用向量法求解函數最值

陳海蓉，胡華

摘要：在一些求函數的最值的問題中，運用構造向量法能使問題得到優化，而且可以發散學生的思維，培養學生的創新精神的作用。學會觀察函數問題的結構特征，把握函數結構的向量模型，構造向量，把函數最值問題轉化為向量問題，使問題解決達到事半功倍的效果。

關鍵詞：函數最值；向量法；最值求解

中圖分類號：G633.66？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）06-0075-02

向量是數學中最基本和最重要的概念之一，它是解決數學問題的一個重要工具，溝通代數、幾何與三角函數，有著非常廣泛的實際應用背景，向量的大小具備了“數”的特征，向量的方向具備了“形”的特征。因此向量融數、形于一體，體現了數形結合的思想，成為中學數學知識的交匯點。掌握了向量的有關知識，有意識地運用向量這一工具去解決相關問題，不僅能使問題得到優化，而且能發散學生的思維，培養學生的創新精神。在一些求函數的最值的問題中，運用構造向量法就起到了這樣的作用。學會觀察函數問題的結構特征，把握函數結構的向量模型，構造向量，把函數最值問題轉化為向量問題，會起到簡化問題，使問題解決達到事半功倍的效果。下面我們就圍繞一個定理，以幾題的求解來闡述一下這一方法的運用，并就這一方法與其它方法作比較，其優勢還是顯而易見的。

Th：若■、■為兩個向量，則（■·■）2≤|■|2·|■|2（亦可表示為|■|2≥■

例1 求實數x、y的值，使得（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2達到最小值（2001年全國初中數學聯賽試題）

方法1：令u=（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2，則有5x2+6（y-5）x+（3y2-20y+46-u）=0 ∵x∈R，∴Δ=36（y-5）2-4×5（3y2-20y+46-u）≥0，即6y2-10y+5-5u≤0，又∵y∈R，∴Δ=100-4×6（5-5u）≥0 即得u≥■，當且僅當u=■時， 6y2-10y+5-5u=0，解得y=■，x=■即，當y=■，x=■時，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。

方法2：令■=（y-1，x+y-3，2x+y-6），■=（1，-2，1）由Th得 |■|2≥■=■，當且僅當■=■=■時取“=”，故得y=■，x=■時，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。

方法3：由柯西不等式：（■aibi）2≤■ai2■bi2（bi≠0，i=1，2…，n）當且僅當■=■=…=■時成立，因為（u2+v2+w2）[（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2]≥（u（y-1）+v（x+y-3））+w（2x+y-6）]2=（u+v+wy+（v+2w）x+（u+3v+6w），若令w=1，v=-2，u=1則u+v+w=0v+2w=0

故有（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2≥■，當且僅當■=■=■時取“=”，故得y=■，x=■時，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。

分析：構造向量求解函數最值顯然簡單一些，但要注意為使■·■及|■|是個定值，如何巧妙地構造構造向量■和■，而此題所給式子恰好可以看成向量的模的平方。

例2？搖如果a，b，c∈R+且a+b+c=1求■+■+■的最大值（第8屆“希望杯”全國數學邀請賽高二試題）

方法1：利用均值不等式∵a，b，c∈R+，∴■·■≤■，又■·■≤■，∴■·■≤■∴■（■+■+■）≤■，又∵a+b+c=1，■+■+■≤3■，當且僅當3a+1=2，3b+1=2，3c+1=2時，“=”成立，即a=b=c=■時，■+■+■有最大值3■。

方法2：向量法。令■=（■，■，■），■=（1，1，1）則由Th得，（■·■）2=（■+■+■）2≤[3（a+b+c）+3]×3

∵a+b+c=1，∴■+■+■≤3■當且僅當■=■=■時“=”成立，即a=b=c=■時，■+■+■有最大值3■。

方法3：概率法：由EX2≥（EX）2令x～■ ■ ■ ■ ■ ■，∵EX2≥（EX）2，∴■[（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）]≥[■（■+■+■）]2，又∵a+b+c=1 ∴18≥（■+■+■）2，∴■+■+■≤3■，當且僅當a=b=c=■時，取“=”

方法四：柯西不等式。（u2+v2+w2）[（■）2+（■）2+（■）2]≥（u■+v■+w■）2

令u=v=w=1得，3×[3（a+b+c）+3]≥（■+■+■）2，又∵a+b+c=1

∴■+■+■≤3■（當且僅當a=b=c=■時，取“=”）。

分析：此題借助于已知條件a+b+c=1構造向量比較容易，且所給式子可以看成兩個數量積的和的形式，因此適合用Th完成。

以上題型均可構造空間向量，利用向量的數量積（■·■）2≤|■|2·|■|2求解，并且較其它方法更為簡單、直接。此外，一般地涉及兩向量數量積的和的形式的題型可利用上述公式求其最值，但在構造時也有其局限性，不是每一類函數都可運用該種方法。endprint

