基于稀疏恢復(fù)的空時(shí)二維自適應(yīng)處理技術(shù)研究現(xiàn)狀

馬澤強(qiáng) 王希勤 劉一民 孟華東

(清華大學(xué)電子工程系 北京 100084)

1 引言

稀疏恢復(fù)(Sparse Recovery,SR)是信號(hào)處理領(lǐng)域近年來(lái)興起的一個(gè)研究熱點(diǎn)[1－6]，主要關(guān)注具有稀疏性的信號(hào)。信號(hào)的稀疏性是指當(dāng)用一個(gè)1維向量表示信號(hào)時(shí)，信號(hào)向量中絕大多數(shù)位置的元素值等于零或十分接近零，只有少數(shù)位置的元素有顯著值，這樣的信號(hào)被稱(chēng)為稀疏信號(hào)。稀疏恢復(fù)的主要思想是：在信號(hào)處理領(lǐng)域的很多場(chǎng)景中，信號(hào)向量往往本身具有稀疏性，或在某種變換之下具有稀疏性，對(duì)于稀疏信號(hào)，可以通過(guò)一定的方法進(jìn)行壓縮觀測(cè)，使原來(lái)維度較大的信號(hào)以較小維度存儲(chǔ)，當(dāng)壓縮觀測(cè)滿足一定條件時(shí)，可以通過(guò)相應(yīng)的算法從壓縮觀測(cè)信號(hào)中恢復(fù)出原始的維度較大的稀疏信號(hào)，這一過(guò)程就叫做稀疏恢復(fù)。

稀疏恢復(fù)理論的數(shù)學(xué)模型可以用一個(gè)欠定線性方程組y=Ax的求解來(lái)說(shuō)明，其中y為M×1的觀測(cè)信號(hào)，A為M×N的觀測(cè)矩陣(也稱(chēng)為基矩陣)，其中M＜N，矩陣A的每一列可以認(rèn)為是一組基中的一個(gè)基向量。x為N×1的待恢復(fù)的稀疏信號(hào)向量。原始的稀疏恢復(fù)問(wèn)題目標(biāo)是求出“最稀疏”的原始信號(hào)向量，即使信號(hào)向量中顯著分量數(shù)目最少，所以可以建模為一個(gè)l0范數(shù)最小化問(wèn)題(l0范數(shù)定義為向量中非零元素的數(shù)目)：

其中ε為噪聲容限。由于 l0范數(shù)最小化問(wèn)題是一個(gè)非凸優(yōu)化問(wèn)題，直接求解的難度較大，所以很多情況下可以將該優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如式(2)所示的 l1范數(shù)最小化問(wèn)題[6]：

在雷達(dá)信號(hào)處理領(lǐng)域，有許多場(chǎng)景會(huì)涉及到通過(guò)較少的觀測(cè)估計(jì)高分辨信號(hào)的問(wèn)題，比如 SAR/ISAR成像、DOA/空間譜估計(jì)、自適應(yīng)陣列處理、空時(shí)2維自適應(yīng)處理等。在一定的變換下，這些待估計(jì)的信號(hào)具有稀疏性。目前國(guó)內(nèi)外已經(jīng)有大量學(xué)者開(kāi)展了將稀疏恢復(fù)應(yīng)用到雷達(dá)信號(hào)處理中的研究。

空時(shí) 2維自適應(yīng)處理(Space-Time Adaptive Processing,STAP)技術(shù)是機(jī)載陣列雷達(dá)中一種重要的信號(hào)處理手段，其主要作用是抑制地雜波，檢測(cè)慢速小目標(biāo)[8]。傳統(tǒng)的STAP技術(shù)需要通過(guò)距離維上足量的獨(dú)立同分布的平穩(wěn)訓(xùn)練樣本來(lái)獲得對(duì)雜波協(xié)方差矩陣的估計(jì)：

Reed等人的研究表明，如果陣元數(shù)為N，一個(gè)相干處理間隔(CPI)內(nèi)的相干脈沖數(shù)為 M，那么當(dāng)獨(dú)立同分布訓(xùn)練樣本數(shù)L＞2MN時(shí)，該方法可以獲得近似最優(yōu)性能。而在實(shí)際場(chǎng)景中，即使經(jīng)過(guò)子陣合成，雷達(dá)的陣元數(shù)N和相干脈沖數(shù)M也是較大的，所以往往很難得到滿足這一要求的足量平穩(wěn)訓(xùn)練樣本。為了減少所需的訓(xùn)練樣本數(shù)，研究者提出了許多降維或降秩的STAP算法，以及直接數(shù)據(jù)域STAP方法。但這些方法在降低所需樣本數(shù)的同時(shí)，往往會(huì)減小等效孔徑的大小，造成性能損失。所以，在雜波非均勻環(huán)境下，如何通過(guò)較少量的平穩(wěn)訓(xùn)練樣本獲得對(duì)雜波的盡可能準(zhǔn)確的估計(jì)，是STAP技術(shù)面臨的一個(gè)重要問(wèn)題。

圖1 傳統(tǒng)STAP方法與空時(shí)譜估計(jì)-濾波器結(jié)構(gòu)SR-STAP方法示意圖Fig.1 The block diagram of traditional STAP method and SR-STAP

稀疏恢復(fù)在小樣本下的優(yōu)勢(shì)和STAP技術(shù)面臨的上述問(wèn)題促使了基于稀疏恢復(fù)的 STAP技術(shù)(Sparse Recovery-based STAP，以下簡(jiǎn)稱(chēng)稀疏恢復(fù)STAP技術(shù)或SR-STAP)的出現(xiàn)。目前已經(jīng)取得一定研究成果的稀疏恢復(fù)STAP技術(shù)是基于空時(shí)譜稀疏性的空時(shí)譜估計(jì)-濾波器結(jié)構(gòu) SR-STAP方法[9]，本文主要對(duì)基于空時(shí)譜稀疏性的稀疏恢復(fù)STAP方法的已有研究成果進(jìn)行總結(jié)，并對(duì)其中涉及到的其他一些研究方向進(jìn)行簡(jiǎn)要探討。

