2K-V型減速機(jī)的動力學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)研究

劉長坤，李充寧，楊保占，高 嶺

（1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300222；2.國網(wǎng)安徽省電力公司，合肥 230061）

2K-V型減速機(jī)是在擺線針輪傳動的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種新型減速機(jī)。與傳統(tǒng)的行星減速機(jī)相比，其具有速比范圍大、精度高、剛度高、效率高、承載能力強(qiáng)以及體積小等優(yōu)點(diǎn)。國內(nèi)對2K-V型減速機(jī)已經(jīng)有不少研究。在對其動力學(xué)建模分析方面，已經(jīng)有人建立了13個自由度的彎扭分析模型[1-2]，但在分析影響系統(tǒng)一階固有頻率的主要因素方面不夠明確；有人用傳遞矩陣的方法建立了動力學(xué)分析模型[3]，但其只考慮曲柄軸的扭轉(zhuǎn)剛度、彎曲剛度和輸入軸的扭轉(zhuǎn)剛度對整機(jī)系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響；有人結(jié)合漸開線齒輪傳動副與擺線針輪傳動副的嚙合剛度的作用關(guān)系，并用慣性盤模擬工作負(fù)載，對系統(tǒng)簡化形成了5個自由度的扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型[4]。該模型主要涉及扭轉(zhuǎn)運(yùn)動，沒有考慮各個構(gòu)件的徑向振動，不能有效地進(jìn)行振動響應(yīng)的計(jì)算和分析。由于軸承剛度對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響比較大，上述分析模型中沒有考慮軸承剛度的影響。

本文采用集中質(zhì)量法，建立包含軸承剛度及構(gòu)件徑向振動影響的動力學(xué)模型，并試圖利用所建的模型求解對該類減速機(jī)影響較大的前兩階固有頻率理論值，再進(jìn)行相關(guān)試驗(yàn)驗(yàn)證。

1 2K-V型擺線針輪傳動受力分析

2K-V型減速機(jī)中擺線輪的受力分析如圖1所示。圖1中，擺線輪與針齒為多齒嚙合，每一個針齒與擺線輪的嚙合力的作用線相交于節(jié)點(diǎn)P，并且在P點(diǎn)處合成總的嚙合力F，F(xiàn)沿節(jié)圓分解為切向力Fpt和徑向力Fpr。由受力圖可知，擺線輪的節(jié)點(diǎn)位于齒根圓以內(nèi)，總嚙合力F的徑向分力Fpr沿著偏心方向向外，與x軸的夾角為φ；切向力Fpt的方向與x軸的夾角為φ-90°。這2個力的大小分別為[5]：

式中：rc為擺線輪節(jié)圓半徑；k1為短幅系數(shù)，通常k1=0.55～0.8。

圖1 擺線輪受力分析

曲柄軸承對擺線輪的作用力Ri可以分解為Rif和Rit兩部分：Rif為與輪齒嚙合作用力和曲柄軸承的離心力的合力相平衡的分力；Rit為與Fpt產(chǎn)生的力矩平衡的的分力，大小分別為：

式中：ωH、ωc分別為曲柄軸的公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)角速度；a為偏心距；r0為曲柄軸的分布圓半徑；N為曲柄軸的個數(shù)；T0為輸出轉(zhuǎn)矩。

Rit的方向沿ωH的轉(zhuǎn)向切于半徑為r0的圓，各個Rit之間的夾角為360°/N，Rif的方向與x軸正向的夾角為90°+φ+β，其中：

由式（2）至式（4）可以看出，在外載荷和輸出轉(zhuǎn)矩不變的情況下，Rit的大小恒定，方向不變；Rif的大小恒定，方向隨曲柄軸轉(zhuǎn)角變化，但是與曲柄軸的相位差恒為90°+β。

2 2K-V型減速機(jī)動力學(xué)建模

2.1 模型分析

2K-V型減速機(jī)因型號不同，曲柄軸的數(shù)目不同，建立的動力學(xué)模型也不盡相同，但是曲柄軸為對稱分布時，建立動力學(xué)模型有一定的規(guī)律性。本文以3個曲柄軸的2K-V320S型減速機(jī)為例，采用集中參數(shù)法建立整機(jī)系統(tǒng)動力學(xué)模型。根據(jù)減速機(jī)的結(jié)構(gòu)特征，整機(jī)的系統(tǒng)動力學(xué)模型建立在以下假設(shè)上：①曲柄軸曲柄段的滾針軸承和兩端的支撐軸承在模型中都用拉壓彈簧表示，其剛度為定值。②忽略齒輪嚙合中綜合剛度的變化，設(shè)齒輪嚙合剛度為常數(shù)。③計(jì)算擺線針輪的嚙合剛度時，嚙合力按集中力處理，大小方向與β相同。其動力學(xué)模型如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)動力學(xué)模型

