數(shù)學(xué)邊際量在經(jīng)濟(jì)決策中的一些應(yīng)用

陳學(xué)松

數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)性的學(xué)科，它的應(yīng)用是廣泛的，可以說它是支撐現(xiàn)代科學(xué)的骨架，其他的學(xué)科領(lǐng)域等等都是往此骨架中填充血肉.而作為一門相對年輕的學(xué)科-經(jīng)濟(jì)學(xué)，它也是以數(shù)學(xué)的一些基本假設(shè)、基本結(jié)論、基本方法為基礎(chǔ)的學(xué)科.在此，主要討論數(shù)學(xué)邊際量在經(jīng)濟(jì)決策中的一些應(yīng)用.

考慮兩個(gè)變量x，y以及兩者間函數(shù)關(guān)系y=f（x）.給定x的增量Δx，y相應(yīng)變化Δy，則比值ΔyΔx稱為變量y相對于變量x的邊際量，即x變化一個(gè)單位

時(shí)y變化的大小.

一、考慮邊際量的必要性

1.邊際量有助于社會(huì)資源的配置

社會(huì)資源由于社會(huì)資源是稀缺的，其管理就顯得尤為重要.稀缺性（scarcity）是指社會(huì)擁有的資源是有限的，因此不能生產(chǎn)人們希望所擁有的物品與勞務(wù).

經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的就是如何管理自己的稀缺資源.在大多數(shù)社會(huì)中，資源是通過千百萬家庭和企業(yè)共同配置的.因此，經(jīng)濟(jì)學(xué)家研究人們?nèi)绾巫龀鰶Q策，他們做多少工作，購買什么，儲(chǔ)蓄多少，以至怎樣把儲(chǔ)蓄用于投資.在這些方面，數(shù)學(xué)邊際量都扮演著十分重要的角色.

從社會(huì)角度出發(fā)，社會(huì)面臨著效率與平等的權(quán)衡取舍.效率（efficiency）是指社會(huì)能以其稀缺資源中得到的最大利益.平等（equality）是指將這些資源的成果平均地分配給社會(huì)成員.

比如說，在生產(chǎn)技術(shù)既定，可得到的生產(chǎn)要素是一定時(shí)，生產(chǎn)者或者說廠商就面臨著如何分配生產(chǎn)要素的選擇.可以構(gòu)建一個(gè)數(shù)學(xué)模型：生產(chǎn)可能性邊界.在這條曲線上的生產(chǎn)都是有效率的，但從社會(huì)總體角度考慮時(shí)，在考慮到邊界關(guān)系時(shí)，仍然存在一個(gè)最佳的選擇.

經(jīng)濟(jì)學(xué)家通常假設(shè)人是理性的.在機(jī)會(huì)成本為既定的條件下，理性人系統(tǒng)而有目的地盡最大努力去實(shí)現(xiàn)其目的.比如說生產(chǎn)者，為實(shí)現(xiàn)利潤最大化，它們要決定雇傭多少工人和制造并出售多少產(chǎn)品；抑或是個(gè)人，他們要決定把多少時(shí)間用于工作，并用賺到的錢購買什么物品與勞務(wù)，以便獲得最大可能的滿足.

理性人知道，生活的許多決策很少是黑與白的選擇，而往往是介于其間.經(jīng)濟(jì)學(xué)家用邊際變動(dòng)（marginal change）這個(gè)術(shù)語來描述對現(xiàn)有行動(dòng)計(jì)劃的微小增量調(diào)整，也就是對數(shù)學(xué)邊際量的考查.理性人通常通過比較邊際收益（marginal revenue）與邊際成本（marginal cost）來做出決策.

2.邊際量有助于解釋一些經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象

比較經(jīng)典的：為什么水這么便宜，而鉆石如此昂貴？人需要水來維持生存，而鉆石并不是不可或缺的；但由于某種原因，人們愿意為鉆石支付的錢要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于水.原因在于一個(gè)人對任何一種物品的支付意愿都基于其邊際利益，即物品產(chǎn)生的額外利益.反過來，邊際收益又取決于一個(gè)人擁有多少這種物品.水是不可或缺的，但增加一杯水的邊際利益是微不足道的，因?yàn)樗嗔耍c此相反，并沒有一個(gè)人需要用鉆石來維持生存，但由于鉆石太少，人們認(rèn)為增加一單位鉆石的邊際利益是很大的.

