Berthelot方程在空氣中比熱容比的研究

陳 漓，陳志福，黃彩敏

(百色學院物理與電信工程系，廣西 百色 533000)

準確測定氣體的比熱容比在熱力學理論及工程技術的應用中起著重要的作用，大學物理實驗中測量氣體比熱容比的方法種類較多，絕熱膨脹法和振動法是主要的兩種方法［1-2］.方法雖然簡單但誤差較大，且運用的范圍很有限，結果只適用于常溫常壓，較高壓強難以運用.

氣體的比熱容比可以運用聲速法進行測定，用聲學共振干涉法可以準確測出聲速的數值［3］.通過聲速的精確測量，運用相關的熱力學關系式，可以較精確地導出氣體的比熱容比.國內外大多數文獻基本上在這方面運用理想氣體狀態方程的聲速公式推出氣體的比熱容比與聲速的關系［2-5］.文獻［2］運用vdW 氣體研究比熱容比與聲速的關系，在中低壓范圍內能較好地與實測值相適應.本文運用實際氣體的Berthelot狀態方程的Virial形式來推導氣體比熱容比和聲速的關系式，與實驗值相比較的結果具有較高的準確性，這說明用Berthelot氣體比熱容比關系式來描述實際氣體比熱容比的特性，具有比理想氣體和vdW氣體更強的實際應用價值.

氣體比熱容比與聲速的關系可運用氣體傳播特性來推導.氣體在介質中傳播過程可視為可逆絕熱過程，即等熵過程［6］.聲速可用下式表示.

式中:υ為聲速，p為壓強，ρ是物質的密度，S是熵.

運用熱力學關系式可得:

上式即為比熱容比與聲速的熱力學關系式，式中γ=Cp/CV為比熱容比，V為摩爾體積，Mm為氣體的摩爾質量.

1 Berthelot氣體比熱容比與聲速關系的推導

對于(1)式，我們可通過熱力學關系推導出一些結論.引入壓縮因子Z=，則(1)式可寫為:

把Virial方程以Berlin型展開，則有:

Z(T，p)=1+B'(T)·p+C'(T)·p2+D'(T)·p3+ …這樣我們可以得到Berthelot equation of state

的一個等效的Berlin型Z表達式.

代入(2)式，在壓強不太高的情況下上式中壓強的高次項可忽略，因而有

上式即為Berthelot氣體的比熱容比與聲速的關系式.

把理想氣體狀態方程代入(1)式，我們可以得到理想氣體的比熱容比與聲速關系式

表1 壓強p=0.101 3 MPa和p=1.0 MPa的空氣比熱容比γ數值

2 數據分析

為了對比理想氣體和Berthelot氣體的比熱容比，我們以空氣作為研究的對象，溫度和壓強范圍分別是100～100 0 K和0.101 3 MPa～1 MPa，把溫度和壓強的數值分別代入(3)、(4)式得到的結果與實驗給出的比熱容比進行比較.在(3)、(4)式中，Mm、R和 a、b為常量，聲速 υ的值來自文獻［7］所提供的數據.

表1是在壓強分別為p=0.101 3 MPa和p=1.0 MPa的狀況下分別用理想氣體的方法和Berthelot氣體的方法對空氣的比熱容比計算得到的結果，并與實驗值相互比較.在此我們應用Matlab軟件，對表1的數據進行分析處理并繪制γ-T圖，如圖1、圖2所示.

圖1 壓強p=0.101 3MPa下的空氣比熱容比γ與溫度T的關系圖

圖2 壓強p=1.0 MPa下的空氣比熱容比γ與溫度T的關系圖

對表1的理論值與實驗值進行比較，在壓強為p=0.101 3 MPa時，理想氣體狀態方程得到的空氣比熱容比平均誤差為0.99﹪，Berthelot氣態狀態方程得到的空氣比熱容比平均誤差為0.12﹪.在壓強為p=1.0 MPa時，理想氣體狀態方程得到的空氣比熱容比平均誤差為6.63﹪，Berthelot氣體狀態方程得到空氣比熱容比平均誤差為1.68﹪.

從表1以及圖1、圖2分析可以得到:在溫度T≥250 K時，理想氣體和Berthelot氣體都能較好地與實驗值相吻合;當溫度T≤250 K時，理想氣體偏差很大，尤其是當壓強增大時.而Berthelot氣體依然能較好體現出空氣比熱容比的實際情況.與文獻［2］比較，Berthelot氣體比熱容比與實驗值的誤差也小于vdW氣體.

3 結論

從上述結果可以看出，Berthelot氣體比熱容比的變化規律與實際氣體比熱容比的變化相關性較好.實際氣體在相當大的壓強范圍內，更近似地遵守Berthelot狀態方程，無論是在低溫還是在壓強較高的情況下，Berthelot的比熱容比的數值與實驗值的誤差更小，曲線吻合的程度更好，這可以由表1、圖1和圖2反映出來.由此我們認為，這是Berthelot氣體在考慮分子引力項時引入了與溫度T的函數關系，這更能準確反映出氣體狀態變化的特性.

［1］Chamberlain，Jeff.Determination of the specific heat ratio of a gas in a plastic syringe［J］.The Physics Teacher，2010(4):233-235.

［2］陳漓.vdW氣體比熱容比與音速關系的理論研究［J］.文山學院學報，2012(6):56-60.

［3］Tsutomu Hozumi，Haruki Sato，Koichi Watanabe.Speed of sound in gaseous difluoromethane［J］.J.Chem.Eng.Data，1994，39:493-495.

［4］Bohn D A.Enviromental effects on the speed of sound［J］.Journal of the Audio Engineering Society，1988，36:223-231.

［5］George S K，Wong Tony，Embleton F W.Variation of specific heats and of specific heat ratio in air with hu-midity［J］.J Acoust Soc Am，1984，76(2):555-559.

［6］陳漓.理想氣體與vdW氣體聲速的研究［J］.百色學院學報，2010(6):80-84.

［7］Lemmon E W，Penoncello S G，Friend D G，et al.Thermodynamic properties of air and mixtures of Nitrogen，Argon，and Oxygen from 60 to 2000 K at pressures to 2000 MPa［J］.Journal of Physical and Chemical Reference Data，2000(3):331-385.