淺析微積分發展史在教學中的運用

陳潔

摘 要： 微積分是學習高等數學各個分支必不可少的基礎，也是學習和掌握近代任何一門自然科學和工程技術的工具，因此微積分的教學是至關重要的。本文分析了在微積分的教學中如何合理地運用微積分發展史，激發學生的學習興趣。

關鍵詞： 微積分 數學史 數學家

從十七世紀開始，隨著社會的不斷進步和生產力的發展，數學開始研究變化著的量，數學進入了“變量數學”時代，微積分不斷完善成一門學科。微積分給數學注入了旺盛的生命力，使數學獲得了極大的發展，取得了空前繁榮。

微積分，是研究極限、微分、積分和無窮級數的一個數學分支，并成為了現代大學教育的重要組成部分。而對于從事微積分教學的教師來說，如何讓學生更快更好地轉變數學思維模式，如何讓學生更深地理解極限、導數、微分、積分等一系列難懂的數學概念，如何提高學生學習微積分興趣，使他們了解微積分的文化價值，感受導數在解決實際問題的作用，這是一個值得研究的問題。卡約黎在1893年出版的《數學史》前言中強調要把數學史當做一個數學教學的工具。

一、通過數學家的介紹激發學生的學習興趣

數學課堂的導入是數學教學中重要的環節，好的課題導入能夠集中學生的注意力，引起學生的興趣，點燃學生的思維火花，增強學生思維的廣闊性和靈活性。在微積分教學中，如果開始就直接介紹極限的概念，對于部分學生來說，就很抽象、晦澀、乏味，就會使他們毫無學習興趣。李正銀在《數學教學中的德育滲透藝術》中提出可以在數學教育中應用數學史：1.講述數學家的故事。2.讓學生知道數學發展歷史中飽含了數學家的艱辛。3.數學家的創造歷程。

克萊因在《古今數學思想》中指出：“學生不僅能從數學家的艱苦漫長工作中，學習到知識、獲得經驗，還能獲得不怕失敗的勇氣。”因此，在微積分的教學中，可以先介紹一些有關數學家的生平簡歷，促使學生更好地認識微積分的價值，更深刻了解微積分的魅力所在，從而激發學生數學學習興趣和求知欲。

微積分的產生一般分為三個階段：極限概念，求積的無限小方法，微分與積分的互逆關系。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。因此提起微積分的歷史，人們自然會想到牛頓和萊布尼茲，這主要是因為他們提出了微積分的基本概念和運算方法，建立了著名的牛頓—萊布尼茲公式。他們對微積分建立的歷史功績是不容懷疑的。

牛頓Isaac Newton（1642—1727）是偉大的英國物理學家、數學家、天文學家，出生于林肯郡的一個農村家庭。1661年進劍橋大學三一學院學數學，1665年畢業，獲學士學位。1669年，牛頓受巴羅博士推舉而繼承他的數學教授職位。1689和1701年牛頓兩次作為劍橋大學代表被選入議會。1703年起任英國皇家學會會長。牛頓一生未婚。1727年3月20日（新歷3月31日）因腎結石癥在倫敦逝世。為了頌揚這位偉大的學者，當時英國著名詩人A.波普（1688—1744）為牛頓寫了一個碑銘，鑲嵌在牛頓出生的房屋墻壁上，大意是“道法自然，久藏玄冥；天降牛頓，萬物生明”。

牛頓最卓越的數學成就是微積分的創立。牛頓是為了解決運動問題，才創立這種和物理概念直接聯系的數學理論的，牛頓稱之為“流數術”。它所處理的一些具體問題，如切線問題，求積問題，瞬時速度問題，以及函數的極大和極小值問題等，在牛頓之前已經有人研究了。但牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對以往分散的努力加以綜合，將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統一為兩類普通的算法——微分和積分，并確立了這兩類運算的互逆關系，從而完成了微積分發明中最關鍵的一步，為近代科學發展提供了最有效的工具，開辟了數學上的一個新紀元。

萊布尼茲（Gottfriend Wilhelm Leibniz，1646—1716）是17、18世紀之交德國最重要的數學家、物理學家和哲學家，一個舉世罕見的科學天才。他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類的科學知識寶庫作出了不可磨滅的貢獻。

