網孔電流法分析理想電流源電路的研究

王秋妍 呂宏偉

摘要：電路原理是高等學校電子與電氣信息類專業的專業基礎課。針對電路理論中電路基本分析法之一“網孔電流法”進行教學探討，重點討論含有理想電流源電路的分析、處理思路，并通過例題予以分析說明，以此交流教學方法和經驗。

關鍵詞：電路原理;網孔電流法;理想電流源

中圖分類號：TM13 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2014）32-0203-03

“電路”課程是高等學校電子與電氣信息類專業的基礎課，是所有強電專業和弱點專業的必修課，該課程以分析電路中的電磁現象，研究電路的基本規律及電路的分析方法為主要內容，在整個電子與電氣信息類專業的人才培養方案和課程體系中起著承前啟后的重要作用。[1]

電路分析中最基本的方法是以元件約束（伏安關系VAR）和拓撲約束（基爾霍夫電流定律KCL和基爾霍夫電壓定律KVL）為依據，建立電路方程，進而分析電路的電流、電壓、功率等。網孔電流法屬于電阻電路的一般分析，是以網孔電流為變量，列寫方程分析電路的方法。在理解網孔電流的概念和網孔電流法基本思想的基礎上，如何掌握應用網孔電流法分析電路是十分重要的。

一、設計思路

回顧網孔電流法。網孔電流是假想的電流，網孔電流與支路電流之間通過基爾霍夫電流定律體現，網孔電流又是獨立變量，因此可以作為變量來列寫電路方程。由支路電流法和網孔電流與支路電流之間的關系，推導出網孔電流方程。剖析所得方程，建立方程與電路的聯系：觀察電路，通過自電阻、互電阻即可直接列寫以網孔電流為變量的方程，求解方程得到網孔電流，而支路電流由基爾霍夫電流定律體現，進而求得電路的電壓、功率等。

應用網孔電流法分析電路。有了網孔電流法的基本思想和分析思路，對于僅由電壓源和電阻構成的電路，可以直接列寫網孔電流方程，進行電路分析。但是，當電路中含有理想電流源時，根據網孔電流方程的實質及電流源的特性，此時無法直接列寫網孔電流方程。分析過程中緊緊抓住方程的本質和電流源的特性，歸納總結處理思路。

二、網孔電流法

網孔電流是設想在每個網孔中沿著各自網孔循環往復流動的假想的電流。這種假想的電流不僅與真實存在的支路電流之間由基爾霍夫電流定律體現，而且是獨立變量，因此可以以網孔電流為變量列寫方程。雖然是由支路電流法推導出了網孔電流方程，但是經過剖析方程的實質，完全可以拋開支路電流法，由電路的拓撲結構，通過自電阻、互電阻直接列寫電路的網孔電流方程，對于具有m個網孔的電路，其網孔電流方程的標準形式為：

（1）

方程組以網孔電流為變量，左邊按未知數順序排列，右邊是常數項。Imm第一個下標表示網孔，第二個下標表示網孔數。具有相同下標的電阻Rkk是網孔k的自電阻，自電阻總為正，有不同下標的電阻 是網孔j與網孔k之間的互電阻，互電阻的正負視流過公共支路的兩個網孔電流的方向來判斷，如果流過公共支路的兩個網孔電流方向相同，互電阻為正，反之互電阻為負，如果兩個網孔之間沒有公共支路，或者有公共支路但其電阻為零（例如共有支路間只有電壓源），則互電阻為零。注意若所有網孔電流都取為順時針（或逆時針）方向，流過公共支路的網孔電流方向必定相反，此時互電阻總是負的。[2]

在不含受控源的情況下，根據電路的拓撲結構，相鄰兩個網孔公共支路上的電阻必定相同，，即方程的系數矩陣是對稱陣。方程右邊是各網孔中所有電壓源電壓的代數和（電壓升之和），根據基爾霍夫電壓定律，與網孔電流一致的電壓源取為“—”號，反之取為“+”號。

三、應用網孔電流法分析含有獨立電流源的電路

僅由電壓源和線性電阻構成的電路，通過方程的標準形式，由自電阻、互電阻列寫網孔電流方程，求解方程，繼而分析電路。但是實際電路中除了電壓源和電阻之外，還可能含有理想電流源。

