多元地球化學異常識別的核馬氏距離方法

陳永良，路來君，李學斌

1.吉林大學綜合信息礦產預測研究所，長春 130026

2.吉林大學地球科學學院，長春 130061

0 引言

在勘查地球化學研究中，分離地球化學背景和異常是十分重要的。在過去的數十年中，研究者們提出了諸多分離單一地球化學指標背景和異常的統計學方法，例如，樣本統計直方圖法[1]、泛克里格法[2-4]、分形方 法[5-8]、多 重 分 形 方 法[9-11]、奇 異 性 方法[12-13]，等等。由于各種地球化學指標常常以相互影響和相互制約的方式共存于復雜地質系統中，因此，在地球化學異常識別中同時考慮多種地球化學指標的協同效應是十分必要的，充分利用不同地球化學指標之間的關聯性有利于減小地球化學異常識別結果的不確定性。在地球化學觀測數據滿足多元正態分布的條件下，馬氏距離是識別多元地球化學異常的較好綜合指標[14]。然而，由于地質系統的復雜性、成礦作用的多期多階段性以及控礦因素的多重性常常導致多元地球化學異常臨界面是非線性的和模糊的，用馬氏距離定義的平滑超橢球面不能準確表示這種復雜曲面。在這種情況下，用核馬氏距離代替馬氏距離作為多元地球化學異常識別的綜合指標是一種可行的多元地球化學異常識別方法。

核馬氏距離是核函數與馬氏距離有機結合的產物，用來度量特征空間中樣品映像與樣品映像總體之間的差異性。核函數的作用是將地球化學樣品向量隱式地非線性變換至高維或無窮維特征空間，從而把輸入空間非線性可分的多元地球化學異常識別問題轉化為特征空間中線性可分的特異值處理問題，同時，強化弱異常并有效抑制數據噪音。核馬氏距離識別多元地球化學異常的實質是用特征空間中的超橢球體表示樣品映像構成的流型，即多元地球化學背景域[14]，用超橢球面表示特征空間中的多元素背景與異常臨界面，用核馬氏距離衡量樣品映像與樣品映像總體之間的差異性。特征空間中的超橢球體對應于輸入空間中的復雜幾何形體，特征空間中的超橢球面對應于輸入空間中復雜地球化學背景與異常臨界曲面。因此，特征空間中地球化學樣品映像的多元線性異常識別等價于輸入空間地球化學異常的多元非線性判別。為數眾多的背景樣品映像在特征空間中往往構成樣品映像流型的主體分布于超橢球體的中心及鄰近區域；而數量稀少的異常樣品映像常常分布于超橢球體的邊緣及外圍。因此，可以根據樣品映像到映像總體的核馬氏距離的相對大小判斷樣品映像是否為異常樣品映像。

把上述多元地球化學異常識別方法應用于吉林省白山市4個1∶20萬圖幅6607件地球化學樣品的多元地球化學異常識別研究。對比分析復合核函數馬氏距離、高斯核函數馬氏距離、馬氏距離和主成分得分的多元地球化學異常識別效果。結果表明，復合核函數核馬氏距離是一種有效識別多元地球化學異常的綜合指標。

1 核馬氏距離計算

從向量x到樣本均值為μ、協方差矩陣為C的隨機總體X的馬氏距離平方定義為

用核函數將向量隱式地非線性變換至特征空間后，向量映像與映像總體之間的差異可用式（1）的馬氏距離平方來度量。在特征空間中，由于無法顯式地表達向量映像及其樣本均值的具體形式，映像總體的協方差矩陣和向量映像到映像總體的馬氏距離只能借助核函數來計算；因此，特征空間中的馬氏距離稱為核馬氏距離。核馬氏距離計算公式實質上是用核函數表示式（1）的馬氏距離。

設輸入數據空間Rp中有n個樣品數據，xi（i＝1，2，…，n），xi∈Rp用非線性函數Φ（·）把樣品從輸入空間變換到特征空間F，即

特征空間F為高維歐氏空間或無窮維Hilbert空間。不妨假設特征空間F的維數為m（m≤ ∞），并引入如下m×n階矩陣：

則特征空間F中n個樣品映像的均值向量可以表示為

用核函數表示特征空間F中的向量內積，則n個樣品映像兩兩之間的內積構成的核矩陣可表示為

其對應的中心化核矩陣為

特征空間F中任意向量t＝Φ（x）與樣品映像集

n個向量Φ（x1），Φ（x2），…，Φ（xn）的內積構成的向量可以寫成[16]