當(dāng)且僅當(dāng)一種行為的邊際收益大于邊際成本時(shí)，一個(gè)理性決策者會(huì)采取這種行為.

我們?nèi)绾螒?yīng)用數(shù)學(xué)邊際量？

二、數(shù)學(xué)邊際量在經(jīng)濟(jì)決策中的一些應(yīng)用

以下分別就消費(fèi)者和生產(chǎn)者進(jìn)行討論分析.

1.在消費(fèi)者行為中的應(yīng)用

消費(fèi)者購買一種物品或勞務(wù)都是為了滿足某些需要或需求，但是又會(huì)收到自身可支配收入的限制.如何使自己的滿足程度達(dá)到最大，又不超出可支配收入的范圍.這時(shí)，理性的人就會(huì)考慮到數(shù)學(xué)邊際量.

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，經(jīng)濟(jì)學(xué)家用效用來衡量商品對于人的滿足程度.現(xiàn)在的學(xué)術(shù)界占主流的是序數(shù)效用論，也就是將個(gè)人的喜好進(jìn)行排序.比如說有可樂讓你選擇，你最喜歡可口可樂，然后是百事可樂，接著才是娃哈哈的可樂.即用第一、第二等等來衡量商品對于消費(fèi)者的滿足程度.序數(shù)效用論者用無差異曲線分析方法來考查消費(fèi)者的行為.序數(shù)效用論者認(rèn)為，商品給消費(fèi)者帶來的效用大小，應(yīng)用順序或等級(jí)來表示.為此，序數(shù)效用論者提出了消費(fèi)者偏好的概念，就是愛好或喜歡的意思.

序數(shù)效用論者認(rèn)為，對于多種不同的組合，消費(fèi)者的偏好程度是有差別的，正是這種偏好程度的差別，反映了消費(fèi)者對這些不同的商品組合的效用水平的評價(jià).為此，引入無差異曲線，它是用來表示消費(fèi)者偏好相同的兩種商品的所有組合.或者說，它是表示能夠給消費(fèi)者帶來相同的效用水平或滿足程度的兩種商品的所有組合.

在此，我們可以引入效用函數(shù)以表示某一商品的組合給消費(fèi)者所帶來的效用水平.u=f（x1，x2），x1，x2 分別為兩種商品的數(shù)量，u為效用水平.

在維持效用水平不變的前提下，消費(fèi)者增加一單位某種商品的消費(fèi)數(shù)量時(shí)所要放棄的另一種商品的數(shù)量，被稱為商品的邊際替代率，記為MRS12.即增加一單位1所放棄的2的單位數(shù).

消費(fèi)的決策要達(dá)到最好的效果及目的，必須滿足兩個(gè)條件：第一，最優(yōu)的商品購買組合必須是消費(fèi)者最偏好的組合.也就是說最優(yōu)的商品購買組合必須是能夠給消費(fèi)者帶來最大效用的商品組合.第二，最優(yōu)的商品購買組合必須位于給定的預(yù)算線上.

2.在生產(chǎn)者行為中的應(yīng)用

作為生產(chǎn)者，通常情況下，都是以追求最大利潤為目的的.

當(dāng)生產(chǎn)者面臨著兩種或多種生產(chǎn)要素的搭配組合時(shí)，同時(shí)有一定的約束條件下，他們的選擇將是盡可能使產(chǎn)品產(chǎn)量達(dá)到最大化，這類似于消費(fèi)者追求最大效用的選擇，故在此，不做詳細(xì)討論.同樣是要考慮邊際量的作用.

著重討論不同市場中，廠商如何利用數(shù)學(xué)邊際量以使利潤達(dá)到最大化.

先介紹一下市場的類型：完全競爭市場，壟斷競爭，寡頭壟斷，壟斷市場.

完全競爭市場即有許多買者和賣者，以至于每個(gè)人對市場價(jià)格的影響忽略的市場.壟斷競爭指存在許多出售相似或不相同產(chǎn)品的企業(yè)的市場結(jié)構(gòu).寡頭壟斷市場即只有幾個(gè)提供相似或相同產(chǎn)品的賣者的市場結(jié)構(gòu).壟斷市場是指整個(gè)行業(yè)中只有唯一的一個(gè)廠商的市場結(jié)構(gòu).

我們先整體上分析一下廠商如何進(jìn)行決策，然后根據(jù)具體不同市場的具體特征進(jìn)行分析.

