多間隙彎扭耦合齒輪非線性振動的分岔特性研究

盛冬平，朱如鵬，陸鳳霞，靳廣虎

（南京航空航天大學 江蘇省精密與微細制造技術重點實驗室，南京 210016）

齒輪傳動系統具有傳遞功率大、轉速高、工作條件苛刻，外形尺寸小、重量輕等特點，對傳動系統的設計指標要求高，在航空、船舶、汽車、起重機械以及其他機械傳動中獲得了越來越廣泛的應用，近年來吸引了國內外眾多學者對其動力學特性進行了大量的研究［1－2］。王三民等［3］研究了在不同支承剛度下多間隙耦合的非線性圓柱直齒模型進入混沌的途徑以及在增大支承間隙時系統發生跳躍和失穩現象，但沒有進一步分析轉速和齒側間隙對分岔和混沌動力學特性的影響。王三民等［4］還研究了含摩擦和間隙的直齒輪副的分岔和混沌特性，包括在一定的參數下，摩擦能使混沌吸引子轉變為周期吸引子同時可以使系統提前進入混沌。李同杰等［5］研究了行星齒輪純扭轉系統在不同轉速和不同阻尼下的非線性振動的混沌及分叉特性，以及在兩種不同參數的情況下系統由穩定振動進入混沌和回歸周期一的不同道路。孫智民等［6］研究了帶有間隙的星形齒輪傳動扭轉振動系統在改變系統激振頻率的情況下，通往混沌的道路有周期倍化道路和擬周期道路，同時還研究了系統在不同的阻尼情況下，系統也會由周期倍化道路或者擬周期道路通往混沌。然而，從目前可以檢索到的文獻來看，關于齒輪多間隙彎扭耦合非線性振動系統在不同轉速、不同嚙合阻尼、不同支承間隙以及不同齒側間隙下的分叉特性的研究尚鮮有報道。

本文建立在文獻［3］的基礎上綜合考慮齒輪傳動系統中齒輪副間的時變嚙合剛度、齒側間隙、支承間隙以及綜合傳遞誤差等非線性因素，以圓柱齒輪傳動的齒輪－轉子－軸承為研究對象，建立了多間隙的彎扭耦合的非線性振動模型，并采用數值積分方法研究了齒輪的彎扭振動特性隨轉速、齒側間隙、支承間隙以及嚙合阻尼系數等分岔參數的變化情況，通過對仿真結果的分析，獲得一些理論結果。

1 多間隙彎扭耦合振動模型

多間隙彎扭耦合振動系統由一對齒輪副，軸和軸承組成，此處設定各齒輪為圓柱直齒齒輪，且不考慮齒輪副之間的摩擦力，系統的考慮各種誤差和多間隙彎扭振動模型如圖1所示。

圖1 多間隙彎扭耦合齒輪振動系統模型Fig．1 Transverse-torsional coupled gear vibration system with multiple-clearances model

圖1中，主動輪和從動輪的角位移分別用θd和θp表示，基圓半徑分別用rd和rp表示。主動輪支承軸承的剛度、半支承間隙、阻尼分別用kd、bd、cd表示。從動輪支承軸承的剛度、半支承間隙、阻尼分別用kp、bp、cp表示，齒輪嚙合副間的綜合嚙合誤差、時變粘合剛度、半齒側間隙、嚙合阻尼分別用 e（t）、k（t）、b、cm表示。ed和ep為主動輪和從動輪的偏心誤差。φd和φp為主動輪和從動輪偏心誤差的初始相位。主動輪和被動輪在相應的嚙合線上產生的線位移xd和xp可以表述如下

根據直齒齒輪嚙合副剛度變化特點，將其假定為矩形波變化規律。圖2顯示了齒輪副傳動時嚙合剛度的變化規律。

圖2 齒輪副嚙合時變剛度Fig．2 Time-varying meshing stiffness

圖2中，kmax為嚙合時變剛度的最大值，kmin為嚙合時變剛度的最小值，φ為嚙合剛度變化的初相位，T位嚙合周期，T＝2π／ω，ω為嚙頻。

周期矩形波可以展開成為以嚙頻為基頻的Fourier級數，取一次諧波項為

式中，km為嚙合副上的平均嚙合剛度，ka為嚙合副上的剛度變化幅值。

該系統具有四個自由度，其廣義坐標可以表示為（θd，Xd，θp，Xp）T，其中，θd和 Xd為主動輪的轉動自由度和縱向位移自由度，θp和Xp為從動輪的轉動自由度和縱向位移自由度。