相似地，特征空間F中均值向量μΦ與樣品映像集n個向量Φ（x1），Φ（x2），…，Φ（xn）的內積構成的向量可以寫成[16]

在特征空間F中，任意向量t到樣品映像集合的馬氏距離可由下式計算[16]：

式中：n為樣品數；Ω-1是由中心化核矩陣非零特征值構成的對角陣的逆矩陣；β是由中心化核矩陣非零特征值對應的特征向量構成的矩陣。如果把的較小非零特征值刪除，只使用較大特征值及其對應的特征向量來構造Ω-1和β，則可以有效抑制數據噪音對核馬氏距離計算結果的影響。

常用的基本核函數模型有如下3種[17]：

①高斯核函數：

式中：x和y為輸入空間中的2個向量；σ為核函數的寬度參數，用來控制核函數的徑向作用范圍。

②多項式核函數：

式中，a、b、d為自定義的參數，a、b為實數，d 為有理數。

③Sigmoid核函數：

式中，b、c是自定義的參數。

在實際應用中，可以在上述3種基本核函數模型基礎上通過加、減和倍乘等運算構造復合核函數模型。

2 多元地球化學異常識別算法

設有n個觀測樣品，xi＝（xi1，xi2，…，xip）T，i＝1，2，…，n；xi的p個分量分別表示p種地球化學指標的正規化觀測值。應用核函數把觀測樣品向量非線性變換至特征空間，用超橢球體表示n個樣品映像在特征空間中的流型，用核馬氏距離度量每一個樣品映像與樣品映像集合的差異性，樣品映像的核馬氏距離越大，說明樣品映像與樣品映像集合的差異性越大，相應樣品為異常樣品的可能性就越大。把每一件地球化學樣品對應的核馬氏距離計算出來后，可以用閾值法來分離背景樣品和異常樣品，例如，把樣品集合中5%的具有較大馬氏距離的樣品作為異常樣品，則可以據此確定對應的核馬氏距離異常下限。

基于核馬氏距離的多元地球化學異常識別算法的步驟可概括為以下9步：①構造原始數據矩陣Xp×n＝（x1，…，xn）；②數據正規化；③選擇式（11）-（13）的3種基本核函數模型或以3種基本核函數模型為基礎構造復合核函數模型，計算核矩陣K；④用式（6）和（7）計算中心化核矩陣；⑤應用Lanczos方法[18-21]計算中心化核矩陣的端部最大特征對；⑥用的數個至數十個端部最大特征對構造矩陣Ω-1和β；⑦對于每一件地球化學樣品，用式（8）和（9）分別計算tX和μX；⑧對于每一件地球化學樣品，用式（10）計算核馬氏距離；⑨按異常樣品所占樣品總數的百分比確定核馬氏距離異常下限，將核馬氏距離高于異常下限的地球化學樣品標識為異常樣品。

3 研究實例

研究區位于吉林省長白山西側地區，區域大地構造隸屬華北板塊北緣，地殼演化經歷了早期太古宙陸核地體的形成和拼貼過程、古元古代裂谷拉張與閉合過程、中元古代北部邊緣地體的擠壓拼貼等過程。新元古代-古生代期間，研究區出現局部裂陷，堆積了陸源碎屑巖-碳酸鹽巖建造；中生代期間，濱太平洋構造運動產生擠壓和拉張應力作用，出現多處斷陷盆地，且沿擠壓-拉張構造帶發生強烈陸相火山噴發及巖漿侵入活動，形成復雜斷裂構造格局；新生代以來，太平洋板塊的持續作用造成大量基性火山噴發，導致研究區東部被玄武巖覆蓋。研究區內斷裂構造發育，有超殼斷裂、地殼表層斷裂、韌性剪切帶和脆性斷裂。研究區已發現金礦床（點）22處、銅礦床（點）5處、鉛鋅礦床（點）2處、銀礦床1處、銅鈷礦1處、銻礦1處和鈷礦1處，其中，金英大型金礦床、荒溝山中型金礦床和大橫路大型銅鈷礦床等是研究區典型工業礦床。研究區不同性質的構造單元成礦系列不同。不同地質歷史時期成礦的繼承和新生作用存在差異，多種形式的疊加改造-再富集過程導致研究區各成礦帶和礦床往往具有多源、多階段、多期次和多成因等特點[22-24]。研究區不同地質時代地質建造和已知礦床（點）空間分布特征如圖1所示。