先建立模型，設(shè)廠商的總收益（TR）是產(chǎn)量的函數(shù)即TR（Q），（Q為產(chǎn)量），總成本（TC）亦為產(chǎn)量的函數(shù)即TC（Q），則廠商的利潤π可用數(shù)學(xué)算式表示，π=TR-TC.那么廠商所要求的最大利潤即為π的最大值，由于TR，TC均是Q的函數(shù)，且在現(xiàn)實(shí)的區(qū)間的定義域上是連續(xù)的，所以π的最大值可以通過π關(guān)于Q的一階導(dǎo)函數(shù)來求出，當(dāng)然此處略去對二階導(dǎo)函數(shù)的一些討論.那么最值的條件即為πQ=0，即dTRdQ-dTCdQ=0，即MR=MC.即當(dāng)廠商的邊際收益等于邊際成本的時(shí)候，利潤達(dá)到最大或者虧損最小.

對于不同廠商而言，這個(gè)條件在所有的市場決策中都是有用的.只是由于不同市場廠商的影響力的不同而形式有所變化.

先討論一下完全競爭市場，由于是完全競爭市場，作為生產(chǎn)者是沒有權(quán)力去定價(jià)格的，即對價(jià)格的影響理論上說是沒有的.所以他們只能被動(dòng)地接受市場價(jià)格p（p為一定值），則對任一生產(chǎn)者而言，他的收益函數(shù)TR=pQ，則他的邊際收益即為p.他所能做的就是調(diào)整產(chǎn)品的產(chǎn)量Q，以使自己的邊際成本等于單價(jià)，即MR=MC=p，這樣才能讓自己的利潤達(dá)到最大或者損失最小.

再來討論壟斷市場下的廠商如何決策的.正如比爾·蓋茨曾經(jīng)說過，我們并沒有壟斷，只不過在電腦操作系統(tǒng)這一領(lǐng)域，我們是游戲規(guī)則的唯一制定者.作為游戲的唯一參與者，他們就擁有著相當(dāng)大的權(quán)力，他們可以制定自己所出售商品的價(jià)格，限制產(chǎn)品的數(shù)量.當(dāng)然，他們最終的目的是不變的，依舊是追尋最大利潤，只是自主性更強(qiáng)，影響更大.當(dāng)然他們決策的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù)依舊是成本和收益的邊際量.

由于壟斷競爭者牽扯到較多生產(chǎn)者，面臨太多變化，此處不做詳細(xì)討論，同時(shí)，寡頭壟斷生產(chǎn)的決策與博弈論（Game Theory）、納什均衡（Nash Equilibrium）及占優(yōu)策略（Dominant Equilibrium）等理論相關(guān)，在此也不做詳細(xì)討論，但是他們在做決策時(shí)，均會(huì)運(yùn)用到數(shù)學(xué)邊際量.

不管是考慮消費(fèi)者消費(fèi)行為，還是生產(chǎn)者生產(chǎn)行為，數(shù)學(xué)邊際量都起著十分重要的作用.當(dāng)然，數(shù)學(xué)邊際量在經(jīng)濟(jì)學(xué)中還有更廣泛的應(yīng)用.

數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)性的學(xué)科，它的應(yīng)用是廣泛的，可以說它是支撐現(xiàn)代科學(xué)的骨架，其他的學(xué)科領(lǐng)域等等都是往此骨架中填充血肉.而作為一門相對年輕的學(xué)科-經(jīng)濟(jì)學(xué)，它也是以數(shù)學(xué)的一些基本假設(shè)、基本結(jié)論、基本方法為基礎(chǔ)的學(xué)科.在此，主要討論數(shù)學(xué)邊際量在經(jīng)濟(jì)決策中的一些應(yīng)用.

考慮兩個(gè)變量x，y以及兩者間函數(shù)關(guān)系y=f（x）.給定x的增量Δx，y相應(yīng)變化Δy，則比值ΔyΔx稱為變量y相對于變量x的邊際量，即x變化一個(gè)單位

時(shí)y變化的大小.

一、考慮邊際量的必要性

1.邊際量有助于社會(huì)資源的配置

社會(huì)資源由于社會(huì)資源是稀缺的，其管理就顯得尤為重要.稀缺性（scarcity）是指社會(huì)擁有的資源是有限的，因此不能生產(chǎn)人們希望所擁有的物品與勞務(wù).