1.1 間隙非線性函數和動態嚙合力

對于單對外嚙合的齒輪副來說，其嚙合點的相對位移Xr和誤差e（t）的表達式為

式中，e（t）為主動輪和從動輪的靜態誤差以及嚙合誤差在嚙合線上的投影。

齒輪系統間隙非線性函數可以表示為

齒輪嚙合副上的動態嚙合力為彈性恢復力和阻尼力之和，可以表示為

式中，阻尼系數的表達式為

式中，ξ為嚙合副相對阻尼比，md為主動輪質量，mp為從動輪質量

1.2 系統的振動微分方程

1．2．1 系統的彎扭振動方程

規定輸入轉矩作用下各個主、從動輪的運動方向為各自角位移相應的正方向。取 θd、Xd、θp、Xp為廣義坐標。根據剛體定軸轉動微分方程，圖1所示系統在輸入轉矩Td及負載Tp作用下，可列出彎扭耦合振動微分方程為

1．2．2 系統相對坐標下的彎扭振動方程

由于齒側間隙的存在，使得齒輪傳動系統約束不完整，從而決定了式（7）為半正定系統，存在剛體位移及不定解。為了消除剛體位移，并保持系統拓撲解結構不變的前提下，利用同胚映射，實現方程個數的減少，從而實現降維，以便于研究系統的分岔特性，同時利用（1）式，引入相對坐標

式中，X為嚙合線上相對位移的疊加，與xd，xp有相同的分岔特性。將式（7）變形后得到

1．2．3 系統的量綱一方程

引入 量綱一時間 τ＝ωnt，其中 ωn為嚙合剛度均值，引入位移標稱尺度bc，則量綱一位移，速度，加速度表示為 X量綱一轉速

量綱一間隙非線性函數為

將以上各式帶入式（9）中，變形整理后可得到系統的矩陣形式的量綱一化方程為

2 運動的分岔特性分析

為了進行多間隙齒輪傳動系統的運動分岔特性研究，本文取系統的一組基本計算參數：模數m＝3 mm，α＝20°，zd＝40，zp＝80，ed＝10μm，ep＝10μm，bc＝10μm，bd＝10μm，bp＝10μm，kd＝0．2 GN／m，kp＝0．35 GN／m，輸入功率P＝200 kW。

采用變步長的4階Runge-Kutta法求解量綱一式（11），用所求的的數值解分別得到了系統在不同參數下的分岔圖和Poincaré截面圖，并據此為工具研究系統的運動分岔特性。

2.1 系統隨量綱一轉速Ω變化的分岔特性

取系統中嚙合副的半齒側間隙b＝60μm，研究系統的嚙合副相對阻尼比分別取0．05，0．07，0．09和0．11下的方程的解隨量綱一轉速Ω的分岔特性如圖3所示。

圖3展示了系統運動隨轉速變化而表現出的多樣的分岔特性。可以看出，系統在不同量綱一轉速下經歷了不同的運動狀態，包括短周期運動和復雜運動形態（長周期運動、擬周期和混沌運動）之間的分岔，最終系統穩定于周期一運動。由于實際運動的復雜性，系統的工作轉速可能位于以上某一分岔點對應的轉速附近，而實際工作轉速的微幅變化可能會使得系統由穩態運動進入不穩定運動，而這種不穩定運動會導致齒輪嚙合副產生強非線性的單邊沖擊或者雙邊沖擊現象，從而導致齒根承受除了由于剛度變化導致沖擊以外的沖擊載荷，進而降低齒輪的疲勞壽命，同時這種不穩定運動會使系統產生多頻甚至混沌的噪音，從而影響工作環境的舒適性。

隨著相對阻尼比的增加，系統的混沌區間寬度逐漸減小，由圖3（d）可以看出當嚙合副的相對阻尼比ξ＝0．11時，只存在長周期運動和短周期運動。當ξ＝0．13時，系統只存在周期一的穩定運動。另外，可以看出隨著阻尼比的增加，系統由周期二運動進入周期一運動的分叉點的量綱一轉速逐漸降低，圖3（a）～3（d）的分岔臨界點量綱一轉速分別為 1．72，1．66，1．54，1．49。

圖3 系統在不同阻尼比下隨Ω變化的分岔圖Fig．3 Bifurcation map with the increase of rotation speed under different meshing damp ratio

圖4顯示了系統間隙為60μm，相對阻尼比為0．07，量綱一轉速從0．75向0．9變化時系統由混沌運動歷經擬周期運動，經過不穩定的吸引子后，再次通過擬周期進入混沌的全過程。從圖4（a）和4（h）的Poincaré截面圖中的內部自相似的分形結構可以判斷系統正處于混沌運動狀態。圖4（b）～4（h）顯示了系統在進入混沌過程中不穩定吸引子隨著分岔參數而呈現的6種形態。

圖4 系統在不同量綱一轉速下的Poincaré圖Fig．4Poincarémap with the increase of rotation speed under different meshing damp ratio

綜合從圖3和圖4可以看出，系統從周期一的穩定運動通過擬周期通道進入混沌的臨界點位于系統的一階臨界轉速附近，且隨著嚙合相對阻尼比的增加，該臨界點逐漸趨近于一階固有頻率下的轉速，在當前系統參數下，此時該系統的一階臨界轉速為6 837 r／min。

