高水頭閘門止水材料超彈性與黏彈性本構研究

譚顯文，王正中，余小孔，劉計良，劉銓鴻

（1．西北農林科技大學 水利水電工程研究所，陜西 楊凌 712100；2．伍斯特理工學院，美國 馬薩諸塞州 伍斯特 01601；3．上海勘測設計研究院有限公司，上海 200000）

橡膠具有超彈性、耐磨性、大變形等特點，被應用在閘門止水裝置當中，起到封堵閘門周邊與泄水通道間的縫隙；當閘門止水失效后局部漏水，形成高速水流，誘發閘門振動，橡膠止水也可起到減振作用；閘門關閉時，止水被壓縮變形，減緩閘門瞬間動力荷載作用，起到一定減振作用；止水橡膠與閘墩和底檻接觸，不僅受到拉伸和壓縮，還包括庫水和蓋板的剪切作用，應力狀態復雜；橡膠在變形過程，伴隨著大位移，大應變，而其本身又是非線性材料，構成了幾何非線性和材料非線性的雙重非線性，同時與接觸部位也存在接觸非線性，因此閘門止水存在三重非線性［1］；高壩中的止水材料由于長期處于高應力水平而產生大變形，長期作用下還會表現出黏彈性，其主要體現為蠕變和應力松弛。應力松弛會減小止水封頭與預埋件的接觸應力，可引發閘門漏水事故，從而引起閘門支臂振動，誘發失穩破壞，因而止水材料的本構模型及流變特性研究顯得尤為重要。

隨著計算機技術的發展，為了減少模型試驗次數，在水封斷面初步設計階段，都先對止水橡皮進行系統的數值分析和研究，以便為后續設計和模型試驗提供參考。然而在數值分析中，材料的本構模型和材料參數的合理確定，對有限元分析起著決定性作用；目前橡膠的本構模型有很多，其中比較成熟的有兩類，一類是以連續介質力學理論為基礎的多項式，ogden等模型，另外是基于熱力學統計方法的 Arruda-Boyce，Van der waals等模型［2］。但是目前國內數值計算大都采用Mooney-Rivlin模型［3－7］，沒有進行本構模型系統的對比分析，分析各個模型適用條件；同時由于橡膠實驗對設備和試驗環境有較高要求，試驗溫度、拉伸速率、應變歷史等對結果有較大影響，受實驗條件限制和目前只有簡單拉伸實驗有國家標準的影響，大部分設計單位和科研院所只能獲得單軸拉伸實驗數據，一般都以此來擬合本構模型，但是止水受力狀態復雜，僅僅采用單向拉伸實驗數據，其不能完全反應其實際應力狀態，依靠其確定的本構模型存在較大問題，理想情況是對止水橡膠材料進行包括拉伸，壓縮，純剪切等各種典型應力狀態的基礎實驗，據此確定本構模型。

1 止水材料本構模型

以連續介質理論為基礎表示的應變能，由其對應變張量求導可獲得相應的應力張量，應變能函數［8］為：

式中：n是多項式的階數；Di表示材料是否可壓縮，不可壓縮材料Di＝0；R是隨溫度變化的體積膨脹；當n＝1時為 Mooney-RiVlin模型。而當設定 Cij＝0（j≠0）時為縮減多項式，Neo-Hookean模型和Yeoh模型是其縮減形式中n＝1和n＝3時候取得；而Ogden模型是應變能函數以各個方向主伸長率λi為變量表示本文認為止水橡膠為不可壓縮材料，Di＝且沒有考慮溫度引起的體積膨脹。

基于熱力學統計方法的Arruda-Boyce模型，其應變能［9］：

式中：Ci由熱力學統計方法得到，μ為初始剪切模量，λm為鎖死應變．

2 本構模型實驗

國際上進行橡膠材料力學行為的實驗時，首先采用幾種最典型的應力狀態，分別為：單軸拉伸，雙向等軸拉伸，純剪切；其次再利用材料力學中應力狀態理論分析復雜應力狀態力學特性的方法，這樣既減少試驗組合，又更有理論依據；止水實際的復雜應力狀態組合太多，很難逐一實施試驗，而且也沒有相關實驗規范作為參考。本文以高水頭閘門止水為例，實驗數據由美國哈丁頓橡膠公司幫助提供，實驗材料采用常用的硫化橡膠，實驗項目為單軸拉伸，雙向等軸拉伸，純剪切三種，其組合完全能反映止水材料的實際中復雜的應力狀態，而無需進行實際應力狀態的模型實驗；實際中止水材料存在壓縮變形，但是由彈性力學可知，雙向拉伸等效于單軸壓縮，所以拉伸實驗能也能反映壓縮變形；由應變能函數W對應變張量求導得到Cauchy應力張量：