經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的就是如何管理自己的稀缺資源.在大多數(shù)社會(huì)中，資源是通過千百萬家庭和企業(yè)共同配置的.因此，經(jīng)濟(jì)學(xué)家研究人們?nèi)绾巫龀鰶Q策，他們做多少工作，購買什么，儲(chǔ)蓄多少，以至怎樣把儲(chǔ)蓄用于投資.在這些方面，數(shù)學(xué)邊際量都扮演著十分重要的角色.

從社會(huì)角度出發(fā)，社會(huì)面臨著效率與平等的權(quán)衡取舍.效率（efficiency）是指社會(huì)能以其稀缺資源中得到的最大利益.平等（equality）是指將這些資源的成果平均地分配給社會(huì)成員.

比如說，在生產(chǎn)技術(shù)既定，可得到的生產(chǎn)要素是一定時(shí)，生產(chǎn)者或者說廠商就面臨著如何分配生產(chǎn)要素的選擇.可以構(gòu)建一個(gè)數(shù)學(xué)模型：生產(chǎn)可能性邊界.在這條曲線上的生產(chǎn)都是有效率的，但從社會(huì)總體角度考慮時(shí)，在考慮到邊界關(guān)系時(shí)，仍然存在一個(gè)最佳的選擇.

經(jīng)濟(jì)學(xué)家通常假設(shè)人是理性的.在機(jī)會(huì)成本為既定的條件下，理性人系統(tǒng)而有目的地盡最大努力去實(shí)現(xiàn)其目的.比如說生產(chǎn)者，為實(shí)現(xiàn)利潤最大化，它們要決定雇傭多少工人和制造并出售多少產(chǎn)品；抑或是個(gè)人，他們要決定把多少時(shí)間用于工作，并用賺到的錢購買什么物品與勞務(wù)，以便獲得最大可能的滿足.

理性人知道，生活的許多決策很少是黑與白的選擇，而往往是介于其間.經(jīng)濟(jì)學(xué)家用邊際變動(dòng)（marginal change）這個(gè)術(shù)語來描述對現(xiàn)有行動(dòng)計(jì)劃的微小增量調(diào)整，也就是對數(shù)學(xué)邊際量的考查.理性人通常通過比較邊際收益（marginal revenue）與邊際成本（marginal cost）來做出決策.

2.邊際量有助于解釋一些經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象

比較經(jīng)典的：為什么水這么便宜，而鉆石如此昂貴？人需要水來維持生存，而鉆石并不是不可或缺的；但由于某種原因，人們愿意為鉆石支付的錢要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于水.原因在于一個(gè)人對任何一種物品的支付意愿都基于其邊際利益，即物品產(chǎn)生的額外利益.反過來，邊際收益又取決于一個(gè)人擁有多少這種物品.水是不可或缺的，但增加一杯水的邊際利益是微不足道的，因?yàn)樗嗔耍c此相反，并沒有一個(gè)人需要用鉆石來維持生存，但由于鉆石太少，人們認(rèn)為增加一單位鉆石的邊際利益是很大的.

當(dāng)且僅當(dāng)一種行為的邊際收益大于邊際成本時(shí)，一個(gè)理性決策者會(huì)采取這種行為.

我們?nèi)绾螒?yīng)用數(shù)學(xué)邊際量？

二、數(shù)學(xué)邊際量在經(jīng)濟(jì)決策中的一些應(yīng)用

以下分別就消費(fèi)者和生產(chǎn)者進(jìn)行討論分析.

1.在消費(fèi)者行為中的應(yīng)用

消費(fèi)者購買一種物品或勞務(wù)都是為了滿足某些需要或需求，但是又會(huì)收到自身可支配收入的限制.如何使自己的滿足程度達(dá)到最大，又不超出可支配收入的范圍.這時(shí)，理性的人就會(huì)考慮到數(shù)學(xué)邊際量.

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，經(jīng)濟(jì)學(xué)家用效用來衡量商品對于人的滿足程度.現(xiàn)在的學(xué)術(shù)界占主流的是序數(shù)效用論，也就是將個(gè)人的喜好進(jìn)行排序.比如說有可樂讓你選擇，你最喜歡可口可樂，然后是百事可樂，接著才是娃哈哈的可樂.即用第一、第二等等來衡量商品對于消費(fèi)者的滿足程度.序數(shù)效用論者用無差異曲線分析方法來考查消費(fèi)者的行為.序數(shù)效用論者認(rèn)為，商品給消費(fèi)者帶來的效用大小，應(yīng)用順序或等級(jí)來表示.為此，序數(shù)效用論者提出了消費(fèi)者偏好的概念，就是愛好或喜歡的意思.

