水平集與靈敏度分析相結合的流體形狀識別與優化方法

劉小民，張彬，張卓颯

（西安交通大學能源與動力工程學院，710049，西安）

流體形狀識別是反問題中的一個重要的研究方向，在生物醫學領域的心臟結構反演、血管形狀設計及病變檢測等問題中廣泛應用。帶有拓撲變化的形狀識別問題是一類具有特殊目標函數的拓撲優化問題。拓撲優化不依賴于給定結構形狀或拓撲的優化設計方法，最早用于解決基于固體力學原理的結構優化設計問題，主要包括均勻化法、變密度法、變厚度法、獨立連續映射法、漸進結構優化法和水平集方法等［1］。水平集方法于1988年提出，Osher等在提出水平集方法的同時給出了求解水平集方程高精度的穩定數值解法［2］。在基于固體力學的拓撲優化研究領域，最早把水平集方法引入其中的是Sethian和Wiegmann，他們根據計算獲得的von Mises應力進行了水平集方程的求解［3］。將水平集方法與靈敏度分析相結合，可使水平集方法在處理優化問題時更加簡便、準確［4－6］。

隨著結構拓撲優化在固體力學領域的發展，流體拓撲優化由Borrvall等應用變密度方法得以實現［7］。但是，變密度方法會產生中間密度材料，這使得基于變密度方法的流體拓撲優化很難得到較為精確的結果。最近，Duan等運用一種無需重新初始化的變分水平集方法分別針對二維Stokes流動及Navier－Stokes流動進行了拓撲優化，實現了基于變分水平集方法的流體拓撲優化［8］。Zhou等應用傳統水平集方法對穩態二維及三維Navier－Stokes流動實施了拓撲優化，并主張每一次優化都要重新進行網格劃分和法向速度擴展［9］。……