2 基于空時(shí)譜稀疏性的SR-STAP方法

2.1 譜估計(jì)-濾波器結(jié)構(gòu)SR-STAP的基本框架

傳統(tǒng)的STAP算法可以分為兩個(gè)環(huán)節(jié)：即估計(jì)雜波特性(具體體現(xiàn)在對(duì)雜波協(xié)方差矩陣的估計(jì)上)和自適應(yīng)濾波。估計(jì)雜波協(xié)方差矩陣是通過(guò)直接將訓(xùn)練樣本的自相關(guān)矩陣求平均得到的，如圖1中“傳統(tǒng)STAP方法”對(duì)應(yīng)的實(shí)線框內(nèi)流程所示。

2009年，文獻(xiàn)[9]最先提出了正側(cè)視均勻線性陣列(ULA)情形下基于稀疏恢復(fù)的STAP方法，該方法先利用稀疏恢復(fù)對(duì)檢測(cè)單元雜波的空時(shí)譜進(jìn)行估計(jì)，然后利用空時(shí)譜來(lái)估計(jì)雜波協(xié)方差矩陣。在這里我們將這種方法稱(chēng)為譜估計(jì)-濾波器結(jié)構(gòu)的SR-STAP方法，如圖 1中“譜估計(jì)-濾波器結(jié)構(gòu)SR-STAP方法”對(duì)應(yīng)的實(shí)線框內(nèi)流程所示。其基本結(jié)構(gòu)和傳統(tǒng)的STAP方法一樣，依然是使用檢測(cè)單元附近的訓(xùn)練樣本來(lái)估計(jì)雜波協(xié)方差矩陣，然后做自適應(yīng)濾波。兩者的核心差別在于利用采樣數(shù)據(jù)估計(jì)雜波協(xié)方差矩陣的方法，即圖1中虛線框內(nèi)所示的部分。

譜估計(jì)-濾波器結(jié)構(gòu)的SR-STAP方法是基于雜波空時(shí)譜的稀疏性建立的。如圖2所示，對(duì)于某一距離單元的采樣數(shù)據(jù)(以下稱(chēng)為空時(shí)快拍)，如果對(duì)其做2維DFT變換，會(huì)得到多普勒頻率-波達(dá)角域的2維空時(shí)譜。由于機(jī)載雷達(dá)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)，地雜波散射源相對(duì)雷達(dá)會(huì)有一定的運(yùn)動(dòng)速度，那么雜波的多普勒頻率和波達(dá)角之間會(huì)有線性的關(guān)系fd=2v/ λ sin θ ，在空時(shí)譜平面上表現(xiàn)為一條斜線，稱(chēng)之為雜波脊線。圖2為MountainTop數(shù)據(jù)146#距離單元的雜波空時(shí)譜，可以看出呈現(xiàn)稀疏特性。

理論和實(shí)驗(yàn)都表明，雜波脊線在整個(gè)空時(shí)譜平面上占據(jù)較窄的一條“頻帶”[9]，將空時(shí)譜做向量化后得到一個(gè)稀疏向量，只有少數(shù)位置的元素有顯著值，對(duì)應(yīng)雜波散射源，其他大部分位置都接近零，只有噪聲分量。這是利用稀疏恢復(fù)進(jìn)行雜波空時(shí)譜估計(jì)的重要前提和保證。在向量化的空時(shí)快拍x和向量化的空時(shí)譜α之間，存在著一個(gè)線性變換：

其中，n為觀測(cè)噪聲向量，Φ為空時(shí)導(dǎo)引矢量t排列組成的基矩陣，因?yàn)樵摶仃囀窃谝粋€(gè)完備的正交基矩陣基礎(chǔ)上擴(kuò)充得到的，其列向量組構(gòu)成了一組超完備基，所以又稱(chēng)為超完備基矩陣：

其中Ns=ρsN是角度維的量化點(diǎn)數(shù)，Nd=ρdM是多普勒維的量化點(diǎn)數(shù)，其中ρs和ρd分別為空時(shí)譜估計(jì)時(shí)角度維和多普勒維的擴(kuò)維系數(shù)。式(4)是一個(gè)典型的稀疏恢復(fù)問(wèn)題的模型，可以使用稀疏恢復(fù)的方法求解。因此，空時(shí)譜估計(jì)的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如式(6)所示的一個(gè)稀疏恢復(fù)問(wèn)題：

這里將稀疏恢復(fù)問(wèn)題建模為l1范數(shù)最小化問(wèn)題，通過(guò)求解這個(gè)稀疏恢復(fù)問(wèn)題，可以獲得空時(shí)譜估計(jì)α。通過(guò)稀疏恢復(fù)估計(jì)空時(shí)譜的過(guò)程如圖3所示。

圖2 雜波空時(shí)譜稀疏性示意圖Fig.2 The sparsity of clutter space-time spectrum

圖3 利用稀疏恢復(fù)進(jìn)行雜波空時(shí)譜估計(jì)示意Fig.3 Estimating clutter space-time spectrum using sparse recovery

另外一個(gè)十分重要的環(huán)節(jié)是建立起空時(shí)譜和雜波協(xié)方差矩陣之間的聯(lián)系，由式(4)以及雜波協(xié)方差矩陣的定義，Rxx=E[x xH]=E[ΦααHΦH]=Φ E[ααH]ΦH，可以得到式(7)所示的通過(guò)空時(shí)譜來(lái)估計(jì)雜波協(xié)方差矩陣的公式：

