向量中立型拋物Robin邊值問題的振動性分析

羅李平

（衡陽師范學院 數學與計算科學系，湖南 衡陽 421002）

0 引 言

1970年，Domslak［1］在研究向量微分方程時首次引入了H－振動性的概念，其中H是一個單位向量。H－振動性的概念是研究向量微分方程的新的有力工具。關于這一概念及其應用，1996年Courant和Hilbert在文［2］中作了很好的闡述。最近，一些學者把H－振動性的概念運用于（脈沖）向量偏微分方程的H－振動性研究上，也取得了一些很好的研究成果［3－10］。本文將考慮如下的一類向量中立型拋物邊值問題。

解的H－振動性問題，其中U（x，t）∈C2（Ω×［t0，∞），Rm）是向量函數，Ω是Rn中具有逐片光滑邊界的有界域，Δ是Rn中的n維Laplacian算子，R＋＝［0，∞）。同時考慮Robin邊值條件：

其中0是Rm中的零向量，N 是?Ω的單位外法向量，α（x），β（x）∈C（?Ω，（0，∞））.

在本文中，我們總假設下列條件成立：

定義1 向量函數U（x，t）∈C2（Ω×［t0，∞），Rm）稱為邊值問題（1），（2）的解，若U（x，t）在G上滿足方程（1）及在?Ω×R＋上滿足邊界條件（2）。

定義2 邊值問題（1），（2）的解U（x，t）稱為在G內H－振動，若對Rm中的單位向量H 及任意大的T≥0，存在一點 （x0，t0）∈ Ω×［T，∞），使得內積 ＜U（x0，t0），H ＞＝0。

1 主要結果及其證明

為了討論邊值問題（1），（2）的H－振動性，我們在Ω上考慮Robin特征值問題：

令λ0是問題（3）的第一特征值，則據文獻［11］知，λ0＞0，且?x∈Ω，其相應的特征函數φ（x）＞0。

為敘述方便，在本文中引入如下記號：

定理1 設（H1）－（H2）成立，U（x，t）是方程（1）的解。若UH（x，t）最終為正，則UH（x，t）滿足純量雙曲型偏微分不等式

證明 設UH（x，t）最終為正。將方程（1）兩邊與H作內積，由內積性質可得

注意到（H2），我們有

利用Schwarz不等式，我們可得

注意到g（ξ）非減，由（7）－（8），我們有

于是聯合（6）和（9），即得（4），亦即UH（x，t）滿足（4）。

若UH（x，t）最終為負，易知

用－1乘（6），利用（10）可知VH（x，t）＝－UH（x，t）滿足（5）。證畢。

相應于邊值條件（2），考慮純量邊值條件：

定理2 設（H1）－（H2）成立。若純量雙曲型偏微分不等式

在邊值條件 （2′）下無最終正解，則邊值問題（1），（2）的任意解U（x，t）在G內H－振動。

證明 設邊值問題（1），（2）在G內存在非 H－振動解U（x，t）。若UH（x，t）最終為正，則由定理1可知，UH（x，t）滿足 （11）＋，且易知UH（x，t）滿足邊值條件 （2′），此與題設矛盾。若UH（x，t）最終為負，則VH（x，t）＝－UH（x，t）是滿足 （11）－ 和邊值條件 （2′）的最終正解，同樣與題設矛盾。證畢。

定理3 設（H1）－（H3）成立，其中

若泛函微分不等式

無最終正解，則邊值問題（1），（2）的任意解U（x，t）在G內 H－振動，其中λ0由問題（3）確定。

證明 設邊值問題（1），（2）在G內存在非 H－振動解U（x，t）。若UH（x，t）最終為正，（x，t）∈Ω×［T，∞），T≥0，我們用c～φ（x）乘（4），并在區域Ω上關于x積分，得

由Green公式及邊界條件（2′），我們有

類似地有

利用Jensen不等式，我們有

此示W（t）是不等式（12）＋的一個最終正解，而這與定理2的題設矛盾。

若UH（x，t）最終為負，（x，t）∈Ω×［T，∞），T≥0，令VH（x，t）＝－UH（x，t），類似于上面的過程，結合（12）－，同樣可以得到矛盾。證畢。

定理4 設（H1）－（H3）成立。若對充分大的T，有

則邊值問題（1），（2）的任意解U（x，t）在G內 H－振動。

證明 設邊值問題（1），（2）在G內存在非 H－振動解U（x，t）。若UH（x，t）最終為正，（x，t）∈Ω×［T，∞），T≥0，則由定理3的證明可知，微分不等式

在區間 ［T，t］上對（19）積分，可得

若UH（x，t）最終為負，（x，t）∈Ω×［T，∞），T≥0，令VH（x，t）＝－UH（x，t），類似于上面的過程，結合條件（18），同樣可以得到矛盾。證畢。

［1］Domslak Ju I.On the oscillation of solutions of vector differential equations［J］.Soviet Math.Dokl.，1970，11：839－841.

［2］Courant R，Hilbert D.Methods of Mathematical Physics，Vol.I［M］.New York：Interscience，1996.

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［5］羅李平.具連續分布滯量的中立型向量拋物偏泛函微分方程的 H－振動性［J］.數學的實踐與認識，2008，38（11）：158－162.

［6］羅李平，楊柳.具連續偏差變元的中立型向量拋物偏微分方程的 H－振動性［J］.純粹數學與應用數學，2009，25（4）：801－806.

［7］Li W N，Han M A.Oscillation of solutions for certain impulsive vector parabolic differential equations with delays［J］.J.Math.Anal.Appl.，2007，326（1）：363－371.

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［11］葉其孝，李正元.反應擴散方程引論［M］.北京：科學出版社，1990：135.