幾種非常規數學問題一般解法

吳媚

【摘 要】非常規邏輯問題需要非常規的特殊解法，本文就最常用的圖解法、賦值法、抽屜原理及邏輯推理等四種方法，結合實際例子作一些探討。

【關鍵詞】非常規問題;圖解;賦值;抽屜原理;邏輯推理

有一些數學問題，例如操作問題、邏輯推理問題等，不能用通常的數學方法來解;還有一些實際問題，研究的是事物的某種狀態或性質，其本身與數量無關，也不能用通常的數學方法來解。人們習慣上將上述的這類問題稱為非常規邏輯問題。非常規邏輯問題近年來在各種數學競賽、數學建模競賽及數學知識應用競賽等賽題中頻頻出現，特別是它與實際問題密切聯系，因此受到廣泛關注。

1 圖解法

例1（柳卡問題）：假設每天中午有一艘輪船由哈佛開往紐約，同時也有一艘輪船由紐約開往哈佛，航行時間都為七晝夜，且均沿同一航線航行。問今天中午從哈佛開出的一艘輪船將會遇到幾艘從紐約開來的同一公司的輪船？

這是19世紀在一次世界科學會議期間，法國數學家柳卡向在場的數學家們提出的一個問題，它難倒了在場的所有數學家，就連柳卡本人也沒有徹底解決。后來有一位數學家通過下面的圖解法，才使問題最終得到解決。

這種方法是：用兩條橫線分別表示紐約港和哈佛港，某天中午（記作第0天）從哈佛出發的輪船在第7天中午到達紐約，用從下到上的一條斜線表示。用從上到下的斜線依次表示每天中午由紐約開出的輪船經7晝夜到達哈佛。顯然兩種斜線的交點總數就是相遇的輪船數，共15艘。

值得注意的是，上述圖解法，不但給出這一問題的一種簡單、美妙、不用數字計算的非常規解法，更有意義的是它可作為一種模型，來解決這一類型的問題， 請看下例：

例2：某路電車，由A站開往B站，每5分鐘發一輛車，全程為20分鐘。有一人騎車從B站到A站，在他出發時恰有一輛電車進站，當他到達A站時又恰有一輛電車出站，問：

（1）若騎車人在中途共遇到對面開來的10輛電車，則他出發后多少分鐘到達A站？

（2）如果騎車人由B站到A站共用50分鐘時間，則他一共遇到多少輛迎面開來的電車？

（3）若騎車人同某輛電車同時出發由A站返回B站，騎車人用40分鐘到達B站時也恰有一輛電車進站，問在中途有多少輛電車超過他？

解：仿柳卡問題圖解法，畫出下面的圖：

由圖可知：（1）騎車人從B站總共遇到12輛從對面開來的電車到達A站所用的時間，恰好等于A站開出7輛車的時間，即35分鐘。

（2）若騎車人一共用50分鐘走完全程（即由0到10的那條由下到上的斜線），可知一共遇到15輛電車。

（3）由上到下畫一條斜線（由0到8）即表示騎車人由A站出發40分鐘后到達B站，可見中途共有3輛電車超過他。

2 賦值法

賦值法解題，是對本身與數量無關的問題巧妙地賦于某些特殊的數值（如±1、0與1等）將其轉化成數量問題，然后利用整除性、奇偶性或正負號等的討論，使問題得以解決。

例3：有11只杯子都口朝上放著，然后將它們任意翻偶數只算一次操作（翻過的也可以再翻）。證明：無論操作多少次，都不能使11只杯子都口朝下。

解：將口朝上的杯子記為1，口朝下的記為-1，然后計算每操作一次后11只杯子乘積的正負號：

開始，11只杯子都口朝上，所以乘積的符號為：111=1

當翻動n個杯子（n為偶數且n≤10）使其口朝下時，乘積的符號為：

111-n·（-1）n=1·1=1

繼續討論可知，無論n是小于11的什么偶數，乘積的正負號均為正，而11只杯子都口朝下時，乘積為（-1）11=-1，故不可能辦到。

本問題的一般結論是：奇數個杯子每次翻動偶數個或偶數個杯子每次翻動奇數個，都不能使所有杯子都口朝下。

3 抽屜原理

抽屜原理是證明“存在性”問題的有力工具，其最基本形式是：將n+1（或更多）個元素任意放入n個抽屜中，則至少有一個抽屜中至少有兩個（或更多）元素。抽屜原理的正確性簡單而顯然，但具體運用并不容易，困難之處在于怎樣設置抽屜，把一個實際問題轉化為抽屜原理問題。

例4：世界上任意6個人中，總有3個人，或彼此都認識，或彼此都不認識。

這是有名的Ramsey問題，要用抽屜原理來解。

對6個人中的任一個人，不妨設為A來說，除A外的其余5人可分為同A相識或不同A相識兩類（即兩個抽屜），由抽屜原理可知，至少有一類中至少有3個人。分別討論如下：

如果同A都認識的那一類中至少有3人，若有3人互相都不認識，則結論成立;否則至少有兩個人互相認識，而這兩人又都同A認識，故有3人互相認識，結論也成立。

如果同A都不認識的那一類中至少有3人，若其中有3人互相認識，則結論成立;否則，至少有兩人彼此不認識，但這二人又都與A互不認識，故這時有3人互相不認識，結論也成立。

此問題也可以用染色法來證明：

在平面上用A1，A2，…，A6來代表6個人，設它們無三點共線。將互相認識的兩人連一條紅線，否則連一條藍線。問題就轉化為：在這15條連線中要證明至少有一個同顏色的三角形。

證明：考慮由A1出發的5條線，因為只有紅、藍兩種顏色（兩個抽屜），所以至少有3條為同色，不妨設A1A2、A1A3、A1A4為紅色。其次，再考慮△A2A3A4三邊的顏色，若均為藍色則結論成立（此三人互相不認識）;否則，至少有一條邊為紅色，例如A2A3，則△A1A2A3的三邊都為紅色，結論也成立（此三人彼此都認識）。

4 邏輯推理

有一些涉及邏輯推理方面的問題，可通過邏輯推理方法，將矛盾結論排除，找出合理結論。推理順序有順推法和逆推法。

例5：要分派A、B、C、D、E五人去執行一項任務，但按實際情況必須滿足以下條件：

（1）若A去，B也去;

（2）B、C兩人中至少有一人去;

（3）B、C兩人中必須去且只能去一人;

（4）C、D都去或都不去;

（5）E若去，則A、D都去。

問：應派誰去？

解：（逆推）：

若E去→A、D都去→B去→C不去→D不去，導自矛盾。

所以E不能去。E不去→D去→C去→B不去→A不去，符合所有條件。

∴應當派C、D去。

例6：有4個人對話：甲說：我們當中只有一個人說假話。乙說：我們當中僅有兩個人說假話。丙說：我們當中恰有三個人說假話。丁說：我們都說假話。試問：到底誰說的是真話？

解：因為四個人說的話彼此矛盾，所以不會有兩個人都說真話，至多有一個人說真話。

但四個人不都說假話（因為這時丁說的就是真話）。

由上推理可知，恰有一個人（即丙）說真話，其他人都說假話。

【參考文獻】

[1]伯納·派頓，黃煜文.身邊的邏輯學[M].中信出版社，2011.

[2]余亞杰.邏輯思維訓練大全集[M].同心出版社，2012.

[3]邢群麟，王艷明.一看就懂邏輯思維（圖解）[M].立信會計出版社，2010.

[責任編輯：薛俊歌]