1.理想電流源

理想電流源是另一種理想電流源，它也是一些實際電源抽象、理想化的模型。通常也簡稱為電流源。

不論外部電路如何，其輸出電流總能保持定值或一定的時間函數，其值與它的兩端電壓u無關的元件叫理想電流源，其模型用圖1表示。

理想電流源的伏安關系為：

①電流源的輸出電流由電源本身決定，與外電路無關;與它兩端電壓的方向、大小無關。

②電流源兩端的電壓由電流源及外電路共同決定。

可見，如圖2所示直流電流源的伏安特性曲線，是平行于u軸其值為IS的直線，其發出的電流IS與其兩端電壓大小、方向無關。如果理想電流源IS=0，則伏安關系為U-i平面上的電壓軸，它相當于開路。

2.含有理想電流源的電路

網孔電流方程的實質是列寫網孔的基爾霍夫電壓（KVL）方程，即列寫網孔中各元件電壓的約束方程。但是，根據理想電流源的特點，其兩端的電壓無法確定，所以無法直接列寫方程。

當然，理想電流源時如果和電阻并聯（稱作有伴電流源），可利用電源等效變換，變換為電壓源和電阻的串聯，此時電路就是由電壓源和電阻構成的，可直接列寫網孔電流方程。如果沒有電阻支路和電流源并聯（稱為無伴電流源），[3]就無法等效變換，下面就對含有無伴電流源的電路進行重點討論。

電流源必定在電路中某條支路上，那么就存在兩種情況：要么電流源所在支路獨屬于某一網孔，要么電流源所在支路是兩個網孔的公共支路。

（1）理想電流源獨屬于某一網孔。如果電流源所在支路是某一網孔所獨有的，不含電流源的網孔顯然可以直接列寫網孔電流方程，由電流源的性質，就決定了它所在支路的支路電流已知且等于該電流源的電流。根據網孔電流和支路電流之間的KCL關系，可以直接確定獨自包含電流源支路的網孔電流，也就是說，獨自包含電流源支路的網孔電流是已知的，其值就等于該網孔所包含電流源的電流，取“正”還是取“負”要看網孔電流和支路電流的參考方向，如果兩者參考方向一致，取為“正”，反之取為“負”。

例1：列寫圖3所示電路的網孔電流方程。

分析：列寫網孔電流方程首先標定網孔電流。圖3、圖4所示電路，由電壓源、線性電阻和電流源組成。不含電流源的網孔，可以直接列寫網孔電流方程，對于含有理想電流源的網孔，觀察電路發現，理想電流源IS獨屬于該網孔，那么根據基爾霍夫電流定律，該網孔只需列寫基爾霍夫電流方程（KCL方程）。

解：標定網孔電流，均取為順時針方向，如圖4所示。

根據電路的拓撲結構和網孔電流方程的標準形式，電路具有3個網孔時，標準方程為：

（2）

自電阻總為正，網孔電流均取為順時針方向，互電阻總為負。對網孔1，自電阻，與網孔2的互電阻為，與網孔3的互電阻為，網孔1中電壓源US與網孔電流方向相反，取為正。同理，列寫網孔2的網孔電流方程。電流源IS獨屬于網孔3，根據基爾霍夫電流定律，列寫KCL方程，且Im3與IS方向相同，取為“正”。

（3）

上式中有3個未知數，3個方程，其中網孔3的方程是KCL方程，顯然，求解方程得到網孔電流，支路電流由KCL體現，進而求解電路的電壓、功率等。

（2）理想電流源在兩個網孔的公共支路上。如果電流源所在支路是兩個網孔的公共支路，無法直接列寫KCL方程，因此只能列寫KVL方程。但是，在列寫網孔電流方程時會遇到電流源，而電流源的伏安特性表明其兩端電壓由電流源和外電路共同決定，是未知的，無法列寫方程。為了解決這個矛盾，必須從電路的拓撲和電流源的特性出發。當電路的結構和參數不變時，顯然可以唯一確定電流源兩端的電壓，換句話說，對某一確定的電路雖然電路中電流源兩端的電壓無法計算，但是可以明確的是這個電壓是個定值，即常數。這就為列寫網孔電流方程打開了思路：為了列寫網孔電流方程可以先將電流源兩端確定不變的電壓假設出來，此時列寫的方程中多了一個未知數，要求解方程只能增加一個與之獨立的方程。問題進一步變為如何增加這個補充方程。同樣，根據電流源的伏安特性，電流源的輸出電流是個定值，這就決定了電流源所在支路電流是已知的就等于電流源的電流。支路電流已知了，根據KCL就可以列寫已知的支路電流與未知的網孔電流之間的方程，這就是求解方程需要的補充方程。

