量子力學中表象變換的教學方法研討

郭文軍+黃江偉

摘要：量子力學中的表象變換是一個重要問題，它的研究不僅對于深入理解量子力學的基本觀點至關重要，而且對于如何利用量子力學觀點處理具體問題也非常重要。本文利用牛頓力學中坐標系的觀點，解釋量子力學中為什么要引入表象變換的概念它和坐標變換的相同點和不同點。

關鍵詞：表象變換；參照系；坐標變換

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）44-0183-04

一、前言

量子力學是近代物理的兩大支柱之一，它的建立是20世紀劃時代的成就之一，可以毫不夸張的說沒有量子力學的建立，就沒有人類的現代物質文明[1，2]。量子力學在近代物理中的地位如此之重，成為物理本科專業學生最重要的課程之一，也是大多數學校招考物理專業研究生的必考科目之一。但在實際教學過程中，學生普遍感到量子力學難學，其抽象的思維方式和學生長期受到的牛頓力學思維方式格格不入，造成學生無所適從。在筆者幾年的教學活動中，尤其在講授“表象變換”一節時，學生更是感到無從著手、難于理解，所以筆者認為有必要對表象變換的教學方法進行研討。

筆者認為量子力學的難，主要在于以下幾點。

1.量子力學中的能量、動量、角動量量子化問題，相對于經典力學有很大不同。例如電子從一條經典軌道瞬時躍遷到另一條經典軌道，按牛頓力學來說完全無法解釋。

2.微觀粒子的波粒二象性，帶來很多新的物理現象，例如隧道效應、糾纏態等，也是經典物理無法想象的事情。經典物理中的決定論演化成了量子力學基金中的概率論。

3.態疊加原理，幾種量子態共存，很好地反映了微觀粒子的波動—粒子兩象性的特點，而與經典粒子運動狀態用每一時刻的坐標和動量描述有根本的區別，造成薛定諤貓的悖論，于是有了量子力學中的貓非死非活的狀態與宏觀世界的矛盾。

針對以上的難點，我們要以正確的態度看待量子力學，眾所周知，經典力學規律很接近我們的現實生活，很容易被我們接受，且被證實是相當正確的，而量子力學給我們的印象只適用于微觀世界，其實不然，它不僅適用于微觀世界也同樣支配著宏觀世界，所以我們要以物理的角度理解量子力學。物理專業的學生經過幾年經典物理的熏陶，思想上已經認可了經典物理的基本觀點，而量子力學推翻了部分經典力學的觀點，讓學生不知道哪種觀點才是正確的。本文從大家熟知的牛頓力學中坐標變換的方法出發，講述量子力學中的表象變換問題，力圖為學生揭開表象變換的神秘面紗，才能讓學生更容易從經典力學思維轉換到量子力學的思維模式。

量子力學中的表象就是用物理量的概率分布表示微觀體系中的狀態，它可以類比經典力學中的坐標，同樣其表象變換和經典力學的坐標變換有一定的相似度，所以接下來，先從牛頓力學中的坐標變換深入態疊加原理及表象變換，就可以使學者更易理解量子力學。

二、牛頓力學中的坐標變換

為了描述三維空間中一個質點的運動，我們常采用直角坐標系的方法。標記為A（x，y，z，t），也可寫為矢量的形式。

■（t）■=x（t）■+y（t）■+z（t）■ （1）

這里■，■，■分別為X、Y、Z三個方向的單位矢量（坐標基矢），都滿足歸一化條件：■·■=1，■·■=1，■·■=1。而x（t）、y（t）、z（t）分別是三個方向的分量大小。式（1）表明，任何一個質點的復雜運動都可以分解為三個簡單的一維運動，這是牛頓力學中的運動疊加原理。而這三個方向的選取并不是任意的，而是要求兩兩正交，相互獨立，即：■·■=0，■·■=0，■·■=0，這樣如果質點在■方向上運動發生變化，不會改變■和■方向的運動狀態。另外對于空間任意一點都可以表示成公式（1）的形式，說明三個坐標基矢是完備的。采用這樣的正交歸一完備的坐標系后，對于三維牛頓力學的求解大為簡化，以此引出速度的合成分解、力的合成分解等方法。