式中：I為單位張量，B為Cauchy-Green變形張量，p為由于不可壓縮引入的靜水壓力，Ii為B的不變量（i＝1，2，3），其中在各個實驗中實驗試件尺寸和各個方向主伸長率的關系為：按照國家標準［11］，在單軸拉伸實驗中，試件長度為10 mm，0．9 mm厚度，3 mm寬度的4型啞鈴狀試樣（圖2），1方向為拉伸方向，試件寬度方向為2，厚度方向為 3，則，而且該規范中規定“取消了仲裁試驗對試樣數量的要求”，本實驗數據是常用止水材料大量實驗后，剔除離散性比較大的實驗數據組，選擇最有代表性的一組實驗數據；在純剪切實驗中，由于國內沒有相應的實驗規范，參照國外相關實驗［12］，其與拉伸實驗類似，保證寬度大于其長度的10倍，這樣使得與拉伸方向成45度的斜截面上出現純剪切狀態，試件采用75 mm寬，5 mm長，長方形薄板試件，1方向為拉伸方向，則在雙軸拉伸實驗中（如圖1），同樣參照國外相關實驗［13］，試件為圓形薄板，直徑25 mm，1，2為拉伸方向則不同實驗中得到的名義應力應變數據代入各個本構模型對應的應變能函數的偏微分方程（3）中，擬合后反推可求出相應應變能函數對應的系數，實驗數據一律采用名義應力應變，應力單位為Pa。

3 實驗數據及本構模型確定

基于同樣的止水橡膠測試數據，不同的本構模型對止水在不同變形范圍內擬合的精度差別較大，這里列出了ansys擬合得到的5種本構模型系數；并對其中每種本構模型在取不同項數時的子模型進行了擬合分析，Ogden和Yeoh模型1－3階，Mooney模型中的2－9參數，Arruda-Boyce模型，Neo-Hookean模型；其中有只基于單軸拉伸測試得到的系數，也有基于單軸拉伸，等雙軸拉伸，純剪切三種實驗數據，以及基于三種實驗數據中任意兩種擬合得到的本構中最優組合，表1～表5中只列出了在前面3種不同數據情況下，各種模型中最優子模型。

圖1 雙軸拉伸實驗Fig．1 Biaxial stretching

圖2 單軸拉伸試件Fig．2 The shape of the dumbbell specimen

表1 Ogden模型對應系數Tab．1 Corresponding coefficient in the Ogden model

表 2 Arruda-Boyce對應系數Tab．2 Corresponding coefficient in the Arruda-Boyce model

表3 Mooney模型中對應系數Tab．3 Corresponding coefficient in the Mooney model

表4 Yeoh模型中對應系數Tab．4 Corresponding coefficient in Yeoh model

表5 neo-hookean模型對應系數Tab．5 Corresponding coefficient in Neo-Hookean model

圖3 單軸拉伸實驗數據擬合的不同本構模型Fig．3 Fitting different constitutive model with uniaxial tensile experiment data

圖4 依靠單軸拉伸實驗數據預測純剪切（左）和預測雙軸（右）Fig．4 Predicting pure shear（left）and biaxial（right）on uniaxial tensile experiment data

圖5 三種組合數據預測的雙向拉伸（左）和純剪切（右）Fig．5 Predicting biaxial tension（left）and pure shear（right）on three combination data

評價一個超彈性本構模型的合理性，基于三重標準。首先，要考察本構模型和實驗數據擬合的相關性；其次，在相關性的基礎上，要考察本構模型對實驗數據以外變形預測的準確性；最后，本構應用于數值計算中，考察其數值計算的穩定性。不穩定的本構模型，可能會導致后續計算中，數值結果無法收斂情況出現或者出現奇異矩陣；基于以上兩個原則，運用abaqus對本構模型進行評價，單軸數據擬合得到的應變能函數（圖3），理論上可推導出純剪切和雙軸拉伸變形時的應力應變數據（圖4），但是經計算發現在沒有雙軸拉伸和純剪實驗數據時，光依靠單軸數據預測，其中Mooney5參數，Mooney-Rivlin，Ogden（n＝3），預測結果很不合理，而Yeoh模型，Arrduda-Boyce模型，Mooney9參數，Neo-Hookean，Ogden（n＝1）在較小應變時候比較準確；而由三種實驗數據擬合得到應變能函數，來預測純剪切和雙軸拉伸變形，其效果明顯優于僅依靠單軸實驗數據和兩種組合實驗數據（圖5），考慮到圖表清晰度問題，選擇了幾種具有代表性模型，其中采用Mooney5參數，Van Der Waals模型穩定性較差；而Ogden3，Neo-Hookean，Yeoh模型，Arrduda-Boyce，Mooney-RiVlin，穩定性好。

