分裂導線次檔距振蕩研究

李 黎，王騰飛，陳元坤

（1．華中科技大學 土木工程與力學學院，武漢 430074；2華中科技大學 控制結構湖北省重點實驗室，武漢 430074；3．中南建筑設計院股份有限公司，武漢 430071）

次檔距振蕩是一種由迎風側子導線的尾流誘發背風側子導線振動的現象，是分裂導線的特有振動現象，它屬于氣動不穩定引起的振動。次檔距振蕩的振動頻率約為1～3 Hz，振幅為0．1～0．5 m，振動軌跡呈水平扁長橢圓，會造成子導線間的相互碰撞和鞭擊，磨損導線，且較大的振幅也使間隔棒線夾處導線的動彎應變增大，導致導線疲勞斷股。次檔距振蕩涉及到復雜的流固耦合和空氣動力學問題。加上子導線和間隔棒之間的相互作用，使得該問題的研究難度比較大。Simp-son［1－2］與 Cooper［3－4］利用準定常線性馳振理論，預測特定條件下馳振發生的邊界條件，并在試驗條件下證明這些不穩定。Tsui等［5－6］利用準定常理論研究了亞臨界與超臨界流體范圍內處在固定導線尾流中的背風面子導線的二維馳振穩定問題。Price［7］同時利用準定常線性馳振理論與無阻尼理論分析尾流馳振發生的條件，結果表明兩種理論都證明背風面導線的固有頻率對尾流馳振的發生十分重要，并通過試驗結果證明了該結論。葉志雄［8］給出了控制次檔距振蕩的阻尼間隔棒最大安裝距離的計算方法。馮學斌［9］對多分裂導線次檔距的優化布置進行了研究。相對來說，國內對分裂導線的次檔距研究不夠深入，集中于對次檔距振蕩控制的研究，缺少計算分裂導線次檔距振蕩成熟的數學模型與理論分析，因此有必要對分裂導線的尾流馳振機理進行深入研究。本文將在 Simpson［10］、Tsui等［5］研究的基礎上基于準定常理論建立分裂導線次檔距振蕩的二自由度振子模型振動方程，利用穩定性理論對振子模型初始平衡位置的進行分析，得到次檔距振蕩發生的臨界條件，并研究了其參數敏感性，對次檔距振蕩的控制給出了建議。

1 次檔距振蕩的模型

研究表明上游迎風側子導線的運動對下游子導線的運動影響很小，可假定上游子導線為固定靜止狀態［11］，重點研究其尾流中背風下游子導線的馳振現象。大量研究表明二維模型能反映尾流馳振的基本現象，其計算簡圖如圖1所示。

圖1 背風導線二維振子模型Fig．1 Two-dimensional oscillator model of the leeward wire

振子模型的非線性主要局限于氣動力模型，結構模型是線性。為方便建立數學模型，作用在下游子導線上的氣動力為F，假設下游子導線的質量為m，直徑為d，只考慮尾流中下游子導線的平面運動，且其支撐于正交的彈簧阻尼系統，x與z向的剛度分別為Kx、Kz，且其傾角為φ。阻尼比分別為ζx、ζz。沿x與z向的諧振頻率分別為fx、fz。令其在平衡位置的坐標為（x0，z0），受擾動后新的位置為（x0＋x，z0＋z）。

根據牛頓第二定律，可建立尾流中下游背風側子導線的振動方程為：

式中：Fx，Fz分別是作用在尾流中下游子導線的氣動升阻力在兩個主軸方向的分力，kxx，kzz是導線單位長度的軸向剛度，其與正交彈性支撐系統的剛度Kx、Kz存在如下關系：

大量研究表明，尾流馳振是由描述平均的氣動力現象的參數所決定的，而這些參數可以在物體固定不動時測得［12］。當圓柱處于另一圓柱的尾流中時，考慮尾流的屏蔽效應后，作用到其上的來流速度Vl不同于自由均勻來流速度V0，為簡化分析，尾流速度Vl的方向假定為與V0一致。下游子導線相對于尾流速度Vl的氣動力系數分別為槇CL、槇CD和槇Cm，由于導線是圓截面，不考慮扭矩系數。而相對于自由均勻來流的氣動力系數可分別表示為CL、CD。其關系如式（3）所示：