式(4)～式(7)是譜估計(jì)-濾波器結(jié)構(gòu)的 SRSTAP方法的核心環(huán)節(jié)，即利用稀疏恢復(fù)從空時(shí)快拍x得到雜波協(xié)方差矩陣估計(jì)Rxx的完整流程。得到雜波協(xié)方差矩陣估計(jì)后的處理方法和傳統(tǒng)STAP方法一致，即構(gòu)造自適應(yīng)濾波器：

整個(gè)方法的流程如圖1中“譜估計(jì)-濾波器結(jié)構(gòu)STAP方法”對(duì)應(yīng)的實(shí)線框內(nèi)所示。在該方法中，估計(jì)空時(shí)譜所用的仍然是來(lái)自檢測(cè)單元附近距離單元上的訓(xùn)練樣本，因此需要假設(shè)在檢測(cè)單元鄰近的若干個(gè)距離單元內(nèi)，雜波滿足局部平穩(wěn)，即局部范圍內(nèi)能夠獲得若干個(gè)滿足獨(dú)立同分布的訓(xùn)練樣本。在這種條件下，采用了稀疏恢復(fù)的直接優(yōu)勢(shì)就是能夠使用很少的訓(xùn)練樣本，就獲得和傳統(tǒng)方法接近甚至更優(yōu)的性能。

有多種譜估計(jì)方法可以實(shí)現(xiàn)從空時(shí)快拍得到空時(shí)譜估計(jì)，比如2維DFT,MUSIC,Capon等方法。相比稀疏恢復(fù)空時(shí)譜估計(jì)方法，這些方法都有明顯的不足，比如 DFT高旁瓣且分辨力受限于孔徑大小(即采樣數(shù)據(jù)維度)，Capon和MUSIC等傳統(tǒng)高分辨譜估計(jì)方法則需要足量的快拍才能工作。相比這些傳統(tǒng)譜估計(jì)方法，稀疏恢復(fù)的重要優(yōu)勢(shì)是，只需少量快拍即可實(shí)現(xiàn)高分辨的空時(shí)譜估計(jì)，進(jìn)而獲得對(duì)雜波特性的較好估計(jì)。

STAP方法的最終性能體現(xiàn)在雜波抑制效果上。在自適應(yīng)濾波器的構(gòu)造方法相同的情況下，雜波協(xié)方差矩陣估計(jì)的質(zhì)量就成為了決定算法性能的關(guān)鍵因素。相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明，用稀疏恢復(fù)空時(shí)譜估計(jì)得到的雜波協(xié)方差矩陣的估計(jì)具有優(yōu)良的性能。圖4展示了在MountainTop數(shù)據(jù)上傳統(tǒng)STAP方法和譜估計(jì)-濾波器結(jié)構(gòu)的 SR-STAP方法的性能對(duì)比。圖4(a)，圖4(b)兩圖通過(guò)空時(shí)譜輸出結(jié)果的對(duì)比說(shuō)明了SR-STAP具有更好的雜波抑制和目標(biāo)檢測(cè)性能，圖4(c)的結(jié)果證明了SR-STAP可有效抑制主雜波，使得最大的旁瓣雜波剩余比實(shí)際運(yùn)動(dòng)目標(biāo)低 8 dB左右。而利用同樣數(shù)據(jù)訓(xùn)練樣本傳統(tǒng)方法難以有效估計(jì)出實(shí)際雜波分布，因此經(jīng)過(guò)傳統(tǒng)方法雜波抑制，目標(biāo)還淹沒(méi)在周?chē)s波剩余中，無(wú)法檢測(cè)出。

圖4 傳統(tǒng)STAP方法與空時(shí)譜估計(jì)-濾波器結(jié)構(gòu)SR-STAP方法性能對(duì)比Fig.4 Performance comparison between traditional STAP methods and SR-STAP

從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，譜估計(jì)-濾波器結(jié)構(gòu)的 SRSTAP方法的基本框架和傳統(tǒng) STAP方法是一致的。如果將STAP看做一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，其優(yōu)化的目標(biāo)都是最大化輸出信雜比SCNRout，由這個(gè)優(yōu)化目標(biāo)推導(dǎo)出來(lái)的最優(yōu)濾波器的形式都是 w=，所以問(wèn)題的關(guān)鍵是獲得盡可能精準(zhǔn)的雜波協(xié)方差矩陣的估計(jì)。譜估計(jì)-濾波器結(jié)構(gòu)的SR-STAP方法的核心創(chuàng)新之處就在于避免了傳統(tǒng)方法使用大量樣本訓(xùn)練協(xié)方差矩陣的做法，將協(xié)方差矩陣的估計(jì)轉(zhuǎn)化為一個(gè)空時(shí)譜估計(jì)問(wèn)題，并使用稀疏恢復(fù)方法求解。在這種框架下，提高SR-STAP性能的關(guān)鍵也就在于盡可能將雜波協(xié)方差矩陣Rxx估計(jì)準(zhǔn)確，即盡可能將雜波空時(shí)譜估計(jì)準(zhǔn)確。

下面對(duì)譜估計(jì)-濾波器結(jié)構(gòu)的SR-STAP框架下國(guó)內(nèi)外近年來(lái)的一些研究成果進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹。