序數(shù)效用論者認(rèn)為，對于多種不同的組合，消費(fèi)者的偏好程度是有差別的，正是這種偏好程度的差別，反映了消費(fèi)者對這些不同的商品組合的效用水平的評價(jià).為此，引入無差異曲線，它是用來表示消費(fèi)者偏好相同的兩種商品的所有組合.或者說，它是表示能夠給消費(fèi)者帶來相同的效用水平或滿足程度的兩種商品的所有組合.

在此，我們可以引入效用函數(shù)以表示某一商品的組合給消費(fèi)者所帶來的效用水平.u=f（x1，x2），x1，x2 分別為兩種商品的數(shù)量，u為效用水平.

在維持效用水平不變的前提下，消費(fèi)者增加一單位某種商品的消費(fèi)數(shù)量時(shí)所要放棄的另一種商品的數(shù)量，被稱為商品的邊際替代率，記為MRS12.即增加一單位1所放棄的2的單位數(shù).

消費(fèi)的決策要達(dá)到最好的效果及目的，必須滿足兩個(gè)條件：第一，最優(yōu)的商品購買組合必須是消費(fèi)者最偏好的組合.也就是說最優(yōu)的商品購買組合必須是能夠給消費(fèi)者帶來最大效用的商品組合.第二，最優(yōu)的商品購買組合必須位于給定的預(yù)算線上.

2.在生產(chǎn)者行為中的應(yīng)用

作為生產(chǎn)者，通常情況下，都是以追求最大利潤為目的的.

當(dāng)生產(chǎn)者面臨著兩種或多種生產(chǎn)要素的搭配組合時(shí)，同時(shí)有一定的約束條件下，他們的選擇將是盡可能使產(chǎn)品產(chǎn)量達(dá)到最大化，這類似于消費(fèi)者追求最大效用的選擇，故在此，不做詳細(xì)討論.同樣是要考慮邊際量的作用.

著重討論不同市場中，廠商如何利用數(shù)學(xué)邊際量以使利潤達(dá)到最大化.

先介紹一下市場的類型：完全競爭市場，壟斷競爭，寡頭壟斷，壟斷市場.

完全競爭市場即有許多買者和賣者，以至于每個(gè)人對市場價(jià)格的影響忽略的市場.壟斷競爭指存在許多出售相似或不相同產(chǎn)品的企業(yè)的市場結(jié)構(gòu).寡頭壟斷市場即只有幾個(gè)提供相似或相同產(chǎn)品的賣者的市場結(jié)構(gòu).壟斷市場是指整個(gè)行業(yè)中只有唯一的一個(gè)廠商的市場結(jié)構(gòu).

我們先整體上分析一下廠商如何進(jìn)行決策，然后根據(jù)具體不同市場的具體特征進(jìn)行分析.

先建立模型，設(shè)廠商的總收益（TR）是產(chǎn)量的函數(shù)即TR（Q），（Q為產(chǎn)量），總成本（TC）亦為產(chǎn)量的函數(shù)即TC（Q），則廠商的利潤π可用數(shù)學(xué)算式表示，π=TR-TC.那么廠商所要求的最大利潤即為π的最大值，由于TR，TC均是Q的函數(shù)，且在現(xiàn)實(shí)的區(qū)間的定義域上是連續(xù)的，所以π的最大值可以通過π關(guān)于Q的一階導(dǎo)函數(shù)來求出，當(dāng)然此處略去對二階導(dǎo)函數(shù)的一些討論.那么最值的條件即為πQ=0，即dTRdQ-dTCdQ=0，即MR=MC.即當(dāng)廠商的邊際收益等于邊際成本的時(shí)候，利潤達(dá)到最大或者虧損最小.

對于不同廠商而言，這個(gè)條件在所有的市場決策中都是有用的.只是由于不同市場廠商的影響力的不同而形式有所變化.

先討論一下完全競爭市場，由于是完全競爭市場，作為生產(chǎn)者是沒有權(quán)力去定價(jià)格的，即對價(jià)格的影響理論上說是沒有的.所以他們只能被動(dòng)地接受市場價(jià)格p（p為一定值），則對任一生產(chǎn)者而言，他的收益函數(shù)TR=pQ，則他的邊際收益即為p.他所能做的就是調(diào)整產(chǎn)品的產(chǎn)量Q，以使自己的邊際成本等于單價(jià)，即MR=MC=p，這樣才能讓自己的利潤達(dá)到最大或者損失最小.

