壓電陶瓷驅動器遲滯建模與控制研究

姜 剛 葛尊彪

（蘇州大學機電工程學院，江蘇 蘇州215021）

0 引言

壓電陶瓷驅動器具有體積小、位移分辨率高、頻響高、無噪聲、不發熱等優點，是一種理想的微位移元件，廣泛應用在超精密驅動、定位和控制系統中。但是，壓電陶瓷具有遲滯非線性，影響定位精度，給系統控制帶來了困難［1］。要減小壓電陶瓷的遲滯非線性影響，主要可從壓電陶瓷的內部機理、遲滯建模、控制方法和驅動方式等幾個方面采取措施［2］。其中，對壓電陶瓷進行遲滯建模并設計控制算法是減小遲滯的一個有效途徑。針對壓電陶瓷驅動器的遲滯現象，本文采用Prandtl－Ishlinskii算子建立遲滯模型及其逆模型，并采用自適應逆控制算法構建控制系統，對壓電陶瓷進行了實驗研究。

1 遲滯模型的建立

1.1 遲滯模型的特點

壓電陶瓷的遲滯特性是指壓電陶瓷的升壓曲線和降壓曲線不重合，之間存在位移差。壓電陶瓷的遲滯非線性屬于非局部存儲型遲滯非線性，是壓電陶瓷固有的特性。其主要特點為系統下一時刻的輸出不僅取決于當前時刻的輸入和輸出，還取決于輸入的歷史。壓電陶瓷的遲滯環是不對稱的，即上升軌跡和下降軌跡之間沒有對稱軸。如圖1所示，在某一輸入驅動電壓范圍［U0，Un］內，最外部的遲滯曲線稱為主遲滯環，其內部的遲滯曲線稱為小遲滯環，對于 U∈［U0，Un］，其遲滯曲線變化均在主遲滯環以內。它具有如下性質：在A點轉換方向的任意遲滯曲線由該點輸入和輸出值唯一確定；遲滯曲線C1上的任意點B變成新的轉折點，則從B點出發的曲線C2一定返回A點；曲線C2達到A點，其下一步的變化與主遲滯曲線C重合；通過非轉折點D的多條曲線的變化趨勢由相關的輸入歷史唯一確定；每個遲滯環曲線之間具有一定的相似性。

圖1 壓電陶瓷遲滯特性示意圖

1.2 建立模型

比較理想的遲滯數學模型應符合以下條件：數學描述簡單，模型參數較少；模型參數容易辨識，對輸入、輸出數據及未知誤差的變化反應不靈敏，具有一定的魯棒性；存在遲滯逆模型，并容易獲得；模型能夠精確描述遲滯現象。基于上述建立壓電陶瓷遲滯模型的基本要求，采用Prandtl－Ishlinskii遲滯算子建立遲滯模型，該遲滯模型由許多通過加權疊加的基本遲滯算子組成，這些基本遲滯算子通過一個或多個參數的不同來區別。Prandtl－Ishlinskii遲滯算子可以表示為：

式中，x（t）和y（t）分別為系統的輸入和輸出信號；x（t0）和y（t0）為遲滯算子初始值；r為遲滯算子的閾值。

系統輸出信號y（t）由系統初始狀態z（t0）＝［x（t0），y（t0）］和系統輸入信號決定。有著不同閾值r的多個基本遲滯算子通過加權疊加，可以精確描述遲滯現象。圖2表示了Prandtl－Ishlinskii遲滯算子變換特性。

圖2 Prandtl－Ishlinskii遲滯算子特性

Prandtl－Ishlinskii遲滯算子 Hr［x］（t）可以進一步表示為：

為實時計算彌補信號，必須用到數字信號處理，所以必須推導出一個在時間上離散的算子模型。離散遲滯算子可由式（2）得到：

且滿足初值 pr［x］（t0）＝max｛x（t0），min｛x（t0）＋r，y（t0）｝｝。

具有不同閾值的多個Prandtl－Ishlinskii遲滯算子加權疊加就可以用來描述復雜的遲滯數學模型：

其中，ωi是遲滯算子權值向量，Z0是模型的初始狀態向量。由于基本的Prandtl－Ishlinskii遲滯算子具有連續性，任何復雜的遲滯特性都可由有限數目的基本算子來建立足夠精確的模型。

