有心力場中質(zhì)點軌道方程求解問題的討論

陸世專，游開明，汪新文，戴志平，楊 輝

（衡陽師范學(xué)院 物理與電子信息科學(xué)系，湖南 衡陽 421002）

0 引 言

在自然界中有一類很重要的運動，例如行星繞太陽運動、電子繞原子核的運動等。這類運動物體受到的力始終指向一個中心點，可以把這類運動抽象為質(zhì)點在有心力場中的運動問題。一些力學(xué)教程以及一些文獻對質(zhì)點在有心力場中運動的問題進行了分析討論。在一般的力學(xué)教程中，推導(dǎo)了平方反比引力作用下質(zhì)點的軌道方程［1－2］。文獻［3］根據(jù)動量定理和角動量定理，用一種新的方法推導(dǎo)了受平方反比引力的質(zhì)點的軌道方程。另外也有文獻就質(zhì)點軌道的穩(wěn)定性進行了分析討論［4－6］。本文介紹用正則方程求解質(zhì)點軌道方程的方法，推導(dǎo)受平方反比引力作用的質(zhì)點的角動量守恒定律和機械能守恒定律，然后根據(jù)守恒定律解得軌道方程。另外還介紹了用比耐公式求解軌道方程的方法，并用E和h確定求解過程中產(chǎn)生的積分常數(shù)。

1 用正則方程求解質(zhì)點的軌道方程

選力心為坐標(biāo)原點，建立球坐標(biāo)系。選取無窮遠(yuǎn)處為勢能零點，則運動質(zhì)點在r處的勢能為

其中m為運動質(zhì)點的質(zhì)量。在球坐標(biāo)系中，質(zhì)點的動能可以表示為

所以，拉格朗日函數(shù)為

選取球坐標(biāo)變量r，θ，φ為廣義坐標(biāo)，則其對應(yīng)的廣義動量為

則體系的哈密頓函數(shù)為

根據(jù)正則方程可得

由（6c）式可知，pφ＝c＝常數(shù)。由（6a）式及（4）式可得

由（6b）式及（4）式可得

因（7）式和（8）式都不含φ，故知質(zhì)點在一平面內(nèi)運動。若令質(zhì)點運動平面為φ＝0的平面，則φ·＝0，c＝0。于是（7）式和（8）式可以簡化為

由（10）式可知，系統(tǒng)的角動量守恒，可令

第（9）式可化為

即系統(tǒng)的機械能守恒。令

利用（11）式和（13）式可以求解質(zhì)點的軌道方程。作如下變換

將（11）式、（14）代入（13）式有

若選取極軸通過近日點，求解（15）式可得質(zhì)點的軌道方程為

2 用比耐公式求解質(zhì)點的軌道方程

以力心為坐標(biāo)原點，在質(zhì)點的運動平面建立極坐標(biāo)（r，θ）。從比耐公式出發(fā)進行軌道方程的求解，比耐公式可以寫為

即

兩邊同時積分可得

式中C為積分常數(shù)。下面確定積分常數(shù)C，因為

解得

即

將上式代入（23）式得

這樣我們用與角動量、能量有關(guān)的恒量確定了積分常數(shù)。

令積分常數(shù)C＝A2，有

即

分離變量，得

正負(fù)號積分后可以得到正弦和余弦函數(shù)表示的結(jié)果，兩者本質(zhì)上是一樣的，只是相位相差π／2。習(xí)慣上都用余弦函數(shù)表示結(jié)果，所以積分后得：

θ0為積分常數(shù)。所以

故

因此

如果把極軸轉(zhuǎn)動一個角度，使極軸通過近日點，可使θ0＝0，即

這樣解得的軌道方程與前面的方法解得的結(jié)果完全一致。

通過對一個問題應(yīng)用不同的處理方法，能使學(xué)生對此問題融匯貫通，這樣對普通力學(xué)與理論力學(xué)知識的理解就更為深刻。

［1］曾錫濱，曾玫紅，游開明.力學(xué)與理論力學(xué)［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2012：74－77.

［2］周衍柏.理論力學(xué)教程［M］.北京：高等教育出版社，1985：70－74.

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［5］謝善娟.有心力場中運動軌道的穩(wěn)定性［J］.寧德師專學(xué)報，2005，17（1）：6－7.

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