一種新的非高斯隨機(jī)振動(dòng)疲勞壽命估計(jì)方法

袁 毅，程軍圣

（湖南大學(xué) 汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410082）

結(jié)構(gòu)振動(dòng)疲勞是指結(jié)構(gòu)所受動(dòng)態(tài)交變載荷（振動(dòng)、沖擊、噪聲載荷等）的頻率分布與結(jié)構(gòu)固有頻率分布具有交集或相接近時(shí)，結(jié)構(gòu)共振所導(dǎo)致的疲勞破壞現(xiàn)象［1－2］。振動(dòng)疲勞現(xiàn)象普遍存在于航天、航空、交通運(yùn)輸?shù)裙こ虒?shí)際中，但由于其復(fù)雜性，相關(guān)研究依然不多［3］。

隨機(jī)應(yīng)力幅值概率密度函數(shù)模型的構(gòu)造是振動(dòng)疲勞壽命估計(jì)方法的關(guān)鍵，與雨流幅值概率密度越接近，模型精度就越高。到目前為止，頻域疲勞壽命估計(jì)已經(jīng)產(chǎn)生許多不同的方法，如 Dirlik，Tovo-Benasciutti和Zhao-Baker等。它們有一個(gè)共同特點(diǎn)，都只適用于平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程。然而，在工程實(shí)際中結(jié)構(gòu)承受的載荷經(jīng)常受到外來(lái)隨機(jī)激勵(lì)的影響，使得真實(shí)載荷表現(xiàn)出一定的非高斯性。如果非高斯特性比較明顯，將會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生巨大的損傷，不容忽視［4］。因此，有必要研究非高斯隨機(jī)過(guò)程下振動(dòng)疲勞壽命估計(jì)。

目前，國(guó)內(nèi)外解決非高斯隨機(jī)過(guò)程下的振動(dòng)疲勞壽命估計(jì)問(wèn)題的方法較少，國(guó)外一般利用非高斯載荷的峭度因子進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)修正，誤差較大［5］。按照解決高斯隨機(jī)過(guò)程下振動(dòng)疲勞壽命估計(jì)的思路，解決非高斯問(wèn)題也需要一個(gè)相應(yīng)的隨機(jī)應(yīng)力幅值概率密度函數(shù)模型。蔣培等［6］提出利用非高斯概率密度函數(shù)的Hermite多項(xiàng)式漸近展開(kāi)，利用其三維聯(lián)合高階統(tǒng)計(jì)特征，得到非高斯隨機(jī)過(guò)程下的概率密度函數(shù)。該法適用于窄帶、寬帶、高斯、非高斯隨機(jī)載荷下的疲勞壽命估計(jì)問(wèn)題，具有很強(qiáng)的適應(yīng)性，缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜。因此，本文提出采用高斯近似的方法來(lái)解決非高斯隨機(jī)過(guò)程下的振動(dòng)疲勞壽命估計(jì)問(wèn)題。

高斯近似法采用Winterstein傳遞函數(shù)將非高斯隨機(jī)過(guò)程轉(zhuǎn)換成高斯隨機(jī)過(guò)程，并通過(guò)非高斯修正系數(shù)建立非高斯隨機(jī)過(guò)程下的疲勞損傷與高斯隨機(jī)過(guò)程下的疲勞損傷之間的關(guān)系。這樣就可以通過(guò)估算高斯隨機(jī)過(guò)程下的疲勞損傷得到非高斯過(guò)程下的疲勞損傷。

基于高斯近似的非高斯隨機(jī)過(guò)程振動(dòng)疲勞壽命方法的關(guān)鍵是對(duì)非高斯修正系數(shù)模型的構(gòu)造。本文首先證明了非高斯修正系數(shù)只與非高斯隨機(jī)應(yīng)力和經(jīng)Win-terstein傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換的高斯隨機(jī)應(yīng)力的譜矩有關(guān)。然后采用響應(yīng)面法［7］構(gòu)造一個(gè)關(guān)于應(yīng)力譜矩和非高斯修正系數(shù)的多項(xiàng)式響應(yīng)面模型。最后，利用高斯近似法估算非高斯隨機(jī)振動(dòng)疲勞損傷量，并與經(jīng)過(guò)雨流計(jì)數(shù)和Miner損傷準(zhǔn)則估算的非高斯隨機(jī)過(guò)程下疲勞損傷對(duì)比，結(jié)果表明：高斯近似法具有較好的精度。