由Prandtl－Ishlinskii遲滯模型可以得到遲滯逆模型：

式中，W′、r′、Z′0分別是與遲滯模型相對應的權值向量、閾值向量和初始狀態向量。

2 控制算法設計

對壓電陶瓷進行遲滯建模并設計控制算法是減小遲滯的一個有效途徑。自適應逆控制的核心部分是被控制對象的模型和逆模型的自適應調整過程。最小均方誤差（L MS）算法簡單且收斂速度快，所以采用L MS算法。L MS算法的誤差必須是針對對象輸入的，也就是針對自適應控制器輸出的。為了利用L MS算法及其高速自適應過程，提出圖3所示的一個實用的自適應逆控制系統。通過用來自系統輸出與遲滯模型輸出的誤差直接對遲滯模型進行自適應調節，應用自適應L MS辨識方法獲得遲滯模型H，然后求得遲滯逆模型H－1，一旦遲滯逆模型得到就可以用一個完全的數字復制作為對象的控制器。

圖3 自適應逆控制系統

L MS算法權值向量更新的表達式為：

其中，ek＝Yk－。Yk為系統實際輸出為遲滯模型輸出；標量參數μ是收斂因子。當偏差ek足夠小時，將獲得權值向量，進而獲得遲滯模型。

3 跟蹤控制實驗

為了驗證自適應逆控制算法和所建立的遲滯模型以及逆模型的正確性，建立如圖4所示實驗系統進行研究。在該實驗系統中，采用哈工大博實精密公司生產的NANO－50C型一維精密定位工作臺；采用德國PI公司P－830.40型壓電陶瓷驅動器作為執行元件，最大行程60μm；采用哈工大博實精密公司生產的HPV型高性能壓電陶瓷驅動電源，輸出電壓范圍0～120 V，輸出紋波小于5 mV；采用德國SIOS公司AE SP 500E型激光測微儀作為傳感器，測量范圍0～500 mm，分辨率1.3 n m；采用ADLINK公司的9118 HR卡來實現數據采集及模擬輸出的功能。

圖4 微定位控制系統原理圖

在該實驗中，采用Visual C＋＋編程。計算機輸出數字信號，經D／A轉換成模擬信號，并經壓電陶瓷驅動電源放大后作用于壓電陶瓷驅動器，壓電陶瓷驅動器驅動微動平臺運動，位移傳感器檢測到位移信號后經A／D轉換成數字信號返回計算機。實驗結果如下所示，圖5為輸入的建模信號，是一組幅值變化的三角波。圖6為初始狀態的系統輸出，圖7為采用自適應逆控制算法后的系統輸出。可以看出，壓電陶瓷的遲滯非線性明顯減小，系統的輸出非線性誤差從±17.7%下降到±1.43%，系統性能顯著提高。

圖5 輸入的建模信號

圖6 初始狀態的系統輸出

圖7 采用自適應逆控制算法后的系統輸出

4 結語

本文針對壓電陶瓷的自身遲滯非線性問題，基于Prandtl－Ishlinskii遲滯算子建立壓電陶瓷遲滯模型及其逆模型，采用自適應逆控制算法，搭建實驗系統進行了控制研究。PI遲滯模型具有模型簡單、運算量小、擬合精度高且逆模型容易求取等優點。實驗結果表明，采用自適應逆控制算法，壓電陶瓷的遲滯非線性顯著降低，從而證明了所提出的建模方法及控制算法的正確性。

［1］王希華，郭書祥，汝長海，等.基于壓電陶瓷遲滯非線性的建模方法［J］.哈爾濱工程大學學報，2010（1）

［2］汝長海.壓電陶瓷驅動器極化模型及控制方法的研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工業大學，2005