如果這個質點在一球殼上運動，那么采用球坐標計算比較簡單，質點的位置可記作（r，θ，φ），其運動方程可寫為：■（t）=a■（t）■+a■（t）■+a■（t）■，當然這里的三個單位矢量■，■，■也為兩兩正交，相互獨立，組成完備體系。如果一個質點做圓周運動，坐標矢量可簡寫為r（t）=θ（t），經過位移和角位移的變換，速度和角速度的變換，加速度和角加速度的變換后，直線運動的公式完全轉化為圓周運動的公式，可見經過簡單的坐標變換，原本非常復雜的圓周運動和一維直線運動本質上得到了統一。

直角坐標系和球坐標系之間的轉換關系如公式（2）所示，相應的兩組坐標系的基矢之間總可以寫成下列形式的關系。

x=rsinθcosφy=rsinθsinφz=rcosθ？圯■=x■■+x■■+x■■■=y■■+y■■+y■■■=z■■+z■■+z■■ （2）

由公式（2）我們可以得到同一位置矢量r（x，y，z）或r（r（r，θ，φ）在不同的坐標系中坐標轉換公式（3），也就是說我們只要求得了坐標變換矩陣S，就很容易在不同坐標系中任意變換。

x（t）y（t）z（t）=x■x■x■y■y■y■z■z■z■r（t）θ（t）φ（t）？圯

r（x，y，z）=Sr（r，θ，φ） （3）

由上述分析我們可以知道，針對不同的問題，采用合適的坐標系可以使問題的處理大大簡化，復雜的二維、三維問題可以當作一維問題處理。為此我們創造了各種的坐標系，例如直角坐標系、球坐標、柱坐標、極坐標等。而坐標系的選取最重要的原則是每個坐標的單位矢量兩兩正交，相互獨立，組成完備系統。

三、態疊加原理

態疊加原理是量子力學中最重要的觀點，表述如下：如果Ψ■和Ψ■都是量子體系的可能狀態，那么它們的線性疊加Ψ=c■ψ■+c■ψ■也是體系的一個可能狀態，推廣到更一般的情況態可以表示為許多態的線性疊加[3，4]：endprint

Ψ=c■ψ■+c■ψ■+…+c■ψ■=■c■ψ■ （4）

態疊加原理的本質是由微觀物質的波粒二象性所帶來的。

對照前一節表述和公式（1），我們可以給出態疊加的一種解釋：任何一個復雜運動可以分解為三個簡單的一維運動的線性疊加；相應的任何一個復雜的量子態，可以分解為若干個相對簡單狀態的線性疊加。這里ψ■表示這一系列簡單的狀態（基矢）。但態疊加原理中并沒有對基矢做出限制，例如要求基矢間兩兩正交，這樣一種簡單狀態（ψ■）發生了改變，其他相關狀態前的系數也要相應改變。說明這不是一個好的坐標系，不是一組好的坐標基矢。我們需要在這個問題上進一步深入研究。

■ψ■=λ■ψ■？搖 （5）

量子力學基本假設指出，力學量算符的本征函數組成正交完備系。而任意量子狀態可以由這組正交完備系線性展開。這說明以力學量的本征函數系作為基矢是一組好的坐標系，坐標系的基矢之間兩兩正交、相互獨立。量子態用力學量算符的本征函數線性展開還有更深刻的物理含義。對照第二節內容，我們可以這樣理解：在一個選定的坐標系條件下（例如選定坐標基矢為動量的本征函數系），一個質點運動是由三方向運動組合而成，相應的一個量子態是由各種不同動量的狀態組合而成，這里的每條坐標軸基矢代表不同的動量取值。根據波函數的統計解釋，每次觀測這個量子態，都只能測量到它的某一個可能值，所以每次觀測值不一定相同；但是量子態投影到各個方向上的分量大小不同，分量大的觀測到的幾率就大，所以有了量子力學的又一個假設：結合（4）、（5）式，在Ψ態中測量力學量F得到結果為λ■的幾率為c■■。

