步，涂A和D有5種方法；第二步，涂B有4種方法；第三步，涂C有4種方法. 由分步乘法計數原理，共有5×4×4=80（種）.

所以共有180+80=260種不同的方案.

極速突擊 首先確定“完成一件事”的“事”是什么，再判斷是“分類”還是“分步”，從而確定用“加法”還是“乘法”進行計數. 染色問題是考查計數方法的一種常見問題，由于這類問題常常涉及分類與分步，所以在高考題中經常出現，處理這類問題的關鍵是要找準分類標準，像本題中A，D顏色是否相同對其他區域的涂色有影響.

誤點警示 本題容易出現如下錯解. 分四步完成：第一步，涂A有5種，第二步，涂B有4種，第三步，涂C有4種，第四步，涂D有3種，所以共有5×4×4×3=240種.錯誤的原因在于沒有考慮到A，D是否同色對B，C區域的影響.

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重視兩個原理的靈活運用，并注意以下幾點：

（1）認真審題，分析題目的條件、結論，特別是要理解題目中所講的“事情”是什么，完成這件事情的含義和標準是什么.

（2）明確完成這件事情需要“分類”還是“分步”，還是既要“分類”又要“分步”，并搞清“分類”或“分步”的具體標準是什么. 分類要做到不重不漏.

2 排列問題

（ ）必做1 由4，5，6，7，8，9組成沒有重復數字且4，8都不與6相鄰的六位奇數的個數是__________.

精妙解法 插空法，先排5，7，9，共有A 種方法，

①若4，6，8都不相鄰，則有A 種方法；

②若4，8相鄰，則有A A 種方法.

所以共有A （A +A A ）=108種.

極速突擊 元素不相鄰問題用“插空法”，元素相鄰問題用“捆綁法”.

誤點警示 本題容易將“4，8都不與6相鄰”理解為“4，6，8都不相鄰”，從而錯解為A ·A =36種.

（ ）必做2 某學校安排7位行政領導值班（每輪7天），每天安排1人，每人值班1天，若7位領導中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在第一天，丁不排在最后一天，則不同的安排方案共有（ ）

A. 504種 B. 960種

C. 1008種 D. 1108種

精妙解法 若丙排在第一天，共有A ·A =240種；若丁排最后一天，共有A ·A =240種；若丙排第一天且丁排最后一天共有A ·A =48種；若不考慮丙、丁的條件限制，共有A ·A =1440種. 所以共有1440-240-240+48=1008種. 故選C.

極速突擊 當直接分類情況較多時，我們常常從反面入手，注意特殊元素先考慮，分類務必“不重不漏”.

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排隊問題的常用方法：特殊元素優先安排，特殊位置優先解決，相鄰問題捆綁法，不相鄰問題插空法，直接法復雜則用間接法.

3 組合問題

（ ）必做1 在連接正八邊形的三個頂點構成的三角形中，與正八邊形沒有公共邊的三角形有（ ）

A. 24個 B. 48個

C. 16個 D. 8個

精妙解法 連接正八邊形的三個頂點構成三角形的個數為C ，其中有兩條公共邊的三角形有8個，有一條公共邊的三角形有C ×C ，所以共有C -8-C ×C =16個. 故選C.

極速突擊 正難則反，合理分類.對于否定性詞語“沒有”“不”等問題，常常從反面切入.

（ ）必做2 數學研究學習小組共有13名學生，其中男生8人，女生5人，從這13人里選出3個人準備做報告. 在選出的3個人中，至少要有1名女生，一共有__________種選法.

精妙解法 法1：由題意，按選出女生的人數可分三類情況.

第一類，選1名女生，2名男生，有C ·C 種選法；

第二類，選2名女生，1名男生，有C ·C 種選法；

第三類，選3名女生，男生不選，有C 種選法.

故共有C ·C +C ·C +C =230種選法.

法2：如果沒有限制條件，則有C 種選法，而不符合條件，即選出的全是男生（一名女生也沒有）的選法是C 種. 因此，至少要有1名女生的不同選法有C -C =230種.

極速突擊 對元素有“至少”或“至多”限制的組合應用題，用直接法和間接法都可以，直接法根據條件分類列舉，有時會分類過多；間接法用“沒有限定條件”的總數減去“不符合條件”的種數，以免造成重復.

誤點警示 常出現以下錯解：先選1名女生，有C 種方法；再從剩下的12個人中選出2名，有C 種方法，所以共有C C =330種不同的選法.

錯因是上述解法中有重復計數.不妨設g1，g2，…，g5表示5名女生，b1，b2，…，b8表示8名男生.

（1）先選1名女生是g1，然后任選的2人是g2，b1；

（2）先選1名女生是g2，然后任選的2人是g1，b1. 顯然這是與（1）相同的選法.endprint

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有限制條件的組合應用題：

（1）“含”與“不含”問題，其解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置，一般來講，特殊要先滿足，其余則“一視同仁”.若正面入手不易，則從反面入手，尋找問題的突破口，即采用排除法.解題時要注意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語的確切含義，準確把握分類標準.