2.2 off-grid問(wèn)題

譜估計(jì)-濾波器結(jié)構(gòu)的SR-STAP方法面臨著傅里葉基矩陣下稀疏恢復(fù)的一個(gè)共有問(wèn)題：格子對(duì)不準(zhǔn)問(wèn)題(off-grid)[11]，有些文獻(xiàn)也稱(chēng)之為基失配問(wèn)題(basis mismatch)[12,13]。在基于稀疏恢復(fù)的空時(shí)譜估計(jì)中，該問(wèn)題描述如下：在構(gòu)造稀疏恢復(fù)問(wèn)題的超完備基矩陣Φ時(shí)，需要將空時(shí)導(dǎo)引矢量的兩個(gè)參數(shù)，即雜波的多普勒頻率和波達(dá)角，進(jìn)行離散化(格點(diǎn)劃分)。而真實(shí)回波中雜波的這兩個(gè)參數(shù)往往難以完全和預(yù)先劃分的參數(shù)格點(diǎn)嚴(yán)格對(duì)齊，這就是off-grid問(wèn)題。圖5對(duì)空時(shí)譜估計(jì)中的off-grid問(wèn)題進(jìn)行了示意。圖5中“空時(shí)頻點(diǎn)”指多普勒頻率-波達(dá)角對(duì)。

在譜估計(jì)-濾波器結(jié)構(gòu)的SR-STAP方法中，offgrid會(huì)顯著影響空時(shí)譜估計(jì)的性能，進(jìn)而引起雜波抑制效果的下降，所以研究針對(duì) off-grid問(wèn)題的稀疏恢復(fù)算法，對(duì)于提高譜估計(jì)-濾波器結(jié)構(gòu)的SR-STAP算法的性能很有意義。減少或消除off-grid問(wèn)題帶來(lái)的影響，一個(gè)最自然的思路就是設(shè)計(jì)自適應(yīng)方法，尋找真實(shí)的基矩陣，即尋找雜波真實(shí)的多普勒頻率和波達(dá)角。

國(guó)外已經(jīng)有學(xué)者展開(kāi)了對(duì)這一課題的研究。在2013年IEEE雷達(dá)會(huì)上出現(xiàn)了相關(guān)的論文[14]，提出了一種基于字典學(xué)習(xí)(dictionary learning)的稀疏恢復(fù)雜波空時(shí)譜估計(jì)方法CSDL算法。對(duì)于存在offgrid的基矩陣，假設(shè)在某個(gè)格點(diǎn)上構(gòu)造的多普勒頻率和波達(dá)角分別為fi和θi，真實(shí)雜波對(duì)應(yīng)的多普勒頻率和波達(dá)角分別為 fi+Δfi和 θi+Δθi，則真實(shí)的基矩陣中對(duì)應(yīng)的那一列導(dǎo)引矢量為：

那么，考慮了格點(diǎn)失配之后的稀疏恢復(fù)空時(shí)譜估計(jì)問(wèn)題變?yōu)椋?/p>

其中基矩陣Φm為式(9)中包含格點(diǎn)誤差在內(nèi)的空時(shí)導(dǎo)引矢量構(gòu)成的基矩陣，Δα為空時(shí)譜估計(jì)的誤差。估計(jì)真實(shí)的基矩陣等效于估計(jì)空時(shí)頻點(diǎn)的誤差Δfi和Δθi，以及空時(shí)譜估計(jì)α和估計(jì)誤差Δα，建立以它們?yōu)閮?yōu)化變量的優(yōu)化問(wèn)題：

其中fg和θg是對(duì)格點(diǎn)誤差范圍的限定，最后一個(gè)約束是限定多普勒頻率和波達(dá)角之間滿足雜波脊線的線性關(guān)系。優(yōu)化問(wèn)題的求解在α,Δα和Δfi,Δθi之間交替進(jìn)行：初始化時(shí)假設(shè)沒(méi)有格點(diǎn)誤差，得到關(guān)于空時(shí)譜α的初始估計(jì)，然后固定α和Δα，求解優(yōu)化問(wèn)題式(11)得到Δfi,Δθi的估計(jì)；再利用Δfi,Δθi的估計(jì)構(gòu)造基矩陣Φm，再求解式(10)的稀疏恢復(fù)問(wèn)題得到α,Δα的估計(jì)。如此交替進(jìn)行，直至滿足收斂條件。

文獻(xiàn)[14]展示了該算法在KASSPER數(shù)據(jù)上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，以歸一化輸出信雜噪比SINR為指標(biāo)，如圖6所示。

圖5 空時(shí)譜估計(jì)中格子對(duì)不準(zhǔn)問(wèn)題示意Fig.5 The off-grid problem in space-time spectrum estimation

圖6 CSDL算法性能展示[14]Fig.6 Performance of CSDL algorithm[14]

根據(jù)該文獻(xiàn)展示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，基于字典學(xué)習(xí)的CSDL算法能夠有效解決off-grid問(wèn)題，估計(jì)出雜波在空時(shí)譜平面上的真實(shí)位置，具有較好的魯棒性。

2.3 MMV問(wèn)題

在譜估計(jì)-濾波器結(jié)構(gòu)的SR-STAP方法中，有一類(lèi)問(wèn)題叫做多觀測(cè)向量問(wèn)題(Multiple Measurement Vector,MMV)[15,16]，該問(wèn)題表述如下：在雜波局部平穩(wěn)條件下，可以得到距離維上若干個(gè)快拍的平穩(wěn)訓(xùn)練樣本，在此條件下使用稀疏恢復(fù)做空時(shí)譜估計(jì)，需要研究如何聯(lián)合這多個(gè)快拍進(jìn)行稀疏恢復(fù)才能充分利用多快拍中的信息，提高空時(shí)譜估計(jì)的精度和雜波抑制性能。