從圖機械系統中的混沌意味著系統的運動不再具有可控性和可預測性，它總是不斷從某個運動軌道突跳到另外一個運動軌道上去，對于機械系統來說，這就意味著疲勞壽命的降低和噪音的增加。通過以上轉速全局分岔圖以及Poincaré圖進行定性和定量分析，可以獲得混沌運動和多周期運動的轉速區域和臨界值，從而可以人為控制和避開不可控和不可預測性的運動。

2.2 系統隨量綱一齒側間隙變化的分岔特性

取系統量綱一轉速Ω＝1．2，嚙合副相對阻尼比分別0．05、0．07、0．09和 0．11，方程的量綱一位移 X隨系統量綱一齒側間隙變化的分岔特性如圖5所示。可以看出當系統在不同阻尼比下的具有不同分岔特性。圖5（a）和5（b）顯示系統通過激變的途徑進入混沌，且隨著間隙的增加一直處于混沌運動中。圖5（c）顯示系統通過激變進入混沌后，在一定寬度混沌運動后，經由倒分岔進入并鎖相為周期四運動。圖5（d）顯示了系統通過倍周期分岔進入混沌，又經過倒分岔進入周期二的短周期運動。縱觀整個變化過程，可以發現系統隨著阻尼比的增加，運動進入混沌的途徑由激變轉變為倍周期分岔，并且存在一個轉變臨界值。更多的計算表明，系統隨著轉速或相對阻尼比的增加，運動不再具有混沌和分岔特性，整個運動區域為周期一的穩定運動。

圖6顯示了系統取量綱一轉速為Ω＝1．2，嚙合相對阻尼比ξ＝0．11，方程的量綱一位移X隨量綱一間隙變化的分岔特性和b＝60μm時的Poincaré圖。圖6（a）顯示了系統經過周期一運動通過倍周期分岔進入一定位移寬度的運動，而圖6（b）則證明系統經過倍周期分岔后又經過Naimark-sacker分岔形成兩個不變吸引圈。

圖5 系統在不同嚙合阻尼比下隨量綱一間隙變化的分岔圖Fig．5 Bifurcationmap with the increase of the backlash under different meshing damp ratio

圖6 系統在ξ＝0．11的分岔圖和b＝60μm的 Poincaré圖Fig．6 Bifurcationmap with the increase of the backlash（ξ＝0．11）and the Poincarémap（b＝60μm）

2．3 系統隨量綱一支承間隙變化的分岔特性

從系統的控制方程可知，系統存在阻尼耦合和彈性耦合。取系統量綱一轉速Ω＝1．2，量綱一嚙合間隙b＝30μm，嚙合副相對阻尼比分別 0．05、0．06、0．07和0．08，方程的量綱一位移X隨系統量綱一支承間隙變化的分岔特性如圖7所示。可以看出當相對阻尼比為0．05時，支承間隙在b＝30μm附近出現狹窄的周期五窗口，且從位移解值可以看出系統支承間隙對系統在嚙合線上的運動的影響較弱，且隨著嚙合阻尼的增加，耦合作用的影響也逐漸被抑制，且只有在少數且不連續的支承間隙下對系統有一定的擾動。

圖7 不同阻尼比下隨量綱一支承間隙變化的分岔圖Fig．7 Bifurcationmap with the increase of gear support clearance under different meshing damp ratio

3 結 論

（1）多間隙彎扭耦合齒輪傳動系統在各種非線性因素的綜合影響下表現出了豐富的分岔特性，隨著分岔參數的變化先后出現了短周期運動、長周期運動、擬周期運動和混沌運動。

（2）隨著轉速的增加，系統會通過激變途徑進入到混沌運動，然后又通過倒分岔進入擬周期運動，經過一定寬度的吸引域窗口后通過擬周期再次進入混沌運動，最終通過倒分岔回歸周期一運動。

（3）嚙合阻尼系數的變化對于系統運動的分岔特性有較明顯的影響。隨著阻尼系數的增加，混沌運動的寬度逐漸較小，最終轉變為整個量綱一轉速上的周期一運動。

（4）齒側間隙也是影響系統運動分岔特性的重要因素。但其影響范圍主要集中在量綱一間隙大于3的大間隙和低轉速范圍內。在一定的轉速下，隨著嚙合阻尼的增大，進入混沌的途徑也由激變轉變成倍周期分岔，且通過混沌區域后最終鎖相為周期四、周期二或周期一運動。

（5）在滿足一定的參數條件下，系統會隨著齒側間隙的增加由倍周期分岔進入并鎖相為Naimark-sacker分岔。

（6）在一定的條件下，系統運動會隨著支承間隙的增加進入狹窄的周期五窗口后鎖相為周期一運動，從系統的控制方程和數值解可以發現系統的支承間隙對系統的運動影響較弱。

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