再經過各個模型誤差對比，最終建議在實驗數據只有單軸拉伸時候采用 Neo-Hookean，Mooney9，Arrduda-Boyce，Yeoh模型；在實驗數據充分情況下采用 ogden（n＝3）或Mooney9參數最為準確；而只有兩種數據時，其擬合效果優于僅靠單軸實驗，次于三種實驗數據，參考表1－5中給出的最優數據組合，其是最接近三種實驗數據擬合結果；在實際設計時，往往會遇到止水橡膠實驗手段限制和實驗項目數據不全的情況，針對不同的情況采用相對最好的本構模型，便于更加準確的設計，為實際工程提供參考。

4 黏彈性分析

4.1 黏彈性本構模型

由于閘門止水材料種類繁多，在數值仿真階段，往往需要從中快速初選幾種在長時間內適應設計工況下的止水材料，方便設計，避免通過大量的數值仿真來選擇；而實際設計中，一般止水材料的初選都要參考合理的黏彈性本構模型，因其能大致的預測材料在特定荷載作用下失效時間，由此決定是否采用該產品；另一方面在止水材料初選確定以后，具體到特定的止水結構和工況時，其合理的本構在后續黏彈性仿真中也尤為重要。止水橡膠材料，在長期應力作用下，會表現出黏彈性，國內外學者大都認為其本構為非線性黏彈性［14－17］，非線性黏彈性與線性黏彈性材料的一個顯著區別是，線性材料的蠕變柔量不隨加載應力水平變化而變化，蠕變應變與其相應的應力有線性關系，而如果不同加載應力水平下，蠕變柔量不同，表現為蠕變柔量與加載應力水平具有明顯的相關性，那么就屬于非線性材料。在通常情況下，橡膠材料屬于非線性黏彈性材料，然而水工閘門所處的特殊情況，由于其長期處于高應力狀態，且周圍環境溫度屬于常溫變化，已有研究表明，這種情況下，橡膠材料的蠕變柔量與加載應力水平相關性不明顯［15］，可將其視作線性黏彈性材料，精度完全滿足，且實際應用方便。目前線性黏彈性本構模型有，Maxwell模型，Kelvin模型，標準線性固體模型，Burgers模型，五元件模型等［17］，然而這些模型都是廣義Maxwell模型或廣義Kelvin模型的特例，區別只是其元件個數和連接方式不同。由于Maxwell模型只能體現松弛現象，不能表現蠕變，而Kelvin模型只能體現蠕變，不能表示應力松弛，這與橡膠實際工作狀態是不符合的，下面只討論廣義模型中元件數在3個以上的模型。

圖6 標準線性固體模型（左圖）和burgers模型（右圖）Fig．6 Standard linear solid model（left）and Burgers model（right）

（1）標準線性固體模型：

該模型有一個彈簧和一個Kelvin模型串聯組成（圖 6左），其蠕變柔量 J（t）為：

式中 P1＝η1／（E1＋E2），q0＝E1E2／（E1＋E2），q1＝E1η1／（E1＋E2），其中 E1，E2為彈簧元件的彈性模量，η1為黏壺元件的黏性系數。

（2）4元件模型

兩個彈簧，兩個粘壺元件組成的4元件模型，采用不同的串并聯方式，可以有4種子模型，但是經計算其最終計算的松弛函數和蠕變函數基本相同，誤差不大，在這里不做詳細敘述。選取由Maxwell模型和Kelvin模型串聯組成的四參數Burgers模型來說明（圖6右），其蠕變柔量 J（t）為：

式中中E1，E3為彈簧元件的彈性模量，η2，η3為粘壺元件的粘性系數。

5元件以上黏彈性模型，經推導發現其松弛模量和蠕變模量函數表達式極其復雜，不便于實際中應用，而與實驗數據擬合的相關系數與4元件相比，提高程度不大，所以這里不在討論范圍內。