摘要：在一些求函數的最值的問題中，運用構造向量法能使問題得到優化，而且可以發散學生的思維，培養學生的創新精神的作用。學會觀察函數問題的結構特征，把握函數結構的向量模型，構造向量，把函數最值問題轉化為向量問題，使問題解決達到事半功倍的效果。

關鍵詞：函數最值；向量法；最值求解

中圖分類號：G633.66？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）06-0075-02

向量是數學中最基本和最重要的概念之一，它是解決數學問題的一個重要工具，溝通代數、幾何與三角函數，有著非常廣泛的實際應用背景，向量的大小具備了“數”的特征，向量的方向具備了“形”的特征。因此向量融數、形于一體，體現了數形結合的思想，成為中學數學知識的交匯點。掌握了向量的有關知識，有意識地運用向量這一工具去解決相關問題，不僅能使問題得到優化，而且能發散學生的思維，培養學生的創新精神。在一些求函數的最值的問題中，運用構造向量法就起到了這樣的作用。學會觀察函數問題的結構特征，把握函數結構的向量模型，構造向量，把函數最值問題轉化為向量問題，會起到簡化問題，使問題解決達到事半功倍的效果。下面我們就圍繞一個定理，以幾題的求解來闡述一下這一方法的運用，并就這一方法與其它方法作比較，其優勢還是顯而易見的。

Th：若■、■為兩個向量，則（■·■）2≤|■|2·|■|2（亦可表示為|■|2≥■

例1 求實數x、y的值，使得（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2達到最小值（2001年全國初中數學聯賽試題）

方法1：令u=（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2，則有5x2+6（y-5）x+（3y2-20y+46-u）=0 ∵x∈R，∴Δ=36（y-5）2-4×5（3y2-20y+46-u）≥0，即6y2-10y+5-5u≤0，又∵y∈R，∴Δ=100-4×6（5-5u）≥0 即得u≥■，當且僅當u=■時， 6y2-10y+5-5u=0，解得y=■，x=■即，當y=■，x=■時，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。

方法2：令■=（y-1，x+y-3，2x+y-6），■=（1，-2，1）由Th得 |■|2≥■=■，當且僅當■=■=■時取“=”，故得y=■，x=■時，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。

方法3：由柯西不等式：（■aibi）2≤■ai2■bi2（bi≠0，i=1，2…，n）當且僅當■=■=…=■時成立，因為（u2+v2+w2）[（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2]≥（u（y-1）+v（x+y-3））+w（2x+y-6）]2=（u+v+wy+（v+2w）x+（u+3v+6w），若令w=1，v=-2，u=1則u+v+w=0v+2w=0

故有（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2≥■，當且僅當■=■=■時取“=”，故得y=■，x=■時，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。

分析：構造向量求解函數最值顯然簡單一些，但要注意為使■·■及|■|是個定值，如何巧妙地構造構造向量■和■，而此題所給式子恰好可以看成向量的模的平方。

例2？搖如果a，b，c∈R+且a+b+c=1求■+■+■的最大值（第8屆“希望杯”全國數學邀請賽高二試題）

方法1：利用均值不等式∵a，b，c∈R+，∴■·■≤■，又■·■≤■，∴■·■≤■∴■（■+■+■）≤■，又∵a+b+c=1，■+■+■≤3■，當且僅當3a+1=2，3b+1=2，3c+1=2時，“=”成立，即a=b=c=■時，■+■+■有最大值3■。

方法2：向量法。令■=（■，■，■），■=（1，1，1）則由Th得，（■·■）2=（■+■+■）2≤[3（a+b+c）+3]×3

∵a+b+c=1，∴■+■+■≤3■當且僅當■=■=■時“=”成立，即a=b=c=■時，■+■+■有最大值3■。

方法3：概率法：由EX2≥（EX）2令x～■ ■ ■ ■ ■ ■，∵EX2≥（EX）2，∴■[（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）]≥[■（■+■+■）]2，又∵a+b+c=1 ∴18≥（■+■+■）2，∴■+■+■≤3■，當且僅當a=b=c=■時，取“=”

方法四：柯西不等式。（u2+v2+w2）[（■）2+（■）2+（■）2]≥（u■+v■+w■）2

令u=v=w=1得，3×[3（a+b+c）+3]≥（■+■+■）2，又∵a+b+c=1

∴■+■+■≤3■（當且僅當a=b=c=■時，取“=”）。

分析：此題借助于已知條件a+b+c=1構造向量比較容易，且所給式子可以看成兩個數量積的和的形式，因此適合用Th完成。

以上題型均可構造空間向量，利用向量的數量積（■·■）2≤|■|2·|■|2求解，并且較其它方法更為簡單、直接。此外，一般地涉及兩向量數量積的和的形式的題型可利用上述公式求其最值，但在構造時也有其局限性，不是每一類函數都可運用該種方法。endprint