1 傳遞函數(shù)法

對(duì)一個(gè)給定的高斯隨機(jī)過(guò)程X（t），引進(jìn)一個(gè)非線性傳遞函數(shù) G（·），可以使得滿足 Z（t）＝G（X（t））的隨機(jī)過(guò)程Z（t）為具有指定偏斜度和峭度的非高斯隨機(jī)過(guò)程。而且，逆?zhèn)鬟f函數(shù)g（·）＝G－1（·）可以用來(lái)將具有指定偏斜度和峭度的非高斯隨機(jī)過(guò)程轉(zhuǎn)化成高斯隨機(jī)過(guò)程，滿足 X（t）＝g（Z（t））。目前，對(duì)滿足 Z（t）＝G（X（t））的傳遞函數(shù)G（·）的定義主要有Ochi提出的單調(diào)指數(shù)函數(shù)模型和Winterstein等［8］提出的單調(diào)的三次Hermite多項(xiàng)式模型。其中，Winterstein等提出的單調(diào)三次Hermite多項(xiàng)式模型在非線性問(wèn)題中具有較高的精度被普遍采用。

通常用三階統(tǒng)計(jì)量偏斜度γ3和四階統(tǒng)計(jì)量峭度γ4來(lái)描述非高斯信號(hào)：

當(dāng)峭度值γ4＞3時(shí)，非高斯隨機(jī)過(guò)程Z（t）的Win-terstein的傳遞函數(shù)G（·）定義為：

其中，X0為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程，X0＝（X－μX）／σX；h～3和h～4是與非高斯隨機(jī)過(guò)程偏斜度γ3和峭度γ4相關(guān)聯(lián)的系數(shù)；系數(shù)κ保證非高斯隨機(jī)過(guò)程和高斯隨機(jī)過(guò)程具有相同的均方根值。

對(duì)逆?zhèn)鬟f函數(shù)g（·）的定義為：

當(dāng)峭度值 γ4＜3，非高斯隨機(jī)過(guò)程 Z（t）的 Winter-stein的逆數(shù)g（·）定義為：

其中，Z0＝（Z－μZ）／σZ，h3＝γ3／6，h4＝（γ4－3）／24。

2 基于高斯近似法的非高斯疲勞壽命估計(jì)

高斯近似法：采用Winterstein傳遞函數(shù)將非高斯隨機(jī)過(guò)程轉(zhuǎn)換成高斯隨機(jī)過(guò)程，并通過(guò)非高斯修正系數(shù)建立非高斯隨機(jī)過(guò)程下的疲勞損傷與高斯隨機(jī)過(guò)程下的疲勞損傷之間的關(guān)系。如式（4）所示：

其中，表示非高斯隨機(jī)過(guò)程下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)疲勞損傷；表示經(jīng)Winterstein傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換的高斯隨機(jī)過(guò)程下的振動(dòng)疲勞損傷；λ表示非高斯修正系數(shù)。

這樣就可以通過(guò)估算高斯隨機(jī)過(guò)程下的疲勞損傷得到非高斯過(guò)程下的疲勞損傷。

目前，對(duì)于高斯隨機(jī)過(guò)程下的振動(dòng)疲勞研究已經(jīng)比較成熟，研究非高斯隨機(jī)過(guò)程下的振動(dòng)疲勞的關(guān)鍵就是非高斯修正系數(shù)的模型。下面將首先討論，非高斯修正系數(shù)由哪些參數(shù)決定。

2.1 非高斯修正系數(shù)

一般寬帶隨機(jī)過(guò)程的雨流幅值分布模型可以假設(shè)由n個(gè)雙參數(shù)Weibull分布表示［9］

其中，wi為權(quán)重系數(shù)，且αi和 βi分別為Weibull分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。并且各參數(shù)都是關(guān)于應(yīng)力功率譜的零階、一階、二階和四階譜矩等四個(gè)參數(shù)的函數(shù)。任意階譜矩定義為［10］：