尾流中的速度Vl可表達成式（4）：

但若下游子導線在自由來流下的阻力系數為CD∞，Vl則可近似表示為：

式中：b＝（CD／CD∞）1／2，且通常取 CD∞＝1．2。

下游子導線支撐于兩正交且平行于主軸的彈簧阻尼系統。在這種情形下，子導線可以在平衡位置振動。則作用在尾流中的背風子導線的氣動力可表示為：

式中：ρ為空氣密度，取值為 1．22 kg／m3。

圖2 氣動力與速度矢量分解圖Fig．2 Resolved components of aerodynamic and velocity vector

參考圖2可知，兩軸向分力Fx、Fz與氣動升阻力有如下關系：

式中：α為尾流速度與y軸所成的角度，且其滿足如下關系：

綜合式（3）～式（8）可得到作用在尾流中下游子導線的氣動力，并代入到振動方程（1）中可得到二自由度振子模型完整的振動方程為：

式中：q＝1／2ρd為氣壓，氣動升阻力系數 CL與 CD是尾流中相對位置的函數。本文利用上節中通過CFD仿真并利用多項式擬合得到的表達式進行后續分析。下節中將討論該振動方程組的穩定性問題以研究尾流中的背風側子導線發生次檔距振蕩的臨界條件。

2 次檔距振蕩穩定性分析

本節從穩定性理論出發揭示分裂導線的次檔距振蕩的機理。而穩定性分析方法歸結為對振動微分方程的初值穩定性問題，通過臨界狀態計算確定次檔距振蕩發生的臨界風速。首先將非線性振動微分方程線性化，根據系統的特征值分析來判斷系統的穩定性。若系統的特征根均為負實數或具有負實部的共軛復數則系統初值穩定，否則系統不穩定。對于直接求解特征值工作量很大的系統，通常采用代數判據來判斷系統的穩定性，常用的判據有：Routh穩定判據與Nyquist穩定判據。本文將采用Routh穩定判據，其本質是通過系統特征方程的各項系數進行代數運算，得出全部根具有負實部的條件，從而判別系統的穩定性，是一種時域判據，其計算過程簡單，應用廣泛。

為簡化穩定性分析，假定背風子導線的初始平衡位置為（x0，z0），只考慮子導線圍繞平衡位置的小幅振動，且將非線性氣動力線性化。將非線性氣動力表達式通過泰勒公式在初始平衡位置為（x0，z0）處展開可得：

式中：CD0與CL0是平衡位置處的氣動力系數CD（x0，z0）與 CL（x0，z0）的簡寫。

尾流的相對速度Vr平方形式可表示為：

由于x與z相對較小，因此傾角α較小，可得到：

并引入無量綱坐標X＝x／d與Z＝z／d，定義無量綱導數，同樣 C、C、C有類似的表DzLxLz達式，且忽略高階項。

令＝X－X0，＝Z－Z0，并將上述線性化的氣動力代入到振動方程（9）中，可得到最終的線性化的振動方程為：

合并與及它們的導數，用矩陣形式表達可得到下式：

式中為無量綱位移向量；質量矩陣MSTR；結構剛度矩陣為；氣動剛度矩陣為；結構的阻尼矩陣為；氣動阻尼矩陣為，平衡位置處的氣動力為 F＝Aer

為研究系統的穩定性，假定方程（13）解的形式為：

將上式代入到振動方程中可得到線性齊次方程為：

式中，Ur為縮減速度。

上述方程有非零解的必要條件是其系數行列式D＝0，從而可得到關于λ的特征方程為：

其中多項式的系數表達式如下：

系統的特征方程為四次方程式，可根據勞斯（Routh）判據進行穩定分析，為保證下游子導線處于穩定狀態，必須滿足如下不等式：

上述各項計算利用MATLAB編程來完成，根據各實際參數，計算出h0～h4，并按Routh判據作出穩定性判斷，根據系統的穩定臨界條件可求得分裂導線發生次檔距振蕩的臨界風速。

當導線系統不穩定時，其有兩種可能導致子導線會偏離平衡位置，即當h0＝0時，系統發生靜態分岔；當h1h2h3－－h0＝0或h3＝0或h2h3－h1＝0時，系統發生Hopf動態分岔。靜態分岔是針對平衡點的分岔問題；而Hopf動態分岔指參數變化且經過分岔值時，從平衡狀態產生的孤立的周期運動的現象，也即從中心型平衡點產生的極限環的現象。為簡化穩定性分析，在下文分析中假定正交彈簧的傾角φ＝0；且忽略系統的阻尼作用。

2．1 Hopf動態分岔

由于下游子導線的平均阻力系數CD＞0，則h3恒大于零。對于導線次檔距振蕩問題，h2h3－h1也總大于零。因此發生Hopf動態分岔的臨界條件是：

將各參數代入，式（19）可以寫成以下形式：

式中：

當縮減速度Ur存在正實根時，就會發生Hopf動態分岔。在此條件下，下游子導線將偏離其平衡位置而處于不穩定狀態，即導線系統發生次檔距振蕩。方程（20）中Ur有正實根必須滿足如下條件：