研究區4個1∶20萬圖幅共采集6607件化探樣品，每件樣品用光譜分析方法測試29種地球化學元素含量，用化學分析方法測試6種氧化物含量。Au、Ag元素質量分數單位為10-9，其他元素質量分數單位為10-6，6種氧化物質量分數單位為10-2。研究區化探數據由中國地質調查局數據管理部門負責數據質量評估和圖幅接邊處理[25]并以Excel表方式提供給用戶。根據研究區已知礦種類型及礦床（點）數目，確定Au、Cu、Pb、Zn、Co、Ag、Sb為區域主成礦元素。化探數據經正規化處理后，做29種元素的相關分析。結果表明：主成礦元素中Au、Ag、Pb、Sb與 As、Bi、Hg顯著相關，Cu與Bi顯著相關，Zn與As、Hg顯著相關，故選擇主成礦元素Au、Ag、Cu、Pb、Zn、Co、Sb以及與主成礦元素顯著相關的元素As、Bi、Hg為區域成礦指示元素。研究區已發現的金礦床（點）數目最多，共占已發現的金屬礦床（點）總數的67%，故本文的研究以金礦床為區域找礦的主要目標。根據成礦指示元素類型及相關分析結果，確定4種尋找金礦床的地球化學綜合指標：Au-Ag、Au-Ag-As-Hg-Bi、Au-Ag-Cu-Pb-Zn-Co-Sb 和 Au-Ag-Cu-Pb-Zn-Co-Sb-As-Hg-Bi。10種成礦指示元素的頻率直方圖（圖2）可以看出，10種指示元素的頻率分布都是正偏態分布，均不服從正態分布。

在核馬氏距離應用研究中，核函數及其參數的選擇至關重要，不同的核函數模型及參數對應不同的高維特征空間，計算結果不盡相同。目前，核函數的選擇還沒有一個統一的標準，在實際應用中只能通過經驗＋試驗的方法確定核函數及其參數。為了對比不同核函數模型的地球化學異常識別效果，用多項式核函數和Sigmoid核函數的加和構造一種復合核函數來計算馬氏距離，同時，用高斯核函數模型來計算核馬氏距離。這2種核函數模型對應的特征空間分別為高維歐氏空間和無窮維Hilbert空間。實際應用中，多項式核函數的參數a和b通常取1，參數d通常取不小于1的整數，d值越大對應的特征空間越復雜；Sigmoid核函數的參數b和c分別為尺度因子和平移因子，b越大“S”形曲線坡度越陡，c越大“S”形曲線拐點離坐標原點越遠；高斯核函數參數σ為曲度因子，σ值越小核函數的非線性性越強。經過試驗分析，選擇多項式核函數參數a＝b＝1，d＝6；Sigmoid核函數參數b＝4，c＝2；高斯核函數參數σ＝0.5。

用復合核函數和高斯核函數計算出4種組合模式對應的核矩陣后，用核矩陣前10個最大特征值及其對應的特征向量來構造式（10）中的矩陣Ω-1和β。根據tX和μX的定義，核矩陣K的每一列為相應樣品與樣品集所有樣品的內積構成的向量tX；核矩陣K每一行元素算術平均值構成的向量為μX。用式（10）計算每一件地球化學樣品的核馬氏距離。為了對比核馬氏距離與馬氏距離及主成分得分的多元地球化學異常識別效果，同時統計計算了4種組合模式的馬氏距離和第一主成分得分。

復合核函數計算出的4種組合模式的核馬氏距離統計直方圖如圖3所示；高斯核函數計算出的4種組合模式的核馬氏距離統計直方圖如圖4所示；4種組合模式的馬氏距離統計直方圖如圖5所示；4種組合模式的第一主成分得分統計直方圖如圖6所示。復合核函數馬氏距離頻率直方圖為單峰型，峰值位于坐標原點右側附近，為峰值左側全部缺失而右側帶“長尾”的正偏態分布模型（圖3）；這種模型中的絕大多數樣品集中分布于坐標原點附近構成背景，少數樣品遠離坐標原點構成異常，背景-異常分離效果最好。高斯核函數馬氏距離頻率直方圖為近似單峰型，最高峰位于坐標原點右側附近，為一種最高峰值左側幾乎全部缺失而右側帶“長尾”的近似正偏態分布模型（圖4）；這種模型中絕大多數樣品松散分布于坐標原點一定距離范圍內構成背景，少數樣品遠離坐標原點構成異常，背景-異常分離效果較好。馬氏距離頻率直方圖為單峰型，峰值位于坐標原點右側一定距離位置，是一種左側“截尾”而右側帶“長尾”的正偏態分布模型（圖5）；這種模型中大多數樣品分布于峰值附近構成背景，少數樣品位于遠離峰值的“長尾”部構成異常，其背景-異常分離效果不如核馬氏距離。第一主成分得分的頻率直方圖為單峰型，峰值位于坐標原點右側并遠離坐標原點，是一種典型的正偏態分布模型（圖6）；這種模型的背景-異常分離效果不如馬氏距離。