其中，f表示頻率；G（f）表示單邊功率譜密度。

總疲勞失效可以表示為：

其中，E［0＋］表示應(yīng)力幅值正穿越0值頻率；A和m為材料參數(shù)，T代表總時(shí)間。

聯(lián)立式（5）和式（6）得到：

其中，σS表示應(yīng)力幅值均方根值和Γ表示伽馬函數(shù)。

因此，非高斯修正系數(shù)可以表示為：

從上式可以看出，非高斯修正系數(shù)λ只與高斯隨機(jī)過(guò)程下的譜矩：M′0、M′1、M′2、M′4，非高斯隨機(jī)過(guò)程下的譜矩 M0、M1、M2、M4，以及材料參數(shù) S－N曲線中雙對(duì)數(shù)斜率m有關(guān)。因此，針對(duì)某一特定材料的非高斯修正系數(shù)將只與8個(gè)譜矩有關(guān)。又由于Winterstein傳遞函數(shù)模型保證了轉(zhuǎn)換前后零階譜矩相等，所以非高斯修正系數(shù)將只與7個(gè)譜矩參數(shù)有關(guān)。因此，可以構(gòu)建非高斯修正系數(shù)與7個(gè)譜矩之間關(guān)系的模型。

2.2 非高斯修正系數(shù)的多項(xiàng)式響應(yīng)面模型

響應(yīng)面法是一種結(jié)合實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與統(tǒng)計(jì)理論的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。響應(yīng)面法的關(guān)鍵是用簡(jiǎn)單的表達(dá)式逼近復(fù)雜的隱式函數(shù)，反映輸入變量和響應(yīng)的映射關(guān)系。目前，主要的響應(yīng)面模型有：多項(xiàng)式響應(yīng)面法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)面法。多項(xiàng)式響應(yīng)面法運(yùn)用不同階次的多項(xiàng)式對(duì)樣本進(jìn)行擬合，構(gòu)造目標(biāo)響應(yīng)與輸入變量的近似表達(dá)式，表達(dá)式形勢(shì)簡(jiǎn)單，模型計(jì)算量小，收斂速度快，是目前研究和應(yīng)用比較廣泛的一種響應(yīng)面法［7］。因此可以構(gòu)建一個(gè)關(guān)于非高斯修正系數(shù)和譜矩之間的多項(xiàng)式響應(yīng)面模型。

為了滿足一定的精度，同時(shí)為了使得模型不太復(fù)雜，選擇構(gòu)建非高斯修正系數(shù)與譜矩之間的多項(xiàng)式響應(yīng)面模型為二階多項(xiàng)式模型。具體表達(dá)式如式（9）所示：

其中，ai（i＝0，1，2…35）表示二次多項(xiàng)式響應(yīng)面模型的系數(shù)。

下面將具體討論非高斯修正系數(shù)的二次多項(xiàng)式響應(yīng)面模型系數(shù)的確定。

首先，根據(jù)非高斯修正系數(shù)只與7個(gè)譜矩參數(shù)有關(guān)，確定采用二階模型所需要的基函數(shù)個(gè)數(shù)：

然后，利用Winterstein傳遞函數(shù)模型將具有一定偏斜度和峭度的非高斯隨機(jī)過(guò)程轉(zhuǎn)換成高斯過(guò)程，并求出他們各自的譜矩，最后結(jié)合雨流計(jì)數(shù)與Miner準(zhǔn)則求出單位時(shí)間非高斯隨過(guò)程和高斯隨機(jī)過(guò)程在材料參數(shù)A＝1，m＝3時(shí)的非高斯修正系數(shù)。需要的總樣本數(shù)大約為60組，這里列舉了10組樣本，如表1所示。可以清楚的看到兩點(diǎn)：第一，經(jīng)Winterstein模型轉(zhuǎn)換之后的高斯隨機(jī)過(guò)程與原來(lái)的非高斯隨機(jī)過(guò)程具有相同的一階譜矩，與Winterstein模型保證轉(zhuǎn)換前后均方根值不變這一結(jié)論相吻合；第二，強(qiáng)化系數(shù)都大于1，這符合非高斯隨機(jī)過(guò)程對(duì)結(jié)構(gòu)造成更大程度的損傷這一結(jié)論。此外，這里的非高斯修正系數(shù)普遍偏小的一個(gè)重要原因是材料參數(shù)m＝3偏小，如果m＝10，強(qiáng)化系數(shù)可以達(dá)到100～200，甚至更大，這與文獻(xiàn)［3］中提到的非高斯修正系數(shù)為295比較吻合。