例2：列寫圖5所示電路的網孔電流方程。

分析：圖5所示電路由電壓源、電流源和電阻構成，與例1不同的是，電流源IS不再獨屬于某一網孔，而是兩個網孔共有。網孔電流方程的實質是基爾霍夫電壓方程（KVL方程），在繞行過程中必然會遇到理想電流源，根據理想電流源的特性，電流源兩端的電壓由該電流源和外電路共同決定，顯然電流源兩端的電壓未知。因此，為了列寫網孔電流方程，首先設電流源兩端電壓為U，列寫含有未知數U的網孔電流方程。但是，在電路的結構和參數都確定的情況下，電流源兩端電壓為定值即為常量。所列方程含有未知數U，多了一個未知數，必須增加補充方程。電流源的電流已知為IS，根據基爾霍夫電流定律，建立電流源電流IS和與其關聯的網孔電流之間的關系方程，方程數等于未知數，求解方程進而分析電路。

解：標定網孔電流，均取為順時針方向，設電流源兩端的電壓為U，如圖6所示。

根據網孔電流方程的標準形式，及例1的分析，可列寫網孔1的網孔電流方程。網孔2的自電導是，與網孔1之間的互電導是，與網孔3之間的關系由U體現。同理，網孔3自電阻是，與網孔1之間的互電導是，與網孔2之間的關系由U體現。

（4）

式中假設的電流源兩端電壓U是常量，整理方程，將其移到方程右邊，如式（5）所示。

（5）

觀察方程，未知數U是常量，移到等號的右邊，此方程與網孔電流方程的標準方程形式一致。此外，當電路的結構和參數確定時，電路中的電壓源和電流源對外電路而言作用時等同的，因此，假設出電流源兩端的電壓U后，將電流源IS看作電壓源U，直接按照網孔電流方程的標準形式列寫方程。

只是所列方程數少于未知數，需要增加與之相互獨立的補充方程。由基爾霍夫電流定律，建立電流源電流IS與網孔電流Im2、Im3之間的關系方程，Im2和Im3同時流過IS所在支路，Im2和IS同向取為正，Im3和IS反向為負。

增補方程：。

方程數與未知數相等，求解方程就可以進一步分析電路。

綜上所述，當電路中含有電流源時：如果電流源獨屬于某一網孔，由基爾霍夫電流定律只需列寫該網孔的KCL方程;如果電流源支路在兩個網孔的公共支路上，根據理想電流源的特性，首先設出電流源兩端的電壓U。在電路的結構和參數都確定的情況下，電流源兩端電壓為定值即常量，移到方程的右邊，也就是說列寫方程時把電流源IS當作電壓源U處理。多了一個未知數，必須增加補充方程，補充方程的原則是：建立已知的電流源電流IS與未知量（網孔電流）之間的關系方程，即根據基爾霍夫電流定律，建立電流源電流與其關聯的網孔電流之間的關系方程。方程數等于未知數，求解方程進而分析電路。

四、總結

對于由獨立電壓源和線性電阻構成的電路，根據標準網孔電流方程，由自電阻、互電阻能夠較容易的列寫方程，進行電路的分析。但是應用網孔電流法分析含有理想電流源的電路時，核心是緊緊抓住方程的實質（KVL方程）和電流源的特性，使得含有理想電流源的電路也能按照標準形式列寫方程，從而標準化方程的列寫。在列寫方程時，引入了未知數，必須增加方程，原則是建立未知量和與之相關的網孔電流之間的關系方程。

參考文獻：

[1]邱關源，羅先覺.電路（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]張永瑞.電路分析基礎[M].西安西安電子科技大學出版社， 2006.6

[3]劉敏華，賈仙宇.“電路分析基礎”課程教學方法探索[J].電氣電子教學學報，2009（1）： 90-91.

（責任編輯：王意琴）