基于小波和分數階傅里葉變換的混沌圖像加密

李瓊+胡紹海+邱禧荷

摘 要：為了進一步提高加密效果和效率，本文提出一種基于小波分解和分數階傅里葉變換的混沌圖像加密方法。加密過程包括三個步驟：首先利用混沌序列對圖像進行像素值擾亂；然后進行小波分解并提取出低頻分量，對其進行分數階傅里葉變換；最后進行混沌置亂得到最終加密圖像。仿真結果表明該方法能夠成功實現圖像的加密和解密，具有很好的加密效果和安全性。

關鍵詞：分數階傅里葉變換；小波分解；混沌加密；Logistic映射；二維貓映射

中圖分類號：TN911 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）01（b）-0000-00

數字圖像是是目前最流行的多媒體形式之一，許多重要信息要以數字圖像的形式傳輸。對于某些特殊領域，如軍事、商業等，數字圖像有著較高的保密要求。因此圖像加密技術越來越受到人們的關注，各種加密方案也相繼提出。

由于分數階傅里葉對變換階次非常敏感[1]，基于FRFT的圖像加密算法不斷涌現[2，3]。但是和空域圖像加密算法（如混沌系統加密）相比，由于其僅僅是對分數階域中少量系數加密，加密效果稍有降低。于是出現了將FRFT與混沌系統結合起來的加密方法[4，5，6]，其中最常用的混沌加密可分為為像素置亂和像素值擾亂兩種。

為了提高加密效率，本文將小波分解引入加密算法。針對目前基于FRFT加密算法的不足，本文基于小波和FRFT [7]提出了一種混沌圖像的多重加密方法。首先，用Logistic映射對圖像在空域進行像素值擾亂；然后進行小波分解，由于圖像經小波分解后的低頻分量集中了原始圖像的大部分信息，所以只對圖像的低頻分量做分數階傅里葉變換，以提高加密效率；最后對小波重構圖像進行二維貓映射置亂，從而實現圖像的多重加密，提高加密效果。

1 相關理論

1.1基于二維貓映射的像素置亂

貓映射是圖像置亂中最基本的一個算法，因用一張貓臉作仿真試驗而得名。二維貓映射定義如下：

（1）

式中a、b為整數，N為圖像方陣的大小，且式（1）是一一映射。

圖像在貓映射的置亂下，經過線性拉伸再通過取模的運算進行折疊，達到像素位置變換的目的，利用式（1）經過多次迭代運算便可實現圖像的置亂變換。

該方法的優缺點是：計算速度快、易于實現，但是在重復迭代的過程中會呈現周期性，即龐加萊回復性，且該加密方法只是將原始圖像每個像素的位置置亂，其像素值并未改變，較易通過用統計分析方法解密。

1.2 基于混沌序列的像素值擾亂

混沌系統具有隨機性、非周期性、遍歷性以及對初始條件和控制系數敏感性高等特點，因此非常適用于數據的加密。產生混沌信號的迭代方程有很多，比較典型的有Logistic、Henon和Quadratic等混沌映射方程。本文選用Logistic映射完成圖像像素值的擾亂。

Logistic映射定義為

（2）

式中， 為分支參數， 為序列值。研究表明，當 時，Logistic映射工作于混沌狀態。也就是說，由初始條件 在logistic映射的作用下所產生的序列 是非周期的、不收斂的且對初始值非常敏感。

設原圖像I的大小為 ，選取參數 與初始值 由式（2）生成一組混沌序列，并選取舍去參數 ，從 開始取 個序列并將其轉換成 的矩陣 。根據Logistic混沌的特點可知 ，對 按照式（3）做相應地變換得到像素擾亂矩陣 且 。對原圖像I中的每個像素的像素值 與 做按位異或運算，得到像素值被擾亂的加密圖像 。

（3）

該方法的優缺點是：易于實現，使加密圖像的灰度直方圖分布更加均勻，但是單一的像素值擾亂加密，在較充裕的時間內也較易通過密鑰攻擊的方法破譯。

1.3 小波變換

小波變換是一種空間頻率的局部化分析工具，又被稱作“數學顯微鏡”，可以表示為信號與某個核函數修正形式乘積的積分計算。連續小波變換定義為

（4）

積分核 是由小波母函數 通過伸縮平移得到一組小波基函數

（5）

小波基函數的容許條件為：

（6）

式中， 。

在圖像處理中可以利用二維離散小波變換對圖像進行加密，在加密圖像中得不到原圖像任何信息。只有在小波類型和分解層數都已知的情況下才可以正確解密，部分密鑰只能得到圖像的輪廓信息。