在2013年IEEE雷達(dá)會(huì)上發(fā)表了對(duì)該問(wèn)題研究成果[17]，建立了混合l2,1范數(shù)優(yōu)化模型[18]來(lái)求解聯(lián)合稀疏恢復(fù)空時(shí)譜估計(jì)問(wèn)題。在多快拍情形下，假設(shè)L個(gè)快拍組成的觀測(cè)數(shù)據(jù)矩陣為 X=[x1,x2,…,xL]，聯(lián)合稀疏恢復(fù)所得空時(shí)譜估計(jì)的結(jié)果組成的矩陣為A=[α1,α2,…,αL]，基矩陣仍然為 Φ ，那么多快拍情形下聯(lián)合稀疏恢復(fù)的數(shù)學(xué)模型為：

其中，N 為觀測(cè)噪聲矩陣。求解該問(wèn)題的混合 l2,1范數(shù)優(yōu)化模型為：

其中混合l2,1范數(shù)為先對(duì)A的每一行求l2范數(shù)得到一個(gè)列向量，再對(duì)這個(gè)列向量求l1范數(shù)。對(duì)于稀疏恢復(fù)MMV問(wèn)題，基本的假設(shè)是：多個(gè)觀測(cè)向量xi來(lái)自同一個(gè)隨機(jī)過(guò)程；它們都在同一個(gè)基矩陣下呈現(xiàn)稀疏特性，且這些稀疏向量αi具有相同的支撐集(即顯著元素的位置)，并且顯著元素的幅度服從同一隨機(jī)分布。“不同快拍對(duì)應(yīng)的稀疏空時(shí)譜具有相同的支撐集”這一假設(shè)是多快拍聯(lián)合稀疏恢復(fù)能夠進(jìn)行的基本前提，在這個(gè)假設(shè)下，最小化混合l2,1范數(shù)的物理意義就很明顯：l2范數(shù)對(duì)稀疏向量本身的稀疏性并無(wú)影響，但可以通過(guò)l2范數(shù)將稀疏約束在不同快拍間互相增強(qiáng)，l1范數(shù)保證了稀疏性的約束。通過(guò)混合l2,1范數(shù)，多快拍中蘊(yùn)含的支撐集位置的信息被充分挖掘，提高了稀疏恢復(fù)估計(jì)支撐集位置的準(zhǔn)確度[17,18]。

可以證明，式(13)仍然是一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題，可以用凸優(yōu)化算法求解。在聯(lián)合稀疏恢復(fù)的結(jié)果A求得后，可以通過(guò)對(duì)行求l2范數(shù)獲得最終的稀疏譜估計(jì)。圖7展示了該方法在仿真數(shù)據(jù)下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖7 聯(lián)合稀疏恢復(fù)空時(shí)譜估計(jì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果[17]Fig.7 Space-time spectrum estimation with jointly sparse recovery[17]

對(duì)于混合 l2,1范數(shù)優(yōu)化問(wèn)題還可以做一步的研究，比如在空時(shí)譜估計(jì)問(wèn)題中該凸優(yōu)化問(wèn)題的針對(duì)性求解方法、多快拍情形下涉及陣列誤差和 offgrid問(wèn)題時(shí)的自適應(yīng)聯(lián)合稀疏恢復(fù)等。

2.4 共型陣問(wèn)題

共型陣(ConFormal Array,CFA)配置在飛機(jī)機(jī)身、機(jī)翼或機(jī)頭等部位，其形狀和所配置部位的機(jī)體形狀一致，具有載荷重量小、孔徑數(shù)大、觀測(cè)范圍廣等優(yōu)點(diǎn)，因此研究共型陣下的STAP方法也具有重要意義[19－21]。共型陣條件下，雜波空時(shí)譜中波達(dá)角和多普勒頻率不再成線性關(guān)系，并且隨著距離變化。因此利用檢測(cè)單元附近的訓(xùn)練樣本估計(jì)的雜波協(xié)方差矩陣和真實(shí)雜波協(xié)方差矩陣特性并不一致，導(dǎo)致自適應(yīng)濾波器的雜波抑制性能下降。針對(duì)隨距離變化的雜波場(chǎng)景，已經(jīng)有若干方法出現(xiàn)，其中基于距離配準(zhǔn)補(bǔ)償?shù)?RBC算法就是較有代表性的一種[22,23]。該方法首先估計(jì)機(jī)載雷達(dá)平臺(tái)的參數(shù)信息以及雜波場(chǎng)景的散射強(qiáng)度分布，然后設(shè)計(jì)變換矩陣以使得經(jīng)過(guò)處理后的訓(xùn)練樣本和檢測(cè)單元配準(zhǔn)。RBC算法可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)主瓣和旁瓣雜波的有效補(bǔ)償，但由于 RBC基于子孔徑做空時(shí)譜估計(jì)，因此性能受限，限制后續(xù)配準(zhǔn)處理的性能。

文獻(xiàn)[24,25]最早將稀疏恢復(fù)引入了共型陣列的STAP方法研究之中，提出了基于RBC算法和稀疏恢復(fù)的SR-RBC方法，將平臺(tái)參數(shù)估計(jì)和雜波估計(jì)統(tǒng)一在稀疏恢復(fù)環(huán)節(jié)中解決，并且該方法基于完整孔徑估計(jì)，沒(méi)有系統(tǒng)自由度(Degree Of Freedom,DOF)損失，譜估計(jì)性能較好，魯棒性也較高。

圖8 機(jī)載圓柱體共型陣列示意[10]Fig.8 Airborne cylindrical arrays[10]