圖1 白山地區簡化地質礦產圖Fig.1 Simplified map of geologic formations and mineral occurrences of Baishan region

復合核函數計算出的4種組合模式的核馬氏距離等值線圖如圖7所示；高斯核函數計算出的4種組合模式的核馬氏距離等值線圖如圖8所示；4種組合模式的馬氏距離異常等值線圖如圖9所示；4種組合模式的第一主成分得分異常等值線圖10所示。

圖2 地球化學指示元素統計頻率直方圖Fig.2 Histograms of geochemical element indicators

從地球化學元素組合異常等值線圖（圖7-10）可以看出，4種方法綜合4種模式（Au-Ag、Au-Ag-As-Bi-Hg、Au-Ag-Cu-Pb-Zn-Co-Sb、Au-Ag-Cu-Pb-Zn-Co-Sb-As-Bi-Hg）的元素組合異常等值線圖均在一定程度上反映出研究區存在2個多元地球化學異常集中區（帶）：第1個異常集中區位于研究區西南部（南北向22260-22370線和東西向4600-4650線圍成的區域），沿北東向展布，區內已發現金礦床18處、銅鈷礦床1處、鈷礦床1處、銅礦床5處、鉛鋅礦1處和銻礦床1處；第2個異常集中區位于研究區北部（東西向4710線以北的區域），沿近東西向展布，區內已發現金礦床（點）4處和銀礦床1處。

圖3 復合核函數對應的核馬氏距離統計頻率直方圖Fig.3 Histograms of kernel Mahalanobis distances with respect to composite kernel function

圖4 高斯核函數對應的核馬氏距離統計頻率直方圖Fig.4 Histograms of kernel Mahalanobis distances with respect to Gaussian kernel function

圖5 馬氏距離統計頻率直方圖Fig.5 Histograms of Mahalanobis distances

圖6 第一主成分得分統計頻率直方圖Fig.6 Histograms of first principal component scores

圖7 復合核函數對應的核馬氏距離異常等值線圖Fig.7 Contour maps of anomalous kernel Mahalanobis distances with respect to composite kernel function

圖8 高斯核函數對應的核馬氏距離異常等值線圖Fig.8 Contour maps of anomalous kernel Mahalanobis distances with respect to Gaussian kernel function

圖9 馬氏距離異常等值線圖Fig.9 Contour maps of anomalous Mahalanobis distances

圖10 第一主成分得分異常等值線圖Fig.10 Contour maps of first anomalous principal component scores

在第1個異常集中區內存在7處明顯和3處不明顯的異常濃集中心（圖7b）。在坐標點 （22310，4630）附近，有3處異常濃集中心共同構成的1處強異常區，該區賦存于3處中生代淺成花崗質侵入巖體構成的弧形巖漿巖帶內測（圖1），該部位有利于巖漿期后熱液的匯集。在該強異常區內，已發現大橫路大型銅鈷礦床、金英大型金礦床、荒溝山中型金礦床、金礦床（點）1處和鉛鋅礦床（點）1處等，該強異常區出露的中元古界老嶺群是大橫路銅鈷礦、金英金礦和荒溝山金礦的主要賦礦地層[22-24]。據此推斷該強異常區是最有利的多金屬成礦遠景區。在坐標點（22360，4615）附近存在1處明顯和1處不明顯的異常濃集中心構成的強異常區，該強異常區內的地質建造組合包括寒武-奧陶紀地層、侏羅紀地層、中生代玄武巖和早元古界片麻狀花崗巖，區內已發現4處銅礦床（點），是需要進一步開展工作的多金屬成礦遠景區。在坐標點（22325，4640）附近存在1處明顯的異常濃集中心，位于中生代花崗質侵入巖體與元古界老嶺群及早古生代地層三者接觸部位，與研究區已發現的銻礦床產出部位相吻合（圖1），是1處有利的多金屬成礦遠景區。在坐標點（22295，4620）附近存在1處明顯的異常濃集中心，位于太古界結晶基底和元古界老嶺群接觸帶，與中生代花崗質侵入巖體存在一定距離，與研究區已發現的1處鈷礦床產出部位相吻合（圖1），是1處有利的多金屬成礦遠景區。在坐標點（22320，4625）附近存在由2處明顯的異常濃集中心構成的強異常區，位于中生代花崗質侵入巖體南側附近，出露地層包括元古界老嶺群、震旦紀和侏羅紀地層，異常區內尚未發現金屬礦床，是1處值得進一步工作的多金屬成礦遠景區。