該方法的優缺點是：加密效率得到提高，破壞了原始圖像的統計特性，降低了圖像像素之間的相關性，但是和空域圖像加密算法相比，加密效果稍有降低。

1.4 分數階傅里葉變換

分數階傅里葉變換是傅里葉變換的廣義形式，可以看成是在時頻平面任意角度的逆時針旋轉[1]。

的FRFT定義為

（7）

其中p為變換階數，旋轉角度 ， 為FRFT的核函數。且

（8）

在處理數字圖像時，需要使用FRFT的二維離散化算法。二維分數階傅里葉變換定義為

（9）

二維變換核是可分離的， 、 分別為x和y方向的變換階數。由于變換階次可以作為兩個密鑰，將FRFT應用到圖像加密可以進一步加強圖像的安全性。

該方法能夠較好的隱藏原圖像統計特性，有效抵抗對加密圖像統計特性的破譯攻擊，但是只經過FRFT加密后圖像呈現一定的可識別性（如圖1所示），故不宜單獨使用。

2 加密算法

本文提出的基于小波和分數階傅里葉變換的混沌圖像加密算法流程如圖2所示。

具體實現步驟描述如下：

（1） 像素值擾亂：輸入原圖像，選取合適的密鑰 、 、 進行Logistic像素值擾亂，得到加密圖像 。

（2） 小波分解：選取小波對圖像 進行小波分解，提取出低頻分量 作為后續加密的輸入圖像。

（3） 分數階傅里葉變換：對 進行二維不對稱離散分數階傅里葉變換，將加密的低頻分量和水平細節分量、垂直細節分量以及對角細節分量進行小波逆變換合成二次加密圖像 。

（4） 混沌置亂：對 進行二維貓映射置亂，置亂次數為 ，得到三次加密圖像 。

解密過程即將以上加密過程逆向實現。

由上述加密步驟可知，該加密方法的四組密鑰分別為：（1）混沌序列初值 、分叉參數 和舍去參數 （2）小波類型與分解尺度（3）分數階次 和 （4）貓映射置亂矩陣 和置亂次數 。可見該方法的密鑰空間是無窮大的，只有所有的密鑰都正確時，圖像才能被正確解密。

相比文獻[7]，本方法先對圖像進行小波分解，只對小波變換后的低頻分量進行FRFT，降低了計算復雜度，加密速度也得到了提高。文獻[4-7]均用到混沌置亂，但只是將像素的位置置亂，其像素值并未改變，本方法引入基于Logistic映射的像素值擾亂，使得加密圖像的灰度直方圖分布更加均勻。

3 仿真結果

3.1 加密解密效果

采用本文算法對灰度圖像“lena.bmp”進行加密處理，圖像尺寸為256 256。實際加密中，密鑰參數可以在一定范圍內任意選取，本文實驗中選取混沌序列初值 、分叉參數 、舍去參數 ；db1小波進行單層分解；分數階次 ， ；置亂映射參數 且置亂次數 。

圖3（a）為原始圖像，圖3（b）為像素值擾亂后的加密圖像，圖3（c）為圖像小波分解之后各個分量的圖像，圖3（d）為選取的低頻分量，圖3（e）為低頻分量經過FRFT后的圖像，圖3（f）為加密圖像，圖3（g）為經過解密得到的一重解密圖像，圖3（h）為經過解密得到的二重解密圖像。圖3（i）為經過解密得到的三重解密圖像。圖3（j）為最終解密圖像。

3.2 密鑰分析實驗

為了測試密鑰的敏感性，在對圖像解密過程中，置亂次數出錯時，解密圖像如圖4（a）所示；小波類型錯誤時，解密圖像如圖4（b）所示；分數階次 錯誤時，解密圖像如圖4（c）所示， 錯誤時，解密圖像如圖4（d）所示；Logistic序列初始值 錯誤時，解密圖像如圖4（e）所示。從解密圖像來看，本文方法密鑰空間大，其中任何一組密鑰錯誤都無法解密出正確的圖像，保密性更高。

3.3 統計特性分析

圖像加密的目的就是使加密圖像的直方圖特征難以提取以保證圖像的安全。文獻[7]中加密算法的明文和密文圖像直方圖如圖5所示，本文加密算法的明文和密文圖像直方圖如圖6所示。可以看出，原圖像與加密圖像的直方圖具有明顯不同的分布，而且本文加密圖像的直方圖相對于文獻[7]平滑了很多。這是因為本文算法在空域實現了像素值的擾亂，同時也實現了空域和頻域的置亂，使得圖像的像素位置和像素值都得到了很大的擾亂，因此加密圖像的直方圖分布更加均勻，攻擊者很難從統計特性中獲得有用信息。