SR-RBC方法建立在如下的基本共型陣模型上：如圖8所示，假設(shè)x,y和z軸分別代表正北、正西和垂直地球表面的方向；共型陣為圓柱形陣列，由M個(gè)圓形陣列環(huán)組成，圓環(huán)陣列和y軸垂直且均勻平行排列，每個(gè)圓形陣列中有N個(gè)均勻分布的陣元。對(duì)于地面上靜止的雜波散射源Q，其空間方位角和俯仰角分別為φ和θ，記為角度向量Ψ=[φ,θ]T，電磁波的方向向量記為k(Ψ)，那么空域?qū)б噶亢蜁r(shí)域?qū)б噶糠謩e為：

其中sm,n表示第m個(gè)陣列環(huán)的第n個(gè)陣元的方向向量，vp代表載機(jī)運(yùn)動(dòng)速度矢量，P為CPI內(nèi)相干脈沖數(shù)。那么，在不考慮距離模糊、陣列誤差的情況下，第 k個(gè)距離環(huán)的回波數(shù)據(jù)可以表示為：xk=。其中是第k個(gè)距離單元上第q個(gè)雜波散射源對(duì)應(yīng)的空時(shí)導(dǎo)引矢量，αq,k代表第k個(gè)距離單元上第q個(gè)雜波散射源的散射強(qiáng)度。需要注意的是，不同于正側(cè)視ULA陣列，在共型陣條件下，雜波散射源的空時(shí)導(dǎo)引矢量不僅與其所在方位角有關(guān)，而且和距離相關(guān)，同樣的方位角上不同距離環(huán)上的雜波散射源對(duì)應(yīng)的空時(shí)導(dǎo)引矢量也是不同的。所以，對(duì)于不同的距離單元k，需要構(gòu)造不同的超完備基矩陣kΦ。對(duì)于整個(gè)圓柱體陣列來(lái)講，其等效孔徑維度為NM，而CPI內(nèi)相干脈沖數(shù)為P，所以對(duì)多普勒頻率-波達(dá)角參數(shù)平面量化為 Ns=ρsNM,Nd=ρdP，量化之后的多普勒頻率-波達(dá)角對(duì)表示為(fi,φj)。那么，第k個(gè)距離單元的回波數(shù)據(jù)可用如式(14)方程表示：

在利用稀疏恢復(fù)方法得到高分辨的空時(shí)譜估計(jì)之后，和傳統(tǒng) RBC方法一樣，還可以進(jìn)一步設(shè)計(jì)變換矩陣，對(duì)不同距離單元的回波數(shù)據(jù)進(jìn)行距離配準(zhǔn)。傳統(tǒng) RBC方法通過(guò)子孔徑平滑獲得多個(gè)低維度的子孔徑，進(jìn)而利用 Capon等方法獲得頻譜估計(jì)，所以性能有一定的損失。傳統(tǒng) RBC方法采取提取頻譜主要分量估計(jì)平臺(tái)參數(shù)，進(jìn)而估計(jì)雜波散射源散射強(qiáng)度的方法。SR-RBC方法將空時(shí)譜估計(jì)和平臺(tái)參數(shù)估計(jì)結(jié)合在一起，并且空時(shí)譜估計(jì)是基于完整孔徑的，沒(méi)有系統(tǒng)自由度損失，譜估計(jì)性能更好。

圖9 SR-RBC空時(shí)譜估計(jì)性能[24]Fig.9 Perfoamance of space-time spectrum estimation with SR-RBC[24]

文獻(xiàn)[24]給出了非正側(cè)視共型陣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如圖9所示。圖中結(jié)果說(shuō)明，SR-RBC由于利用了全孔徑，可以得到分辨率更高、精度更高的譜估計(jì)。

圖10 SR-RBC改善因子性能[24]Fig.10 The improvement factor of SR-RBC[24]

圖10表明，在共型陣條件下，由于不同距離單元的雜波特性并不一致，傳統(tǒng)的LSMI算法估計(jì)的雜波凹口位置不準(zhǔn)，性能下降嚴(yán)重；RBC算法和SR-RBC算法都可以實(shí)現(xiàn)雜波脊線主瓣和旁瓣的配準(zhǔn)以及抑制，但由于 RBC的平臺(tái)參數(shù)和雜波特性估計(jì)都是基于子孔徑的，所以有一定的性能損失。而SR-RBC算法是基于全孔徑的，沒(méi)有孔徑損失，并且是直接基于快拍數(shù)據(jù)的估計(jì)。總體來(lái)看，在共型陣條件下，由于不同距離單元的雜波特性完全不同，因此基于稀疏恢復(fù)的STAP方法具有巨大的優(yōu)勢(shì)和潛力。共型陣的具體形式多種多樣，針對(duì)不同的共型陣形式開(kāi)展基于稀疏恢復(fù)的STAP方法的針對(duì)性研究也是很有意義的。

2.5 直接數(shù)據(jù)域SR-STAP

前面所介紹的空時(shí)譜估計(jì)-濾波器結(jié)構(gòu)的 SRSTAP方法都是基于訓(xùn)練樣本的，即對(duì)雜波特性的估計(jì)是基于檢測(cè)單元鄰近距離單元的訓(xùn)練樣本完成的。在雜波極度非均勻、非正側(cè)視陣列、共型陣列等條件下，訓(xùn)練樣本的雜波特性和檢測(cè)單元的雜波特性會(huì)有較大差別，因此基于訓(xùn)練樣本的STAP方法總是面臨著檢測(cè)單元雜波特性難以精準(zhǔn)估計(jì)的問(wèn)題。為此，人們提出了基于檢測(cè)單元采樣數(shù)據(jù)對(duì)檢測(cè)單元本身的雜波特性進(jìn)行估計(jì)的方法，這就是直接數(shù)據(jù)域STAP方法[26,27]。