表1 10組非高斯隨機(jī)過(guò)程樣本及經(jīng)W interstein模型轉(zhuǎn)換后高斯隨機(jī)過(guò)程對(duì)比Tab．1 A 10 samples comparison of non-Gaussian random process and the Gaussian random process after converted byW interstein model

表2 非高斯修正系數(shù)的多項(xiàng)式響應(yīng)面模型系數(shù)Tab．2 The polynom ial response surfacemodel coefficient of the non-Gaussian correction coefficient

從表1中可以清楚的看到非高斯隨機(jī)過(guò)程和高斯隨機(jī)過(guò)程的零階譜矩是相等的，這與Winterstein模型很符合。

最后，通過(guò)最小二乘擬合求得非高斯修正系數(shù)的多項(xiàng)式響應(yīng)面法模型系數(shù)如表2所示。

2．3 高斯近似法在非高斯振動(dòng)疲勞壽命估計(jì)中的應(yīng)用

首先，構(gòu)造1 000組具有不同偏斜度和峭度值的非高斯隨機(jī)應(yīng)力信號(hào)，計(jì)算出非高斯隨機(jī)應(yīng)力的4階譜矩，并采用雨流計(jì)數(shù)和Miner損傷準(zhǔn)則得到非高斯隨機(jī)應(yīng)力下的單位損傷量。

然后，利用 Winterstein模型中傳遞函數(shù)將上述1 000組非高斯隨機(jī)應(yīng)力信號(hào)近似成1 000組高斯隨機(jī)信號(hào)，計(jì)算出高斯隨機(jī)應(yīng)力的4階譜矩，并再次采用雨流計(jì)數(shù)和Miner損傷準(zhǔn)則得到高斯隨機(jī)應(yīng)力下的單位損傷量。

然后，用本文構(gòu)建的多項(xiàng)式響應(yīng)面模型，計(jì)算出1 000組非高斯隨機(jī)信號(hào)的非高斯應(yīng)力修正系數(shù)。

然后，利用高斯隨機(jī)應(yīng)力下的單位損傷量和非高斯應(yīng)力修正系數(shù)得到經(jīng)非高斯修正后的非高斯隨機(jī)應(yīng)力下的單位損傷量。

最后，對(duì)兩次得到的非高斯隨機(jī)應(yīng)力下的單位損傷量進(jìn)行誤差分析。結(jié)果如圖1。

圖1 1 000組不同非高斯隨機(jī)應(yīng)力信號(hào)的誤差分析Fig．1 Error analysis of 1 000 samples for non-gaussian random signal

從上圖可以看出，1000組樣本中，除了個(gè)別樣本的誤差大于10%，大部分的樣本信號(hào)都具有很好的效果。因此，本文提出的非高斯修正法對(duì)解決非高斯隨機(jī)振動(dòng)疲勞問(wèn)題具有較好的效果。

3 結(jié) 論

（1）本文提出的采用高斯近似的非高斯隨機(jī)過(guò)程下振動(dòng)疲勞壽命估計(jì)方法具有較好的精度，為非高斯隨機(jī)過(guò)程下振動(dòng)疲勞問(wèn)題提出了一種新的解決思路；

（2）高斯近似法的精度取決于非高斯修正系數(shù)模型的精度，因此，樣本的選擇必須選擇合理的試驗(yàn)方案，并且獲得盡可能多的樣本；

（3）S－N曲線的雙對(duì)數(shù)斜率m對(duì)非高斯修正系數(shù)影響較大，由于本文選擇的m＝3只是作為參考，得到的非高斯修正系數(shù)都偏小，實(shí)際中當(dāng)m取到10左右時(shí)，非高斯修正系數(shù)可以達(dá)到100～200，甚至更大。

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