4 結論

本文提出了一種基于小波分解和分數階傅里葉變換的混沌圖像加密方法，實現對灰度圖像的多重加密。對數字圖像首先進行空域像素值擾亂，然后進行小波分解并提取其低頻分量，對低頻分量進行分數階傅里葉變換，最后采用二維貓映射對重構圖像進行混沌置亂，很好地置亂了像素位置和擾亂了像素值。由于小波分解的引入，有效降低了FRFT的計算復雜度，仿真實驗驗證了加密算法的可行性與安全性。實驗結果表明，該加密算法能較好地抵抗統計分析攻擊，密鑰空間大、對參數敏感度高，有很好的加密效果和安全性。

參考文獻：

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Huang Yuqing， Wang Youren. Image Encryption Method Based on Fractional Wavelet Transform[J]. Science technology and Engineering， 2013，13（8）.（in Chinese）

作者簡介：

李瓊，女，1988年生，籍貫河南。現就讀于北京交通大學計算機與信息技術學院2011級碩士研究生，信號與信息處理專業。研究方向為：智能感知與信息處理。

Li Qiong， female， was born in 1988 at Henan province， and now is studying in School of Computer and Information Technology， Beijing Jiaotong University as a graduate student who was enrolled in 2011.The main research is the application of Fractional Fourier transform in the signal detection and image processing.

胡紹海，男，1964年生，籍貫江西。現任北京交通大學計算機與信息技術學院教授、博士生導師。研究方向為：智能感知與信息處理。

Hu Shaohai， male， was born in 1964 at Jiangxi province， and now is working at School of Computer and Information Technology， Beijing Jiaotong University as a professor and PhD supervisor. The main research is intelligent perception and information processing.

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[6] 王雅慶，周尚波.基于分數階Fourier變換的數字圖像加密算法研究[J].計算機應用研究，2011，28（7）：2738—2741.

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[7] 黃雨青，王友仁.基于分數階小波變換的圖像加密方法[J]. 科學技術與工程，2013，13（8）.

Huang Yuqing， Wang Youren. Image Encryption Method Based on Fractional Wavelet Transform[J]. Science technology and Engineering， 2013，13（8）.（in Chinese）

作者簡介：

李瓊，女，1988年生，籍貫河南。現就讀于北京交通大學計算機與信息技術學院2011級碩士研究生，信號與信息處理專業。研究方向為：智能感知與信息處理。

Li Qiong， female， was born in 1988 at Henan province， and now is studying in School of Computer and Information Technology， Beijing Jiaotong University as a graduate student who was enrolled in 2011.The main research is the application of Fractional Fourier transform in the signal detection and image processing.

胡紹海，男，1964年生，籍貫江西。現任北京交通大學計算機與信息技術學院教授、博士生導師。研究方向為：智能感知與信息處理。

Hu Shaohai， male， was born in 1964 at Jiangxi province， and now is working at School of Computer and Information Technology， Beijing Jiaotong University as a professor and PhD supervisor. The main research is intelligent perception and information processing.

[5] 楊倬，馮久超，方勇.一種基于混沌和分教階傅里葉變換的圖像加密算法[J].計算機科學，2008，35（9）：239-240，273.

Yang Zhuo， Feng Jiuchao， Fang Yong. Image Encryption Algorithm Based on Chaos and Fractional Fourier Transform[J]. Computer Science， 2008，35（9）：239-240，273. （in Chinese）

[6] 王雅慶，周尚波.基于分數階Fourier變換的數字圖像加密算法研究[J].計算機應用研究，2011，28（7）：2738—2741.

Wang Qingya， Zhou Shangbo. Research on Digital Image Encryption Algorithm Based on Fractional Fourier Transform[J]. Application Research of Computers， 2011， 28（7）：2738—2741. （in Chinese）

[7] 黃雨青，王友仁.基于分數階小波變換的圖像加密方法[J]. 科學技術與工程，2013，13（8）.

Huang Yuqing， Wang Youren. Image Encryption Method Based on Fractional Wavelet Transform[J]. Science technology and Engineering， 2013，13（8）.（in Chinese）

作者簡介：

李瓊，女，1988年生，籍貫河南。現就讀于北京交通大學計算機與信息技術學院2011級碩士研究生，信號與信息處理專業。研究方向為：智能感知與信息處理。

Li Qiong， female， was born in 1988 at Henan province， and now is studying in School of Computer and Information Technology， Beijing Jiaotong University as a graduate student who was enrolled in 2011.The main research is the application of Fractional Fourier transform in the signal detection and image processing.

胡紹海，男，1964年生，籍貫江西。現任北京交通大學計算機與信息技術學院教授、博士生導師。研究方向為：智能感知與信息處理。

Hu Shaohai， male， was born in 1964 at Jiangxi province， and now is working at School of Computer and Information Technology， Beijing Jiaotong University as a professor and PhD supervisor. The main research is intelligent perception and information processing.