在第2個異常集中區內，存在大約6處明顯和6處不明顯的異常濃集中心（圖7b）。在坐標點（22330，4720）附近存在1處明顯異常濃集中心，位于太古界結晶基底邊部，與1處金礦床（點）在空間位置上基本吻合，是需要進一步工作的多金屬成礦遠景區。在坐標點（22340，4730）附近存在1處無明顯濃集中心的異常區，位于太古界結晶基底分布區，異常內已發現金礦床（點）3處，是需要進一步工作的多金屬成礦遠景區。在坐標點（22410，4725）附近存在1處無明顯濃集中心北西向展布的條帶狀異常，與太古界結晶基底和侏羅紀地層接觸帶基本吻合，異常內已發現銀礦床（點）1處，是需要進一步工作的多金屬成礦遠景區。此外，尚有5處具有明顯異常濃集中心的異常區，分別位于坐標點（22280，4725）、（22320，4735）、（22375，4730）、（22290，4745）及（22420，4735）附近。目前，尚缺少這些異常區的區域地質資料，在這些異常內也沒有發現已知金屬礦床（點）。

4種多元地球化學異常識別方法的異常識別效果存在微小差別，復合核函數馬氏距離的異常識別效果略優于其他方法。以第2種元素組合模式（Au-Ag-As-Bi-Hg）為例：復合核函數馬氏距離的多元地球化學異常區面積較小，而且能夠反映研究區已知金屬礦床（點）的空間分布規律；高斯核函數馬氏距離的多元地球化學異常區內的典型異常濃集中心與復合核函數馬氏距離基本相似，但是，該方法圈定出一些與已知礦床（點）關系不明、無異常濃集中心的大面積低緩異常區；馬氏距離方法圈定的多元地球化學異常，除幾處典型異常濃集中心與復合核函數馬氏距離相似外，多數異常濃集中心強度不高不夠明顯，而且該方法也圈定出一些與已知金屬礦床（點）關系不明、無濃集中心的規模較大的低緩異常區；主成分方法圈定的多元地球化學異常，有幾處典型異常濃集中心與復合核函數馬氏距離相似外，其他異常濃集中心與復合核函數馬氏距離略有不同，并且該方法圈出了諸多與已知金屬礦床（點）關系不明、無濃集中心的規模較大的低緩異常區。上述多元地球化學異常識別結果表明：復合核函數馬氏距離方法能夠很好地分離多元地球化學背景與異常，其他3種方法的多元地球化學背景與異常的區分效果稍差。

在上述多元地球化學異常識別結果基礎上，可以應用對應分析方法統計多元地球化學異常樣品與元素的關系，進而對多元地球化學異常進行分類，據此預測各異常區可能發現的金屬礦床類型[14]。由于篇幅所限，本文未對此進行研究。

4 結論及討論

把核馬氏距離應用于白山市4個1∶20萬圖幅多元地球化學數據的異常識別。選擇高斯核函數模型和由多項式核函數與Sigmoid核函數構造的復合核函數模型計算核矩陣及核馬氏距離，并對比了復合核函數馬氏距離、高斯核函數馬氏距離、馬氏距離和主成分得分4種模型的多元地球化學異常識別效果。結果表明：在正確選擇核函數模型及參數的條件下，通過合理取舍核矩陣的端部特征對，核馬氏距離計算結果能夠有效抑制隨機因素干擾，核馬氏距離的空間變化規律能夠揭示區域多元地球化學成分的空間變化特征，圈定區域多元地球化學異常靶區。

核函數及其參數選擇是核馬氏距離應用的關鍵之一。不同的核函數及其參數把地球化學樣品非線性映射到不同的高維或無窮維特征空間，相應的核馬氏距離計算結果也不盡相同，研究者需要選擇能夠正確反映研究區已知礦產資源空間分布特征的核馬氏距離統計結果。有關核函數模型選擇及其參數的確定目前還沒有一個統一的標準，在實際應用中，只能靠經驗的方式選擇核函數并確定其參數。一般情況下，可以選擇幾種常用核函數模型進行試算，最后通過對比不同模型的應用效果確定使用哪種核函數模型。

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