萊布尼茲出生于德國東部萊比錫的一個書香之家，父親是萊比錫大學的道德哲學教授，母親出生在一個教授家庭。萊布尼茲的父親在他年僅6歲時便去世了，給他留下了豐富的藏書。15歲時，他進入萊比錫大學學習法律，一進校便跟上了大學二年級標準的人文學科的課程，在聽了教授講授歐幾里得的《幾何原本》的課程后，萊布尼茲對數學產生了濃厚的興趣。17歲時他在耶拿大學學習了短時期的數學，并獲得了哲學碩士學位。

后來，萊布尼茲深受帕斯卡事跡的鼓舞，決心鉆研高等數學，并研究了笛卡爾、費爾馬、帕斯卡等人的著作。1673年，萊布尼茲被推薦為英國皇家學會會員。此時，他對數學和自然科學產生了濃厚的興趣，開始了對無窮小算法的研究，獨立地創立了微積分的基本概念與算法，和牛頓并蒂雙輝，共同奠定了微積分學。1676年，他到漢諾威公爵府擔任法律顧問兼圖書館館長。

1684年萊布尼茨發表了數學史上第一篇正式的微積分文獻《一種求極限值和切線的新方法》。這篇文獻是他自1673年以來的微積分研究的概括與成果，其中定義了微分，廣泛采用了微分符號dx、dy，還給出了和、差、積、商及乘冪的微分法則，同時包括了微分法在求切線、極大、極小值及拐點方面的應用。牛頓建立微積分是從運動學的觀點出發，而萊布尼茲則從幾何學的角度考慮，所創立的微積分符號遠遠優于牛頓符號，有效促進了微積分學的發展。

二、微積分概念中引入數學史的介紹

微積分的根基問題主要是求速度與距離、切線和面積這四類科學問題。在微積分發展歷史上，數學家從這些問題中得到很多啟示并且發明了許多成果，在數學課堂教學中，教師同樣可以利用這些問題啟發學生思考，激發學生的創造力。在概念教學中應用數學史的材料，讓學生了解概念的歷史背景和現實背景，不僅有利于學生接受新概念，概念的存在性也會很自然地被學生所認識。

例如，在極限概念中引入數學史的介紹，極限思想是高等數學中重要思想之一，它貫穿了高等數學從始至終的教學內容，所以對極限思想的理解和掌握將直接影響現實生活中對數學工具的運用。

極限法的思想可以追溯到古代。劉徽的割圓術就是建立在直觀基礎上的一種原始極限觀念的應用。古希臘人的窮竭法蘊含了極限思想，但由于希臘人“對無限的恐懼”，他們避免明顯地“取極限”，而是借助于簡接證法——歸謬法完成有關證明。

到了16世紀，荷蘭數學家斯泰文在考察三角形重心的過程中改進了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運用極限思想思考問題，放棄了歸謬法證明步驟。如此，他就在無意中“指出了把極限方法發展成為一個實用的概念的方向”。

極限法的進一步發展與微積分的建立緊密聯系。16世紀的歐洲處于資本主義萌芽時期，生產力得到很大的發展，生產和技術中大量的問題，只用初等數學的方法已無法解決，要求數學突破只研究常量的傳統范圍，而提供能夠用以描述和研究運動、變化過程的新工具，這是促進極限發展、建立微積分的社會背景。起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎建立微積分，后來因遇到了邏輯困難，所以在晚期他們都不同程度地接受了極限思想。牛頓用路程的改變量ΔS與時間的改變量Δt之比ΔS/Δt表示運動物體的平均速度，讓Δt無限趨近于零，得到物體的瞬時速度，并由此引出導數概念和微分學理論。

隨著社會的發展和人類文明的不斷進步，對教師教學水平的要求越來越高。其中數學是其他所有科學的基礎，教學時要講求方法策略。對高等數學的教育者來說，其任務不僅是在課堂上把知識傳授給學生，更重要的是讓數學本身吸引學生，讓學生明白微積分的產生是與社會發展緊密相關，在生產生活中是有著深刻的實際意義的，從而激起學生學習數學和研究數學的無限熱情。也就是說，高校數學教師不能只是教授課本上的數學知識，還應該傳播數學思想方法和數學文化。

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