將 A1、A2、A3代入上式中，可得：

式中

在上游子導線尾流區的大部分位置均能滿足此條件。且質量參數a必須滿足：

式中：

由上述條件可知，導線的質量參數影響其穩定性。通過求解方程（20）的根可得到導線系統失去穩定狀態的臨界縮減速度為：

2．2 Hopf靜態分岔

由方程（17）可知，當h0＝0時，其中一個特征根為零。此即為靜態分岔的臨界條件。這可利用振動原理來理解，通過振動方程（14）可看出，導線系統的氣動剛度與－／2成正比，當均勻來流風速V0增大到一定的程度時，氣動剛度將大于彈性剛度，使整個系統出現負剛度而導致其偏離平衡位置失去穩定狀態。由h0＝0可求得靜態分岔的臨界縮減風速為：

3 數值算例

振動系統發生不穩定與其無量綱質量參數a有關，由于空氣的密度很小，典型架空輸電線路工程中的分裂導線的無量綱質量參數a約為2×10－4。取導線直徑d為30 mm，平均升阻力系數曲線取文獻［6］結果，利用上述系統穩定性理論對處于上游子導線尾流區域中不同位置的下游子導線進行穩定性分析。計算工況選取無量綱坐標 X＝7、10、20、25，Z＝－4、－2、0、2、4，經MATLAB程序計算得到馳振臨界風速Vcr隨頻率比fz／fx變化的規律，計算得出不同工況下的變化規律相似。當尾流中下游子導線相對上游子導線的坐標為X＝10、Z＝2時，下游子導線發生馳振的臨界風速Vcr的Hopf分岔邊界與靜態分岔邊界如圖3所示。

圖3 兩種分岔理論對應的臨界風速Vcr隨頻率比 fz／fx的變化Fig．3 The critical wind speed Vcr with the frequency ratio fz／fx changes under the two bifurcation theory

由圖3可看出，對于分裂導線這種無量綱質量參數a非常小的情形，只有當來流風速V0增大到氣動剛度大于彈性剛度時，才會發生靜態分岔，而在此之前尾流中的下游子導線已通過Hopf動態分岔方式失穩，發生尾流馳振，后者即為分裂導線中處于尾流中的下游子導線失穩機理。同時還可看出，頻率比fz／fx的增大會提高導線系統發生尾流馳振的臨界風速Vcr，工程中一般采用合理間隔棒的型號與布置位置來調諧不同方向的頻率比，以提高系統的穩定性。

阻尼參數是導線振動系統的重要參數，通過計算研究阻尼參數的敏感性。計算工況選取為兩子導線的相對坐標為X＝12、Z＝1．5，對振子模型中兩方向的阻尼比 ζx、ζz均分別取 0、0．5%、1%、3%時，進行穩定性分析，可得到不同阻尼比下其馳振臨界風速Vcr隨頻率比變化的規律如圖3所示

圖4 不同阻尼比對應的臨界風速Vcr隨頻率比 fz／fx的變化Fig．4 The critical wind speed Vcr with the frequency ratio fz／fx changes under the damping ratio

由圖4可看出，當阻尼比ζ從0增加到0．5%時，最小臨界風速Vmincr僅增大2%。這說明阻尼比較小時對馳振臨界風速邊界區域的影響較小。當阻尼比ζ增大到一定的程度時，其會改變發生馳振邊界區域，提高導線系統發生尾流馳振的最小臨界風速Vmincr與臨界頻率比Rfcr＝fz／fx（小于該臨界頻率比將不發生尾流馳振），從而會減少其馳振區域，提高導線系統的穩定性。導線系統的阻尼主要是依靠其自身的阻尼效應，通過安裝阻尼間隔棒只能局部改變系統的阻尼，對整個系統的阻尼提高比較小。從阻尼貢獻抑制次檔距振蕩的角度看，安裝阻尼間隔棒并不是控制與防治導線尾流馳振的有效措施。較為有效的措施是縮短次檔距長度，優化阻尼間隔棒的安裝間距，以產生較大的能量耗散，從而把次檔距振蕩抑制在安全限度內。

4 結 論

本文應用準定常理論，建立了分裂導線次檔距振蕩的振子模型，運用穩定性理論，推導了振蕩發生臨界風速的計算公式，并研究了不同參數情況下臨界風速的變化曲線，主要結論如下：

（1）對于分裂導線的次檔距振蕩，尾流中的下游子導線首先是通過Hopf動態分岔方式失穩，從而發生尾流馳振。

（2）頻率比的增大會提高導線系統發生尾流馳振的臨界風速，工程中一般采用阻尼間隔棒，不等次檔距安裝，將間隔棒布置在接近振動的波峰而遠離波節點的地方，充分發揮其振動阻尼作用，來調諧不同方向的頻率比，以提高系統的穩定性。

（3）阻尼比較小時對馳振臨界風速邊界區域的影響較小，當阻尼比增大到一定的程度時，其會提高導線系統的穩定性。

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