4.2 黏彈性實驗

本實驗數據采用劉禮華相關論文［18］中的實驗數據，為測試止水材料的壓縮蠕變，盡量涵蓋大部分通用止水的性能，實驗對象選取了用于閘門上的三種常用改性硫化橡膠止水，實驗試件采用22 mm（直徑）×12．5 mm（厚度）圓形試樣。試樣的初始加載荷載為900 N，初始應力為2．368 MPa（接近材料最大工作應力）。材料的初始應變為 εA＝0．330，εB＝0．274，εc＝0．423，實驗結果如圖7。

圖7 壓縮蠕變曲線Fig．7 Compression creep curve

表6 標準線性固體模型Tab．6 Standard linear solid model

表7 burger模型Tab．7 Burgers model

將壓縮蠕變實驗數據與兩種模型的蠕變函數進行擬合，相關性較高，再次說明采用線性黏彈性模型來擬合閘門止水材料是合理的，將各自計算所得的流變參數代入對應本構模型，求得相應的蠕變與應力松弛公式，如表6表7。采用burger模型，擬合A、B、C材料相關系數 R分別為98．61%、98．17%、97．04%，而標準線性固體模型 A，C才 93．4%、93．16%、C種材料較好96．02%；由此可見burger模型更加符合止水材料本構模型。

4．3 止水材料壽命數值計算（增加小節）

我國目前水利水電開發中，大多數都是200 m級以上的超高壩，某些壩型中的底孔閘門承受水頭最大，而在高壩中多以充壓伸縮式水封作為止水，圖8是某新型伸縮式水封斷面；由于水封各個位置變形和工作應力不一樣，材料采用分區布置，水封封頭采用硬度為75度的高強度，高硬度橡膠材料B；支臂與支體需要彈性良好，滿足水封伸縮要求，采用硬度為45的材料C；翼頭要有良好的伸縮性和較高的硬度，采用硬度為65的材料A；橢圓形為充氣囊，其變形比較大，材料采用C；止水工作時，由加壓系統向氣囊內部加壓，由氣囊膨脹推動止水封頭向上運動，與止水鋼板接觸，隨著氣壓的增加，接觸應力越來越大，當接觸應力大于水庫水壓時，水壓無法穿透接觸位置，從而達到止水。水封止水后，長期處于高應力作用下，橡膠材料將表現出黏彈性。

黏彈性材料的應力響應包括彈性部分和粘性部分，在載荷作用下彈性部分是即時響應的，即材料的超彈性，而粘性部分隨著時間的增加，表現的越來越明顯，剪切模量和體積模量要發生變化。為此有限元計算中剪切模量和體積模量采用prony級數展開，其為單調減函數：

式中，G∞和Gi是剪切模量，K∞和Ki是體積模量和是各Prony級數分量的松弛時間，nG，nk為maxwell元件個數，三參數元件個數nG＝1和nk＝1，四參數元件個數nG＝2和nk＝2。

4．3．1 有限元模型：

由于止水裝置是沿泄水通道周邊布置的，其長度方向遠大于止水橫截面尺寸，主要荷載平行于橫截面，且沿軸線變化很小，可簡化為平面應變問題；采用有限元軟件ansys進行計算，計算單元采用適合大變形與黏彈性的plane183平面單元，并采用u－p混合公式。由于存在接觸，定義13組接觸對，并考慮摩擦。實際中，為了便于氣囊泄壓后，止水回退容易，止水水封與外側壓板接觸部分表面都要涂F4復合材料，減小摩擦，摩擦因數取0．2，止水與其他鋼板接觸部位摩擦因數采用0．5。由于存在摩擦區域較大，求解器采用非對稱求解器，并關閉自適應下降。止水鋼板彈性模量取0．21×1012Pa，泊松比取 0．3。

4．3．2 荷載歷程

止水所受荷載分為三個過程①止水元件安裝：0時刻，給壓板施加向下位移荷載，直到與底板接觸壓緊，并壓縮止水翼頭②止水元件止水：安裝完畢后，0 h－2 h內，給氣囊逐漸充氣至2 MPa，同時作用庫水荷載。由于水封在變形過程中，與壓板和止水鋼板的接觸位置是不斷變化的，庫水荷載作用區域也是變化的；在數值計算中，每施加一個增量荷載，通過定義單元表提取水封封頭接觸單元接觸應力，如果其大于庫水荷載，該點水壓就不能穿透，具體通過*for循環來來實現；這里考慮特大洪水的洪峰時期最不利工況，水庫水位在50 h內由防洪限制水位升至最高水位。③止水后期：時間歷程為50 h－1 000 h，當庫水水位達到最高水位以后，外部荷載達到穩定，材料表現出黏彈性。計算以上三個過程止水與止水鋼板間接觸應力變化。

