用數學理論與計算機分析通電螺線管內外磁場的分布研究

摘 要：在通常的電磁學教材中，一般只討論通電螺線管內軸線上的磁場分布情況，對偏離軸線的任意點處的磁場很少涉及。本文根據數值積分的方法，將連續場源的效應離散化，利用IBM一PC/XT微型機的高速計算功能，計算出通電螺線管內外磁場的幾個離散解，基本上反映出通電螺線管內外磁場的分布情況。

關鍵詞：數學理論；計算機；通電螺線管；磁場；離散

在通常的電磁學教材中，一般只討論通電螺線管內軸線上的磁場分布情況，對偏離軸線的任意點處的磁場很少涉及。本文根據數值積分的方法，將連續場源的效應離散化，利用IBM一PC/XT微型機的高速計算功能，計算出通電螺線管內外磁場的幾個離散解，基本上反映出通電螺線管內外磁場的分布情況。

1 場源的離散化及其計算方案

對于通常密繞通電螺線管而言，若繞有K層線圈，每層有L匝，則線圈總匝數n=KL，各匝內的電流強度為I。取螺線管的縱剖面圖如圖一所示。其內半徑為R1，外半徑為R2，高為H作為離散場源邊界，于是離散場源截面S=（R2—R1）H。設電流密度是均勻分布的，則：

如果將場源截面S在經向分成段，軸向分成段，則截面S離散成個小面積元，每個小面元的面積為：

其中為經向（R）方向的步長，為（Z）方向

的步長。于是每個小面元（K=1，2，3┅）內的電流為：

圖一 圖二 圖三

把此電流看作均勻分布在內的電流，這樣，整個通電螺線管內的電流可視為由緊密排列的封閉圓環形電流絲所組成。只要截面離散成足夠小的面元，便可達到所需計算精度。

如圖二所示，設螺線管的軸線為Z軸，原點在管軸的中點。管內分布的激磁電流在無限大均勻各向同性媒質中，在任意圓環形電流絲上取一電流元，其坐標為（，，）。根據畢一薩定律，該電流元在任一場點P（X，Y，Z）所引起的磁感應強度為：

=

其中為由坐標原點指向場點的矢量，為坐標原點指向電流元的矢量。此式是矢量運算式。我們針對螺線管的磁場具有對稱性的特點，通過矢量求解單個圓環電侃的膿場。即：

為方便起見，建立如圖三所示圓柱形坐標系。設環形電流絲的半徑為r，坐標原點位于圓環形電流絲的中心，Z軸垂直它的平面，于是：

其中 R=

dl，所以：

將這個積分化成橢圓積分，并作如下變量代換，即令：

，，

則：

再令：

則：

其中K，E為第一類和第二類橢圓積分。

求得以后，根據矢勢的定義式，在圓柱形坐標系中，則有：

分析可知，對于圓形電流，由于對稱于r軸的成對電流元和在P點激發的只有方向的一個分量。因而有：

于是，在任意點處的為：

前面我們已把場源離散成為m根圓形電流絲，考慮到上述關于圓環形電流絲的任意性，設場點在r方向與Z方向的坐標為、，按照場源迭加原理，可得待求場點處的磁感應強度為：

這樣，就把積分化成了求和的數值計算，即可以直接編制程序讓計算機去完成這一繁重而又雜復的計算任務。

2 程序粗框圖及其計算結果

根據問題的性質和上述計算方案，考慮到程序的通用性等因素，制定計算流程框圖如圖四所示。

以某一實驗用螺線管為例，取其螺線管的內半徑R1=2.7×10-2m，外半徑R2=3.26×10-2m，高度H=22.8×10-2m，總匝數n=1995匝，每匝線圈通有電流I=0.5安培。取軸向步長為2.85×10-2m；經向步長為1.2×10-2m，橢圓級數取前五項，共計算了20個場點。其數值表略。

3 結果分析及討論

由所得計算結果可以做以幾點討論。

1、在螺線管內部的中心軸線上，即PR=0處，各點的經向分量Br均為零，而沿軸線Z的分量BZ，亦即合磁感應強度的大小幾乎無變化，基本是均強的。但在管口處的確是內部的一半。如圖五所示。這也恰好是解析方法所得結論。

2、在螺線管管壁的內側，即離中心軸線0.0024m處，的經向分量Br在中點處幾乎為零，并沿Z軸由小到大。在Z軸方向上的分量BZ在管內各處仍然不變，在管口處的BZ亦是內部BZ的一半。而合磁感應強度仍表現為勻強的特性，但在管口處的合磁感應強度不再是內部的一半，而是稍有差別，如圖六所示。這是因管口處的邊緣效應引起的。

3、在螺線管外側，離中心軸線0.048m處，的經向分量Br在中點出為-3.239293 E-10，可認為為零.由該點起到管端其值逐點增大。而在Z方向的分量亦基本無變化。管外合磁感應強度與管內對應點的相比較，其數值小了一個數量級，但不為零，如圖七所示。

綜合計算結果和上述分析可知，對于一般密繞情況下的通電螺線管，在管內部，可以認為磁感應強度基本是處處均勻的；管端處的是內部的一半.在螺線管外側，磁感應強度不為零。存在較弱的分布，但比管內磁感應強度小得多。這些結論均與用解析方法討論所得結果相吻合，但它卻給出了清晰的數值分布概念。

圖四

圖五

圖六

圖七

作者簡介

彭麗娟（1983-），女，碩士研究生，講師，研究方向：應用數學與計算機。