經(jīng)典的直接數(shù)據(jù)域方法一般采用滑動(dòng)子孔徑方法。比如D3LS方法[26,28]，假設(shè)在正側(cè)視ULA陣列下，陣元數(shù)和一個(gè) CPI內(nèi)的相干脈沖數(shù)分別為 N和M，并且假設(shè)關(guān)心的目標(biāo)的多普勒頻率和角度的大致位置已知(在實(shí)際中這一點(diǎn)是可能實(shí)現(xiàn)的，可以根據(jù)其他傳感器預(yù)先獲知感興趣目標(biāo)的大致位置)，D3LS方法選擇一個(gè)小于原始孔徑維度的子孔徑，沿著采樣空時(shí)快拍數(shù)據(jù)矩陣滑動(dòng)處理，對(duì)目標(biāo)所在的多普勒頻率-波達(dá)角，在相鄰的兩個(gè)子孔徑間對(duì)消，然后將子孔徑樣本進(jìn)行合成處理，進(jìn)而獲得自適應(yīng)濾波器。D3LS方法雖然可以在一定程度上消除潛在目標(biāo)的影響，獲得不含潛在目標(biāo)的雜波特性的估計(jì)，但這是以犧牲孔徑維度為代價(jià)的，子孔徑的維度小于原始孔徑維度，導(dǎo)致分辨能力下降，對(duì)雜波特性的估計(jì)精度下降。

針對(duì)D3LS方法的不足，文獻(xiàn)[29]提出了基于稀疏恢復(fù)的直接數(shù)據(jù)域STAP方法，稱(chēng)作D3SR方法。該方法假設(shè)陣列為非正側(cè)視ULA陣列(正側(cè)視只是非正側(cè)視的一個(gè)特例，該方法仍然適用)，并且假設(shè)感興趣目標(biāo)所在空時(shí)平面上的區(qū)域(SOI)已知。在非正側(cè)視情形下，雜波空時(shí)譜為一系列的橢圓脊線，并且不同距離環(huán)上的橢圓雜波脊線并不重合。

D3SR方法首先利用稀疏恢復(fù)對(duì)檢測(cè)單元做高分辨的空時(shí)譜估計(jì)，假設(shè)檢測(cè)單元采樣數(shù)據(jù)為x，和基于訓(xùn)練樣本的譜估計(jì)-濾波器結(jié)構(gòu)SR-STAP方法一樣，用空時(shí)導(dǎo)引矢量構(gòu)造超完備基矩陣Φ，那么，對(duì)向量化的空時(shí)譜α的估計(jì)就轉(zhuǎn)化為求解如式(15)所示的欠定方程：

理論和實(shí)驗(yàn)都表明，在非正側(cè)視情形下，雜波在空時(shí)平面上表現(xiàn)為一系列的橢圓脊線(正側(cè)視情形下退化為線性關(guān)系)，雜波顯著分量在空時(shí)平面上占據(jù)的比例很小，所以雜波的空時(shí)譜α滿足稀疏性，方程式(15)可以使用稀疏恢復(fù)的方法求解。在文獻(xiàn)[29]所提的 D3SR方法中，使用了一種針對(duì)該方法進(jìn)行修正和改進(jìn)的 FOCUSS算法來(lái)求解該稀疏恢復(fù)問(wèn)題，具體過(guò)程在這里不詳述。

直接從檢測(cè)單元得到的高分辨的空時(shí)譜估計(jì)準(zhǔn)確反映了檢測(cè)單元的雜波特性，比使用鄰近距離單元訓(xùn)練樣本得到的空時(shí)譜估計(jì)可信度更高。由于一般情況下信雜比較低，目標(biāo)被雜波所淹沒(méi)，很難直接提取出來(lái)，所以直接在檢測(cè)單元空時(shí)譜估計(jì)上做檢測(cè)的想法并不十分可行。D3SR方法采取了利用空時(shí)譜估計(jì)構(gòu)造自適應(yīng)濾波器的方法。由于空時(shí)譜估計(jì)中可能包含潛在目標(biāo)，所以如果直接用該空時(shí)譜來(lái)估計(jì)雜波協(xié)方差矩陣，很可能在自適應(yīng)濾波的時(shí)候?qū)⒛繕?biāo)也抵消掉。為了避免這種情況發(fā)生，必須使用潛在目標(biāo)空時(shí)位置的先驗(yàn)信息。假設(shè)我們已經(jīng)從先驗(yàn)信息中獲得目標(biāo) SOI區(qū)域的大致估計(jì)Γ(θs,fd)，那么，我們使用去除了區(qū)域Γ的空時(shí)譜分量來(lái)估計(jì)雜波協(xié)方差矩陣：

圖11展示了在非正側(cè)視情形下D3SR方法與D3LS方法的性能對(duì)比，可以看到，D3SR方法由于利用了全孔徑，空時(shí)譜估計(jì)性能更佳，所以構(gòu)造的自適應(yīng)濾波器性能也更優(yōu)。濾波之后空時(shí)平面的輸出中，雜波脊線已經(jīng)基本被完全消除(圖11(b))，而D3LS方法由于利用子孔徑滑動(dòng)導(dǎo)致譜估計(jì)性能的損失，其濾波輸出中雜波分量還有明顯殘余(圖11(a))。距離維的濾波輸出和改善因子也證明了D3SR方法的優(yōu)勢(shì)。

D3SR方法不需要訓(xùn)練樣本即可有效估計(jì)檢測(cè)單元的雜波特性，有效避免了訓(xùn)練樣本和檢測(cè)單元失配的影響，在雜波環(huán)境劇烈變化或非正側(cè)視情形下具有明顯優(yōu)勢(shì)和很好的應(yīng)用潛力。直接數(shù)據(jù)域SR-STAP中還涉及到一些問(wèn)題，例如獲得潛在目標(biāo)區(qū)域先驗(yàn)信息的有效方法、D3SR方法潛在的快速算法等，都值得進(jìn)一步深入研究。