摘要：在一些求函數的最值的問題中，運用構造向量法能使問題得到優化，而且可以發散學生的思維，培養學生的創新精神的作用。學會觀察函數問題的結構特征，把握函數結構的向量模型，構造向量，把函數最值問題轉化為向量問題，使問題解決達到事半功倍的效果。

關鍵詞：函數最值；向量法；最值求解

中圖分類號：G633.66？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）06-0075-02

向量是數學中最基本和最重要的概念之一，它是解決數學問題的一個重要工具，溝通代數、幾何與三角函數，有著非常廣泛的實際應用背景，向量的大小具備了“數”的特征，向量的方向具備了“形”的特征。因此向量融數、形于一體，體現了數形結合的思想，成為中學數學知識的交匯點。掌握了向量的有關知識，有意識地運用向量這一工具去解決相關問題，不僅能使問題得到優化，而且能發散學生的思維，培養學生的創新精神。在一些求函數的最值的問題中，運用構造向量法就起到了這樣的作用。學會觀察函數問題的結構特征，把握函數結構的向量模型，構造向量，把函數最值問題轉化為向量問題，會起到簡化問題，使問題解決達到事半功倍的效果。下面我們就圍繞一個定理，以幾題的求解來闡述一下這一方法的運用，并就這一方法與其它方法作比較，其優勢還是顯而易見的。

Th：若■、■為兩個向量，則（■·■）2≤|■|2·|■|2（亦可表示為|■|2≥■

例1 求實數x、y的值，使得（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2達到最小值（2001年全國初中數學聯賽試題）

方法1：令u=（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2，則有5x2+6（y-5）x+（3y2-20y+46-u）=0 ∵x∈R，∴Δ=36（y-5）2-4×5（3y2-20y+46-u）≥0，即6y2-10y+5-5u≤0，又∵y∈R，∴Δ=100-4×6（5-5u）≥0 即得u≥■，當且僅當u=■時， 6y2-10y+5-5u=0，解得y=■，x=■即，當y=■，x=■時，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。

方法2：令■=（y-1，x+y-3，2x+y-6），■=（1，-2，1）由Th得 |■|2≥■=■，當且僅當■=■=■時取“=”，故得y=■，x=■時，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。

方法3：由柯西不等式：（■aibi）2≤■ai2■bi2（bi≠0，i=1，2…，n）當且僅當■=■=…=■時成立，因為（u2+v2+w2）[（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2]≥（u（y-1）+v（x+y-3））+w（2x+y-6）]2=（u+v+wy+（v+2w）x+（u+3v+6w），若令w=1，v=-2，u=1則u+v+w=0v+2w=0

故有（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2≥■，當且僅當■=■=■時取“=”，故得y=■，x=■時，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。

分析：構造向量求解函數最值顯然簡單一些，但要注意為使■·■及|■|是個定值，如何巧妙地構造構造向量■和■，而此題所給式子恰好可以看成向量的模的平方。

例2？搖如果a，b，c∈R+且a+b+c=1求■+■+■的最大值（第8屆“希望杯”全國數學邀請賽高二試題）

方法1：利用均值不等式∵a，b，c∈R+，∴■·■≤■，又■·■≤■，∴■·■≤■∴■（■+■+■）≤■，又∵a+b+c=1，■+■+■≤3■，當且僅當3a+1=2，3b+1=2，3c+1=2時，“=”成立，即a=b=c=■時，■+■+■有最大值3■。

方法2：向量法。令■=（■，■，■），■=（1，1，1）則由Th得，（■·■）2=（■+■+■）2≤[3（a+b+c）+3]×3

∵a+b+c=1，∴■+■+■≤3■當且僅當■=■=■時“=”成立，即a=b=c=■時，■+■+■有最大值3■。

方法3：概率法：由EX2≥（EX）2令x～■ ■ ■ ■ ■ ■，∵EX2≥（EX）2，∴■[（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）]≥[■（■+■+■）]2，又∵a+b+c=1 ∴18≥（■+■+■）2，∴■+■+■≤3■，當且僅當a=b=c=■時，取“=”

方法四：柯西不等式。（u2+v2+w2）[（■）2+（■）2+（■）2]≥（u■+v■+w■）2

令u=v=w=1得，3×[3（a+b+c）+3]≥（■+■+■）2，又∵a+b+c=1

∴■+■+■≤3■（當且僅當a=b=c=■時，取“=”）。

分析：此題借助于已知條件a+b+c=1構造向量比較容易，且所給式子可以看成兩個數量積的和的形式，因此適合用Th完成。

以上題型均可構造空間向量，利用向量的數量積（■·■）2≤|■|2·|■|2求解，并且較其它方法更為簡單、直接。此外，一般地涉及兩向量數量積的和的形式的題型可利用上述公式求其最值，但在構造時也有其局限性，不是每一類函數都可運用該種方法。endprint