（2）“至多”與“至少”問題通常采用排除法，也可以用直接法.

（3）在處理幾何問題中的組合應用問題時，應先明確幾何中的點、線、面及構型，明確平面圖形和立體圖形中的點、線、面之間的關系，將幾何問題抽象成組合問題來解決.

4 排列與組合綜合應用

（ ）必做1 把座位編號為1，2，3，4，5，6的六張觀看《泰囧》的電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，至多兩張，且分得兩張票的必須是連號，那么不同的分法種數是________種.

精妙解法 如圖2，第一步，把六張票分成4組；

第二步，把這4組票分給甲、乙、丙、丁4個人，有A 種.

由分步計數原理得，不同的分法有6A =144種.

極速突擊 排列組合問題，一定要先判定是否有序，有序則排列，否則是組合問題. 分配類問題，一般遵循“先分堆再分配”原則.

（ ）必做2 2013成都財富全球論壇組委會要派五名志愿者從事翻譯、導游、禮儀三項工作，要求每項工作至少有一人從事，則不同的派給方案共有（ ）

A. 25種 B. 150種

C. 240種 D. 360種

精妙解法 五名志愿者從事翻譯、導游、禮儀三項工作，要求每項工作至少有一人從事，分為兩類，第一類為有一樣3人做，另2樣各一人：C A =60；第二類為有兩樣各2人做，另一樣1人做： C C A =90，總共有60+90=150種分派方法，故選B.

極速突擊 在分堆問題中，要特別注意“均分”，不要錯誤地考慮順序. 選派問題，一般遵循“先選后派”的原則，以免出現重復計算和思維混亂.

誤點警示 常出現以下錯解：（1）A （C +A ）=540種，錯因是先分配3人，再分配剩下2人，造成重復計算.

（2）C A +C C A ，錯因是第二類中，沒有注意到分組2+2+1中隱藏著均分問題.

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解排列組合應用題時，常見的解題策略有以下幾種：

（1）特殊元素優先安排的策略；

（2）合理分類和準確分步的策略；

（3）排列、組合混合問題先選后排的策略；

（4）正難則反、等價轉化的策略；

（5）相鄰問題捆綁處理的策略；

（6）不相鄰問題插空處理的策略；

（7）定序問題除法處理的策略；

（8）分排問題直排處理的策略；

（9）“小集團”排列問題中先整體后局部的策略；

（10）構造模型的策略.

5 二項式定理

（ ）必做1 若x- 6展開式的常數項為60，則常數a的值為________，此常數項對應的二項式系數是________.

精妙解法 Tr+1=C x6-r（- ）rx-2r=C （- ）rx6-3r，令r=2得x- 6的常數項為C a，所以令C a=60，即15a=60，解得a=4. 常數項對應的二項式系數為C =15.

極速突擊 用好二項式定理的通項公式，注意區別系數和二項式系數.

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二項式定理的通項公式Tk+1=C an-kbk，它是（a+b）n的展開式的第k+1項，這里k=0，1，…，n. 它反映出展開式在指數、項數、系數等方面的內在聯系，因此能運用二項展開式的通項公式求特定項、特定項系數. 解題時注意方程思想的應用.endprint

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有限制條件的組合應用題：

（1）“含”與“不含”問題，其解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置，一般來講，特殊要先滿足，其余則“一視同仁”.若正面入手不易，則從反面入手，尋找問題的突破口，即采用排除法.解題時要注意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語的確切含義，準確把握分類標準.

（2）“至多”與“至少”問題通常采用排除法，也可以用直接法.

（3）在處理幾何問題中的組合應用問題時，應先明確幾何中的點、線、面及構型，明確平面圖形和立體圖形中的點、線、面之間的關系，將幾何問題抽象成組合問題來解決.

4 排列與組合綜合應用

（ ）必做1 把座位編號為1，2，3，4，5，6的六張觀看《泰囧》的電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，至多兩張，且分得兩張票的必須是連號，那么不同的分法種數是________種.

精妙解法 如圖2，第一步，把六張票分成4組；

第二步，把這4組票分給甲、乙、丙、丁4個人，有A 種.

由分步計數原理得，不同的分法有6A =144種.

極速突擊 排列組合問題，一定要先判定是否有序，有序則排列，否則是組合問題. 分配類問題，一般遵循“先分堆再分配”原則.

（ ）必做2 2013成都財富全球論壇組委會要派五名志愿者從事翻譯、導游、禮儀三項工作，要求每項工作至少有一人從事，則不同的派給方案共有（ ）

A. 25種 B. 150種

C. 240種 D. 360種

精妙解法 五名志愿者從事翻譯、導游、禮儀三項工作，要求每項工作至少有一人從事，分為兩類，第一類為有一樣3人做，另2樣各一人：C A =60；第二類為有兩樣各2人做，另一樣1人做： C C A =90，總共有60+90=150種分派方法，故選B.

極速突擊 在分堆問題中，要特別注意“均分”，不要錯誤地考慮順序. 選派問題，一般遵循“先選后派”的原則，以免出現重復計算和思維混亂.

