均勻介質中的介電常數和電勢

孫鍇

【摘 要】電介質的介電常數對電勢的影響是電磁場中難點。本文從分析介質中極化電荷體密度分布的規律入手，得出了均勻介質中介電常數對電勢的分布規律的影響。

【關鍵詞】電介質;介電常數;極化電荷;電勢

0 引言

靜態場中，電荷q在介質中的電勢為

式中？著是介質的介電常數。類似在電場強度、電容量等公式中也只要把原來真空中的？著改為？著介質的就是介質中適用的公式了。然而，為什么在介質中要把真空中的？著改為？著的真正原因，許多人都是模糊的，似乎？著只是介質的一個標志，以至于在稍微復雜的情況中就會出錯。例如，空間內填滿了介電常數分別為？著和？著的兩種不同均勻介質，在介質中有一個點電荷q，許多人認為此點電荷在介質？著中激發的電勢是

顯然這是錯誤的。

1 介質中的極化電荷分布

一個區域內V的極化電荷總量QP與極化強度矢量P的關系是 （3）

式中積分曲面S是區域V的表面。由（3）式可以得到介質中的極化電荷體密度分布函數與極化強度矢量的關系是

（7）

（7）式表明了有兩種原因可以使介質內部產生極化電荷體密度分布？籽。（7）式右邊第二項，當？著為空間坐標的函數時，即不均勻介質，？犖？著不為零。此時只要有電場存在，？著沿電場方向有變化，介質中就有極化電荷產生。而且當與？犖？著的方向平行時極化電荷密度有極大值。 （7）式右邊第一項表明只要介質內存在自由電荷密度？籽，無論介質均勻與否，都會伴有極化電荷產生？籽。均勻介質作為一般情況下的特例，？著為常數，（7）式右邊第二項為零，即有

（8）式表明在均勻介質內部極化電荷？籽與自由電荷？籽的依存關系。由于？著≥？著，顯然有極化電荷？籽與自由電荷？籽的符號相反，？籽的數值小于？籽;而且極化電荷的分布形狀與自由電荷的分布形狀完全相同。也就是說如果自由電荷是一個點電荷q，則極化電荷也是一個點電荷q，而且點電荷q與q點電荷在同一空間點。如果自由電荷均勻分布在一個半徑為R圓線圈上，則極化電荷q也均勻分布在一個半徑為R圓線圈上，而且兩個不同電荷的圓線圈是重合的。

由（3）式還可以證明，介質表面的極化電荷面密度分布函數？滓

這里的是介質表面的法線方向的單位矢量。

2 介質中的電勢

電勢？漬與電荷？籽的關系是

此式表明電勢？漬遵從疊加原理，（x，y，z）點的電勢是空間各處的電荷在此點產生的電勢的代數和。在介質中電勢是自由電荷與極化電荷這兩類電荷激發的電勢的疊加。而對于體積無限大的介質，介質表面的面分布極化電荷？滓在無限遠處，對電勢？漬沒有貢獻

上式只考慮了均勻介質。即介質中的電勢為

例如，介質中點電荷q的電勢

注意到

這就是（1）式的結果。據此原理（2）式的正確表示是

3 建議

目前國內外流行的絕大多數電磁學教材都沒有對（1）式中的？著物理實質作透徹的詮釋。以至會引起有如（2）式中的誤解。故建議在電磁學教材以及教學中，對電介質中的極化電荷作較為仔細的單明，并對極化點電荷（12）式作證明。（12）式也可以用電磁學中的高斯定理證明如下：

積分面S是包圍點電荷q的閉合曲面。利用（5）式，并注意到只考慮均勻介質

利用（3）式有

整理即得（12）式

另外，與此同量異號的極化電荷則分布在介質的表面上。

【參考文獻】

[1]虞國寅，周國全.電動力學[M].武漢：武漢大學出版社，2008.

[2]趙凱華，陳熙謀.電磁學[M].北京：高等教育出版社.

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