參考坐標(biāo)系O-xyz建立在行星架上，以行星架軸線的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，z為軸向，x的方向由原點(diǎn)指向第一個曲柄軸軸孔的幾何中心，該坐標(biāo)系繞其軸線以角速度ωv轉(zhuǎn)動。在O-xyz坐標(biāo)系中其他構(gòu)件的坐標(biāo)系為：

（1）輸入齒輪軸（太陽輪）坐標(biāo)系（xt，yt，αt），xt、yt為徑向坐標(biāo)，方向與x、y相同，αt表示輸出齒輪軸繞其軸線的回轉(zhuǎn)角。

豬瘟俗稱“爛腸瘟”，它是由豬瘟病毒引起的一種高度接觸性傳染病。豬瘟病毒（CSFV）屬于黃病毒科豬瘟病毒屬，CSFV為單股正鏈RNA有囊膜病毒。自1833年首次在美國俄亥俄州發(fā)現(xiàn)CSF。近百年以來，一直在全世界范圍內(nèi)流行，也是目前危害我國養(yǎng)豬業(yè)發(fā)展的主要疫病之一。中國自主研制的豬瘟兔化弱毒疫苗在防治CSF過程中具有很重要的作用，但近年來各地生豬養(yǎng)殖場仍有CSF免疫效果不理想的情況出現(xiàn)。

（2）行星輪坐標(biāo)系（xxi，yxi，αxi），i=1，2，3表示行星輪號。xxi、yxi為徑向坐標(biāo)，xxi的方向出太陽輪幾何中心指向行星輪i的幾何中心，αxi表示行星輪i繞其軸線回轉(zhuǎn)角。

（3）曲柄軸坐標(biāo)系（xqi，yqi，αqi），i=1，2，3表示曲柄軸號。xqi、yqi為徑向坐標(biāo)，坐標(biāo)方向與配合的行星輪坐標(biāo)方向相同，αqi表示曲柄軸i繞其軸線回轉(zhuǎn)角。

（4）擺線輪坐標(biāo)系（xbi，ybi，αbi），i=1，2，3表示擺線輪號。xbi、ybi為徑向坐標(biāo)，方向與x、y一致，αbi表示擺線輪i繞其軸線的回轉(zhuǎn)角。

（5）行星架坐標(biāo)系（xH，yH，αH），xH、yH分別與x、y的方向相同，αH表示行星架繞其軸線的回轉(zhuǎn)角。

這樣，系統(tǒng)共有10個運(yùn)動構(gòu)件，共30個自由度。

2.2 各運(yùn)動構(gòu)件的動力學(xué)方程

相接觸的各構(gòu)件之間因彈性變形產(chǎn)生反力，該力的大小與相對位移成正比。因此需要確定相互作用運(yùn)動構(gòu)件之間的相對位移。由圖3以及各個構(gòu)件的運(yùn)動關(guān)系，可以確定相互作用構(gòu)件之間的相對位移。

太陽輪（輸入齒輪軸）受到行星輪的作用力、輸入轉(zhuǎn)矩的作用及軸承的支撐力。則由牛頓第二定律可列出太陽輪的動力學(xué)方程：

式中：ωv為行星架的理論轉(zhuǎn)速；kti為太陽輪和行星輪i的嚙合剛度；kt為太陽輪的支撐軸承剛度；mt為太陽輪質(zhì)量；It為太陽輪轉(zhuǎn)動慣量；Tt為輸入轉(zhuǎn)矩；δti為太陽輪和行星輪i在嚙合方向上的相對位移為；θi=（i-1）2π/3；αtx為太陽輪和行星輪的嚙合角；ut為太陽輪嚙合線上的相對位移；rt為太陽輪的節(jié)圓半徑。

同理，可推倒出行星輪i的動力學(xué)方程：

式中：mxi為行星輪i的質(zhì)量；Ixi為行星輪i的轉(zhuǎn)動慣量；kqw為曲柄軸的彎曲剛度；kqN為曲柄軸的扭轉(zhuǎn)剛度；uxi為行星輪i嚙合線上的相對位移。