再來討論壟斷市場下的廠商如何決策的.正如比爾·蓋茨曾經(jīng)說過，我們并沒有壟斷，只不過在電腦操作系統(tǒng)這一領(lǐng)域，我們是游戲規(guī)則的唯一制定者.作為游戲的唯一參與者，他們就擁有著相當(dāng)大的權(quán)力，他們可以制定自己所出售商品的價(jià)格，限制產(chǎn)品的數(shù)量.當(dāng)然，他們最終的目的是不變的，依舊是追尋最大利潤，只是自主性更強(qiáng)，影響更大.當(dāng)然他們決策的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù)依舊是成本和收益的邊際量.

由于壟斷競爭者牽扯到較多生產(chǎn)者，面臨太多變化，此處不做詳細(xì)討論，同時(shí)，寡頭壟斷生產(chǎn)的決策與博弈論（Game Theory）、納什均衡（Nash Equilibrium）及占優(yōu)策略（Dominant Equilibrium）等理論相關(guān)，在此也不做詳細(xì)討論，但是他們在做決策時(shí)，均會(huì)運(yùn)用到數(shù)學(xué)邊際量.

不管是考慮消費(fèi)者消費(fèi)行為，還是生產(chǎn)者生產(chǎn)行為，數(shù)學(xué)邊際量都起著十分重要的作用.當(dāng)然，數(shù)學(xué)邊際量在經(jīng)濟(jì)學(xué)中還有更廣泛的應(yīng)用.

數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)性的學(xué)科，它的應(yīng)用是廣泛的，可以說它是支撐現(xiàn)代科學(xué)的骨架，其他的學(xué)科領(lǐng)域等等都是往此骨架中填充血肉.而作為一門相對年輕的學(xué)科-經(jīng)濟(jì)學(xué)，它也是以數(shù)學(xué)的一些基本假設(shè)、基本結(jié)論、基本方法為基礎(chǔ)的學(xué)科.在此，主要討論數(shù)學(xué)邊際量在經(jīng)濟(jì)決策中的一些應(yīng)用.

考慮兩個(gè)變量x，y以及兩者間函數(shù)關(guān)系y=f（x）.給定x的增量Δx，y相應(yīng)變化Δy，則比值ΔyΔx稱為變量y相對于變量x的邊際量，即x變化一個(gè)單位

時(shí)y變化的大小.

一、考慮邊際量的必要性

1.邊際量有助于社會(huì)資源的配置

社會(huì)資源由于社會(huì)資源是稀缺的，其管理就顯得尤為重要.稀缺性（scarcity）是指社會(huì)擁有的資源是有限的，因此不能生產(chǎn)人們希望所擁有的物品與勞務(wù).

經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的就是如何管理自己的稀缺資源.在大多數(shù)社會(huì)中，資源是通過千百萬家庭和企業(yè)共同配置的.因此，經(jīng)濟(jì)學(xué)家研究人們?nèi)绾巫龀鰶Q策，他們做多少工作，購買什么，儲(chǔ)蓄多少，以至怎樣把儲(chǔ)蓄用于投資.在這些方面，數(shù)學(xué)邊際量都扮演著十分重要的角色.

從社會(huì)角度出發(fā)，社會(huì)面臨著效率與平等的權(quán)衡取舍.效率（efficiency）是指社會(huì)能以其稀缺資源中得到的最大利益.平等（equality）是指將這些資源的成果平均地分配給社會(huì)成員.

比如說，在生產(chǎn)技術(shù)既定，可得到的生產(chǎn)要素是一定時(shí)，生產(chǎn)者或者說廠商就面臨著如何分配生產(chǎn)要素的選擇.可以構(gòu)建一個(gè)數(shù)學(xué)模型：生產(chǎn)可能性邊界.在這條曲線上的生產(chǎn)都是有效率的，但從社會(huì)總體角度考慮時(shí)，在考慮到邊界關(guān)系時(shí)，仍然存在一個(gè)最佳的選擇.

經(jīng)濟(jì)學(xué)家通常假設(shè)人是理性的.在機(jī)會(huì)成本為既定的條件下，理性人系統(tǒng)而有目的地盡最大努力去實(shí)現(xiàn)其目的.比如說生產(chǎn)者，為實(shí)現(xiàn)利潤最大化，它們要決定雇傭多少工人和制造并出售多少產(chǎn)品；抑或是個(gè)人，他們要決定把多少時(shí)間用于工作，并用賺到的錢購買什么物品與勞務(wù)，以便獲得最大可能的滿足.