4．3．3 算例：

現以某超高壩為例，該壩底孔閘門最大設計水頭205 m。橡膠材料超彈本構都采用最優模型Mooney 9參數，黏彈性本構分別采用三參數和burgers模型，對比止水采用兩種本構時，在長期時間內，止水封頭表面最大接觸應力的變化情況。計算結果如圖9、10為止水最終接觸應力整體分布，圖11兩種黏彈性本構計算封頭最大接觸應力隨時間變化。

圖8 新型伸縮式水封Fig．8 The new inflatable water seal section

圖9 四參數接觸應力分布Fig．9 The contact stress distribution on head adopting four parameters

圖10 三參數接觸應力分布Fig．10 The contact stress distribution on head adopting three parameters

圖11 止水封頭最大接觸應力變化Fig．11 The maximum contact stress change on head of water seal

在由圖11可以看出，兩曲線都有相似的規律，在0－1 h內，安裝好的止水封頭，在氣囊的作用下與止水鋼板接觸，達到最大接觸應力；1－25 h內，隨著水庫水位上升，某些位置接觸應力小于水庫水壓，接觸縫隙被水壓穿透，同時材料的黏彈性也體現出來，接觸應力逐漸下降；但是25－50 h內接觸應力有所回升，這是由于隨著水位的上升，水荷載增加到較大值，封頭向右有幾何移動和較大變形，封頭接觸面積減小，導致接觸應力增加，其增加的接觸應力大于由黏彈性造成接觸應力下降的值，所以總體上表現為增加，并在t＝50 h時停止增加。50 h后隨著庫水水位達到最高水位，荷載邊界條件趨于穩定，隨著時間增加，材料的黏彈性表現得更加明顯，接觸應力逐漸下降；但在t＝400 h時變化不明顯，到t＝1 000 h后接觸應力完全穩定；三參數最終計算的接觸應力2．25 MPa，而四參數計算的接觸應力為2．03 MPa，由于庫水最大荷載為2．05 MPa，由三參數計算出接觸應力始終大于水庫水壓；表明止水永遠不會發生應力松弛失效；而四參數計算表明在t＝450 h止水接觸應力為2．05 MPa等于庫水水壓，處于臨界狀態，將發生松弛失效。兩種本構計算的最終接觸應力相差22 m水頭，這在實際工程中是不能忽略的。

該大壩實際運行資料記錄中，發生過特大洪水，庫水位在較短時間內達到最大設計水位時，一段時間后，底孔閘門周邊出現大量漏水情況，導致關閉檢修閘門。這與采用burger模型預測結果相吻合，而運用三參數模型計算表明止水永不發生應力松弛失效，如果將其運用到初步設計中，會夸大止水材料的止水效果，造成比較嚴重后果。同時也說明了初步設計中采用合理黏彈性本構模型預測材料蠕變規律是合理的。由此可以看出，標準線性固體模型預測不同材料的止水材料不可行，而采用burger模型更能接近實際，建議在實際設計中采用burger模型。

5 結 論

（1）基于閘門止水初步設計階段，橡膠材料超彈性本構模型及其參數的合理選擇對數值計算結果有決定性作用，對通用的止水橡膠材料進行了單雙軸拉伸和純剪切的基礎實驗。

（2）針對實際止水設計中，往往受實驗條件限制，不能全部進行三種基礎實驗，實驗項目數據不全；對不同數據情況，系統的從本構模型和實驗數據的相關性以及本構模型對數值計算結果的穩定性影響兩方面進行了對比，給出了不同情況下的最優本構模型，為實際生產提供參考。

（3）閘門止水長期處于高應力狀態，材料會表現出黏彈性性質，對材料的黏彈性本構模型進行了對比和分析，數值計算表明無論在材料實驗數據與本構模型的相關性方面，還是在預測止水材料松弛失效方面，burger模型均優于標準線性固體模型，修正了以往多年采用標準線性固體模型的不合理的做法，為實際生產設計提供了合理參考。

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