3 有待進(jìn)一步研究的問(wèn)題

從信號(hào)處理結(jié)構(gòu)的角度，如果把STAP方法看作一個(gè)系統(tǒng)，其輸入是空時(shí)2維的觀測(cè)數(shù)據(jù)，其輸出是濾波之后的空時(shí) 2維頻譜(或主波束方向的多普勒頻譜)，通過(guò)深入分析 STAP技術(shù)的本質(zhì)和算法流程，挖掘其中可以被化歸成和稀疏恢復(fù)相關(guān)的環(huán)節(jié)和步驟，可以形成不同的基于稀疏恢復(fù)的STAP技術(shù)。

從應(yīng)用場(chǎng)景的角度，STAP技術(shù)應(yīng)用的場(chǎng)景主要可以分為線性均勻陣列(ULA)和非ULA兩大類(lèi)，ULA中又可以分為正側(cè)視ULA和非正側(cè)視ULA，非 ULA陣列主要是指共型陣。根據(jù)不同的工程應(yīng)用場(chǎng)景，STAP方法本身會(huì)有不同，相應(yīng)的稀疏恢復(fù)STAP方法也會(huì)有區(qū)別。

表1列出了基于稀疏恢復(fù)的STAP方法這一問(wèn)題的框架和結(jié)構(gòu)，從信號(hào)處理結(jié)構(gòu)和應(yīng)用場(chǎng)景兩個(gè)角度進(jìn)行了劃分，其中有些問(wèn)題是已經(jīng)有學(xué)者研究過(guò)并給出了系統(tǒng)的結(jié)論，在表1中用打鉤的方式進(jìn)行了標(biāo)注，并且前文已經(jīng)進(jìn)行了綜述；而空白處的相關(guān)問(wèn)題尚未見(jiàn)到相關(guān)成果發(fā)表。

圖11 非正側(cè)視情形下D3LS與D3SR性能對(duì)比[29]Fig.11 Performance comparison between D3LS and D3SR in non side-looking case[29]

從表1可以看出，目前基于稀疏恢復(fù)的STAP方法的研究大部分都集中在正側(cè)視 ULA陣列情形下，對(duì)于非正側(cè)視 ULA陣列以及共型陣列的情形則只有較少的研究成果發(fā)表。在實(shí)際工程應(yīng)用場(chǎng)景中，非正側(cè)視 ULA陣列以及共型陣相關(guān)的問(wèn)題有很高的應(yīng)用價(jià)值，對(duì)于在這些場(chǎng)景下引入稀疏恢復(fù)之后的STAP方法的研究，具有重要意義。在非正側(cè)視ULA以及共型陣情形下，雜波空時(shí)譜的稀疏性仍然滿足，所以空時(shí)譜估計(jì)-濾波器結(jié)構(gòu)的 SRSTAP的基本思想仍然適用，但是涉及到的其他一些具體問(wèn)題仍有待進(jìn)一步深入研究。在非正側(cè)視陣列情形下，off-grid、陣列誤差[30]，理想MMV，非理想MMV，降維/降秩等問(wèn)題仍然存在。

表1 基于稀疏恢復(fù)的STAP技術(shù)的問(wèn)題結(jié)構(gòu)Tab.1 The structure of sparse recovery based STAP technology

現(xiàn)有的稀疏恢復(fù)STAP技術(shù)建立在雜波空時(shí)譜稀疏性的基礎(chǔ)上，基于已有的常規(guī)信號(hào)觀測(cè)結(jié)構(gòu)。但從壓縮感知與稀疏恢復(fù)的理論角度，完整的壓縮感知和稀疏恢復(fù)過(guò)程應(yīng)該包括這樣兩個(gè)環(huán)節(jié)：由經(jīng)過(guò)設(shè)計(jì)的特定觀測(cè)結(jié)構(gòu)對(duì)稀疏信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣和對(duì)壓縮觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行稀疏恢復(fù)。所以，如果能夠從壓縮感知理論出發(fā)，設(shè)計(jì)特定的信號(hào)觀測(cè)結(jié)構(gòu)，保證壓縮感知理論對(duì)觀測(cè)矩陣的要求，并進(jìn)一步在STAP處理環(huán)節(jié)采取相應(yīng)的稀疏恢復(fù)方法，那么整個(gè)信號(hào)的觀測(cè)和處理流程就會(huì)更加完善，處理性能也有望得到提升。

4 總結(jié)與展望

本文對(duì)基于稀疏恢復(fù)的STAP技術(shù)的已有研究成果進(jìn)行了綜述。首先介紹了基于空時(shí)譜稀疏性的譜估計(jì)-濾波器結(jié)構(gòu)SR-STAP方法，然后對(duì)這一框架下的若干具體問(wèn)題及最新研究成果進(jìn)行了介紹，最后對(duì)其他潛在的研究方向進(jìn)行了討論。

壓縮感知與稀疏恢復(fù)是信號(hào)處理領(lǐng)域近年來(lái)一個(gè)十分重要的研究方向。將其應(yīng)用于STAP技術(shù)既是對(duì)自適應(yīng)處理理論的擴(kuò)充，在實(shí)際工程應(yīng)用上也具有很高的價(jià)值。目前的研究現(xiàn)狀表明，這一問(wèn)題的研究尚處在起步階段，在理論研究和工程應(yīng)用上都有很多工作需要開(kāi)展。希望本文能夠給對(duì)這一研究方向感興趣的讀者提供參考和啟發(fā)。

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