理性人知道，生活的許多決策很少是黑與白的選擇，而往往是介于其間.經(jīng)濟(jì)學(xué)家用邊際變動(dòng)（marginal change）這個(gè)術(shù)語來描述對現(xiàn)有行動(dòng)計(jì)劃的微小增量調(diào)整，也就是對數(shù)學(xué)邊際量的考查.理性人通常通過比較邊際收益（marginal revenue）與邊際成本（marginal cost）來做出決策.

2.邊際量有助于解釋一些經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象

比較經(jīng)典的：為什么水這么便宜，而鉆石如此昂貴？人需要水來維持生存，而鉆石并不是不可或缺的；但由于某種原因，人們愿意為鉆石支付的錢要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于水.原因在于一個(gè)人對任何一種物品的支付意愿都基于其邊際利益，即物品產(chǎn)生的額外利益.反過來，邊際收益又取決于一個(gè)人擁有多少這種物品.水是不可或缺的，但增加一杯水的邊際利益是微不足道的，因?yàn)樗嗔耍c此相反，并沒有一個(gè)人需要用鉆石來維持生存，但由于鉆石太少，人們認(rèn)為增加一單位鉆石的邊際利益是很大的.

當(dāng)且僅當(dāng)一種行為的邊際收益大于邊際成本時(shí)，一個(gè)理性決策者會(huì)采取這種行為.

我們?nèi)绾螒?yīng)用數(shù)學(xué)邊際量？

二、數(shù)學(xué)邊際量在經(jīng)濟(jì)決策中的一些應(yīng)用

以下分別就消費(fèi)者和生產(chǎn)者進(jìn)行討論分析.

1.在消費(fèi)者行為中的應(yīng)用

消費(fèi)者購買一種物品或勞務(wù)都是為了滿足某些需要或需求，但是又會(huì)收到自身可支配收入的限制.如何使自己的滿足程度達(dá)到最大，又不超出可支配收入的范圍.這時(shí)，理性的人就會(huì)考慮到數(shù)學(xué)邊際量.

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，經(jīng)濟(jì)學(xué)家用效用來衡量商品對于人的滿足程度.現(xiàn)在的學(xué)術(shù)界占主流的是序數(shù)效用論，也就是將個(gè)人的喜好進(jìn)行排序.比如說有可樂讓你選擇，你最喜歡可口可樂，然后是百事可樂，接著才是娃哈哈的可樂.即用第一、第二等等來衡量商品對于消費(fèi)者的滿足程度.序數(shù)效用論者用無差異曲線分析方法來考查消費(fèi)者的行為.序數(shù)效用論者認(rèn)為，商品給消費(fèi)者帶來的效用大小，應(yīng)用順序或等級(jí)來表示.為此，序數(shù)效用論者提出了消費(fèi)者偏好的概念，就是愛好或喜歡的意思.

序數(shù)效用論者認(rèn)為，對于多種不同的組合，消費(fèi)者的偏好程度是有差別的，正是這種偏好程度的差別，反映了消費(fèi)者對這些不同的商品組合的效用水平的評價(jià).為此，引入無差異曲線，它是用來表示消費(fèi)者偏好相同的兩種商品的所有組合.或者說，它是表示能夠給消費(fèi)者帶來相同的效用水平或滿足程度的兩種商品的所有組合.

在此，我們可以引入效用函數(shù)以表示某一商品的組合給消費(fèi)者所帶來的效用水平.u=f（x1，x2），x1，x2 分別為兩種商品的數(shù)量，u為效用水平.

在維持效用水平不變的前提下，消費(fèi)者增加一單位某種商品的消費(fèi)數(shù)量時(shí)所要放棄的另一種商品的數(shù)量，被稱為商品的邊際替代率，記為MRS12.即增加一單位1所放棄的2的單位數(shù).

消費(fèi)的決策要達(dá)到最好的效果及目的，必須滿足兩個(gè)條件：第一，最優(yōu)的商品購買組合必須是消費(fèi)者最偏好的組合.也就是說最優(yōu)的商品購買組合必須是能夠給消費(fèi)者帶來最大效用的商品組合.第二，最優(yōu)的商品購買組合必須位于給定的預(yù)算線上.

2.在生產(chǎn)者行為中的應(yīng)用

作為生產(chǎn)者，通常情況下，都是以追求最大利潤為目的的.