誤點警示 常出現以下錯解：（1）A （C +A ）=540種，錯因是先分配3人，再分配剩下2人，造成重復計算.

（2）C A +C C A ，錯因是第二類中，沒有注意到分組2+2+1中隱藏著均分問題.

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解排列組合應用題時，常見的解題策略有以下幾種：

（1）特殊元素優先安排的策略；

（2）合理分類和準確分步的策略；

（3）排列、組合混合問題先選后排的策略；

（4）正難則反、等價轉化的策略；

（5）相鄰問題捆綁處理的策略；

（6）不相鄰問題插空處理的策略；

（7）定序問題除法處理的策略；

（8）分排問題直排處理的策略；

（9）“小集團”排列問題中先整體后局部的策略；

（10）構造模型的策略.

5 二項式定理

（ ）必做1 若x- 6展開式的常數項為60，則常數a的值為________，此常數項對應的二項式系數是________.

精妙解法 Tr+1=C x6-r（- ）rx-2r=C （- ）rx6-3r，令r=2得x- 6的常數項為C a，所以令C a=60，即15a=60，解得a=4. 常數項對應的二項式系數為C =15.

極速突擊 用好二項式定理的通項公式，注意區別系數和二項式系數.

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二項式定理的通項公式Tk+1=C an-kbk，它是（a+b）n的展開式的第k+1項，這里k=0，1，…，n. 它反映出展開式在指數、項數、系數等方面的內在聯系，因此能運用二項展開式的通項公式求特定項、特定項系數. 解題時注意方程思想的應用.endprint

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有限制條件的組合應用題：

（1）“含”與“不含”問題，其解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置，一般來講，特殊要先滿足，其余則“一視同仁”.若正面入手不易，則從反面入手，尋找問題的突破口，即采用排除法.解題時要注意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語的確切含義，準確把握分類標準.

（2）“至多”與“至少”問題通常采用排除法，也可以用直接法.

（3）在處理幾何問題中的組合應用問題時，應先明確幾何中的點、線、面及構型，明確平面圖形和立體圖形中的點、線、面之間的關系，將幾何問題抽象成組合問題來解決.

4 排列與組合綜合應用

（ ）必做1 把座位編號為1，2，3，4，5，6的六張觀看《泰囧》的電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，至多兩張，且分得兩張票的必須是連號，那么不同的分法種數是________種.

精妙解法 如圖2，第一步，把六張票分成4組；

第二步，把這4組票分給甲、乙、丙、丁4個人，有A 種.

由分步計數原理得，不同的分法有6A =144種.

極速突擊 排列組合問題，一定要先判定是否有序，有序則排列，否則是組合問題. 分配類問題，一般遵循“先分堆再分配”原則.

（ ）必做2 2013成都財富全球論壇組委會要派五名志愿者從事翻譯、導游、禮儀三項工作，要求每項工作至少有一人從事，則不同的派給方案共有（ ）

A. 25種 B. 150種

C. 240種 D. 360種

精妙解法 五名志愿者從事翻譯、導游、禮儀三項工作，要求每項工作至少有一人從事，分為兩類，第一類為有一樣3人做，另2樣各一人：C A =60；第二類為有兩樣各2人做，另一樣1人做： C C A =90，總共有60+90=150種分派方法，故選B.

極速突擊 在分堆問題中，要特別注意“均分”，不要錯誤地考慮順序. 選派問題，一般遵循“先選后派”的原則，以免出現重復計算和思維混亂.

誤點警示 常出現以下錯解：（1）A （C +A ）=540種，錯因是先分配3人，再分配剩下2人，造成重復計算.

（2）C A +C C A ，錯因是第二類中，沒有注意到分組2+2+1中隱藏著均分問題.

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解排列組合應用題時，常見的解題策略有以下幾種：

（1）特殊元素優先安排的策略；

（2）合理分類和準確分步的策略；

（3）排列、組合混合問題先選后排的策略；

（4）正難則反、等價轉化的策略；

（5）相鄰問題捆綁處理的策略；

（6）不相鄰問題插空處理的策略；

（7）定序問題除法處理的策略；

（8）分排問題直排處理的策略；

（9）“小集團”排列問題中先整體后局部的策略；

（10）構造模型的策略.

5 二項式定理

（ ）必做1 若x- 6展開式的常數項為60，則常數a的值為________，此常數項對應的二項式系數是________.

精妙解法 Tr+1=C x6-r（- ）rx-2r=C （- ）rx6-3r，令r=2得x- 6的常數項為C a，所以令C a=60，即15a=60，解得a=4. 常數項對應的二項式系數為C =15.

極速突擊 用好二項式定理的通項公式，注意區別系數和二項式系數.

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二項式定理的通項公式Tk+1=C an-kbk，它是（a+b）n的展開式的第k+1項，這里k=0，1，…，n. 它反映出展開式在指數、項數、系數等方面的內在聯系，因此能運用二項展開式的通項公式求特定項、特定項系數. 解題時注意方程思想的應用.endprint