2.2.2 曲柄軸動力學(xué)方程

曲柄軸受到擺線輪，行星輪和行星架3個構(gòu)件的作用力，由牛頓第二定律得曲柄n（n=1，2，3）的動力學(xué)方程為：

式中：mqn為曲柄軸n的質(zhì)量；Iqn為曲柄軸n的轉(zhuǎn)動慣量；kqb為擺線輪與曲柄軸之間的軸承剛度；kHq為行星架與曲柄軸之間的軸承剛度；a為偏心距π（m-1）為曲拐與曲柄軸坐標(biāo)系xqn軸方向的夾角；Ψqn為曲柄軸n的坐標(biāo)系和擺線輪坐標(biāo)系的夾角為曲柄軸1的曲拐與曲柄軸1坐標(biāo)系的xq1軸的夾角；為曲柄軸的初始相位角；Δxnm和Δynm分別為曲柄軸n和擺線輪m（m=1，2，3）的彈性相對位移；ΔxnH和ΔynH分別為曲柄軸n與行星架的彈性相對位移。

2.2.3 行星架的動力學(xué)方程

行星架只受到曲柄軸的作用力，由牛頓第二定律得其動力學(xué)方程為：

式中：r0為曲柄軸分布圓半徑；mH為行星架的質(zhì)量；IH為行星架的轉(zhuǎn)動慣量。

2.2.4 擺線輪的動力學(xué)方程

擺線輪受到曲柄軸和針齒的作用力，則由牛頓第二定律可得擺線輪j的動力學(xué)方程：

式中：mbj為擺線輪j的質(zhì)量；Ibj為擺線輪j的轉(zhuǎn)動慣量；kb為擺線輪針齒的嚙合剛度；Δδb為擺線輪j與針齒嚙合的嚙合位移。

聯(lián)立方程（1）至方程（5）并整理可得到系統(tǒng)的自由振動動力學(xué)方程：

式中：M為質(zhì)量矩陣；K為剛度矩陣；G為陀螺矩陣；K′為向心動剛度矩陣；X為廣義坐標(biāo)向量。

3 計(jì)算結(jié)果

本文所研究的2K-V320S型減速機(jī)的參數(shù)為：太陽輪齒數(shù)Z1=13，行星輪齒數(shù)Z2=71，模數(shù)m=1.5，壓力角α =20°；擺線輪齒數(shù)Z3=39，針齒齒數(shù)Z4=40，偏心距a=2.2 mm，針齒銷半徑r=10 mm，針齒中心圓半徑Rz=229mm；傳動比[5]i=219.46；輸出轉(zhuǎn)矩T0=3136N·m；輸出轉(zhuǎn)速為15 r/min。

利用pro/e建立上述減速機(jī)的三維模型，在pro/e中可以直接測得各個構(gòu)件的轉(zhuǎn)動慣量；根據(jù)材料力學(xué)相關(guān)知識，可以計(jì)算曲柄軸的扭轉(zhuǎn)剛度kqN；根據(jù)文獻(xiàn)[4]可以計(jì)算漸開線齒輪的平均嚙合剛度和擺線針輪的平均嚙合剛度；根據(jù)文獻(xiàn)[6]可以計(jì)算滾針軸承的徑向支撐剛度kHq和kqb。經(jīng)計(jì)算，系統(tǒng)自由振動的一階固有頻率為266 Hz左右，二階固有頻率為310 Hz左右。

通過錘擊法實(shí)驗(yàn)，測得樣機(jī)的前二階固有頻率分別為287 Hz和361 Hz，與理論計(jì)算得出的結(jié)果基本一致。

4 結(jié)束語

本文建立了包含軸承剛度和構(gòu)件徑向振動影響因素的2K-V型動力學(xué)分析模型。通過實(shí)例求解方程，得出了樣機(jī)的前二階固有頻率理論值。同時，修改各個齒輪副相對位移的計(jì)算公式中的參數(shù)，就可以研究制造誤差對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響。針對自主研發(fā)的樣機(jī)，利用LMS測試系統(tǒng)做了固有頻率測試，得到了樣機(jī)的動態(tài)響應(yīng)曲線，曲線上各個波峰位置可顯示出樣機(jī)的各階固有頻率。通過對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證了所建模型的有效性。所測樣機(jī)的前二階固有頻率比較高，應(yīng)用在機(jī)器人上可以避免共振現(xiàn)象的發(fā)生，從而為機(jī)器人的平穩(wěn)工作提供保證。

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[3]李瑰賢，吳俊飛.變厚齒輪RV減速器系統(tǒng)扭振動力學(xué)分析[J].機(jī)械傳動，1999（4）：20-22.

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