當(dāng)生產(chǎn)者面臨著兩種或多種生產(chǎn)要素的搭配組合時(shí)，同時(shí)有一定的約束條件下，他們的選擇將是盡可能使產(chǎn)品產(chǎn)量達(dá)到最大化，這類似于消費(fèi)者追求最大效用的選擇，故在此，不做詳細(xì)討論.同樣是要考慮邊際量的作用.

著重討論不同市場中，廠商如何利用數(shù)學(xué)邊際量以使利潤達(dá)到最大化.

先介紹一下市場的類型：完全競爭市場，壟斷競爭，寡頭壟斷，壟斷市場.

完全競爭市場即有許多買者和賣者，以至于每個(gè)人對市場價(jià)格的影響忽略的市場.壟斷競爭指存在許多出售相似或不相同產(chǎn)品的企業(yè)的市場結(jié)構(gòu).寡頭壟斷市場即只有幾個(gè)提供相似或相同產(chǎn)品的賣者的市場結(jié)構(gòu).壟斷市場是指整個(gè)行業(yè)中只有唯一的一個(gè)廠商的市場結(jié)構(gòu).

我們先整體上分析一下廠商如何進(jìn)行決策，然后根據(jù)具體不同市場的具體特征進(jìn)行分析.

先建立模型，設(shè)廠商的總收益（TR）是產(chǎn)量的函數(shù)即TR（Q），（Q為產(chǎn)量），總成本（TC）亦為產(chǎn)量的函數(shù)即TC（Q），則廠商的利潤π可用數(shù)學(xué)算式表示，π=TR-TC.那么廠商所要求的最大利潤即為π的最大值，由于TR，TC均是Q的函數(shù)，且在現(xiàn)實(shí)的區(qū)間的定義域上是連續(xù)的，所以π的最大值可以通過π關(guān)于Q的一階導(dǎo)函數(shù)來求出，當(dāng)然此處略去對二階導(dǎo)函數(shù)的一些討論.那么最值的條件即為πQ=0，即dTRdQ-dTCdQ=0，即MR=MC.即當(dāng)廠商的邊際收益等于邊際成本的時(shí)候，利潤達(dá)到最大或者虧損最小.

對于不同廠商而言，這個(gè)條件在所有的市場決策中都是有用的.只是由于不同市場廠商的影響力的不同而形式有所變化.

先討論一下完全競爭市場，由于是完全競爭市場，作為生產(chǎn)者是沒有權(quán)力去定價(jià)格的，即對價(jià)格的影響理論上說是沒有的.所以他們只能被動(dòng)地接受市場價(jià)格p（p為一定值），則對任一生產(chǎn)者而言，他的收益函數(shù)TR=pQ，則他的邊際收益即為p.他所能做的就是調(diào)整產(chǎn)品的產(chǎn)量Q，以使自己的邊際成本等于單價(jià)，即MR=MC=p，這樣才能讓自己的利潤達(dá)到最大或者損失最小.

再來討論壟斷市場下的廠商如何決策的.正如比爾·蓋茨曾經(jīng)說過，我們并沒有壟斷，只不過在電腦操作系統(tǒng)這一領(lǐng)域，我們是游戲規(guī)則的唯一制定者.作為游戲的唯一參與者，他們就擁有著相當(dāng)大的權(quán)力，他們可以制定自己所出售商品的價(jià)格，限制產(chǎn)品的數(shù)量.當(dāng)然，他們最終的目的是不變的，依舊是追尋最大利潤，只是自主性更強(qiáng)，影響更大.當(dāng)然他們決策的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù)依舊是成本和收益的邊際量.

由于壟斷競爭者牽扯到較多生產(chǎn)者，面臨太多變化，此處不做詳細(xì)討論，同時(shí)，寡頭壟斷生產(chǎn)的決策與博弈論（Game Theory）、納什均衡（Nash Equilibrium）及占優(yōu)策略（Dominant Equilibrium）等理論相關(guān)，在此也不做詳細(xì)討論，但是他們在做決策時(shí)，均會(huì)運(yùn)用到數(shù)學(xué)邊際量.

不管是考慮消費(fèi)者消費(fèi)行為，還是生產(chǎn)者生產(chǎn)行為，數(shù)學(xué)邊際量都起著十分重要的作用.當(dāng)然，數(shù)學(xué)邊際量在經(jīng)濟(jì)學(xué)中還有更廣泛的應(yīng)用.