對應于牛頓力學中的坐標體系，矢量■在各個坐標軸上的投影分別為x=■·■，y=■·■，z=■·■，x，y，z分別表示矢量r在各個方向上所占的比重，比重越大這個矢量方向越偏向那根坐標軸。

這里需要注意一點：一個量子態并不是已經按照給定的坐標系分布好了，等著我們測量，而是我們人為對測量結果的一種預期。前面表述只是為了理解上的方便。

四、表象變換

前節所述每個力學量算符的本征函數都組成正交完備系，都構成一組好的坐標系。這樣我們就有了無數種的坐標系可供選擇，在解決具體的量子力學問題中，究竟應該選擇什么樣的坐標系才能使問題最簡化？前面牛頓力學中的坐標變換已經給出了好的答案，按照所求問題的形狀、運動軌跡等選取坐標系；所以在量子力學中，我們應該按照所求問題的物理量確定坐標系，例如我們要觀測一個量子態的動量，那就應該選取動量的本征函數系作為基矢，展開該量子態，這樣每次的測量值、測量值出現的幾率大小、測量的平均值等結果一目了然[5]。

一般描述量子態都習慣用坐標表象，由前面分析得知，對于具體的問題，我們需要將坐標表象轉換到相應的表象。這樣自然出現了表象變換，可以看出表象變換也就是坐標變換。

假設有F和G兩個力學量算符它們的本征值方程分別為。

■ψ■=F■ψ■ ■φ■=G■φ■？搖 （5）

ψ■，φ■分別構成完備的坐標基矢，任意的波函數Ψ可在不同表象中展開。

F表象中：Ψ=c■ψ■+c■ψ■+…+c■ψ■=■c■ψ■，其中ψ■為F表象基矢。

G表象中：Ψ=b■φ■+b■φ■+…+b■φ■=■b■φ■，其中φ■為G表象基矢。

上面兩種表象表示的是同一量子態，只是選取的坐標系不同，而且坐標系之間可以相互轉化。由前面的（1）（2）兩式可以知道。

ψ■=a■φ■+a■φ■+…+a■φ■

ψ■=a■φ■+a■φ■+…+a■φ■

ψ■=a■φ■+a■φ■+…+a■φ■？搖 （6）

即坐標表象中的每個基矢都可以由G表象中的基矢展開。它的物理含義是，ψ■量子態下每次測量坐標的值都為F■，而這種狀態下測量力學量G的值時，不一定有確定的值，可能測量結果為G、G■、G■…，其中隱含著測不準關系。本來在坐標表象下ψ■的狀態非常簡單，可比作一維運動，而變到了G表象中，狀態就非常復雜了，變成了多維運動。同樣觀測G力學量時，G表象就非常簡單。這就好比圓周運動用角描述非常簡單，而用直角坐標描述非常復雜一樣。

由（6）式我們可以得到兩表象變換的幺正矩陣

S=a■ a■ a■a■ a■ a■a■ a■ a■

幺正變換矩陣的物理含義也非常清楚了，就是一組坐標系基矢，在另一組坐標系基矢上的投影。有了幺正變換矩陣后，就很容易將一組坐標系變換為另一組坐標系：

c■c■c■=a■ a■ a■a■ a■ a■a■ a■ a■b■b■b■

五、小結

本文通過與牛頓力學中的坐標變換相對比的方法，闡述了量子力學中表象變換的基本原理和物理意義。人類認識世界和改造世界向來都是從簡單到復雜，在牛頓力學中，我們通過運動的分解和坐標系的變換，將復雜的機械運動編程簡單的一維運動，使求解的難度大為降低。而量子力學中同樣遵從了這樣的原理，表象變換的主要目的之一，就是化繁為簡，對于具體的量子力學問題采用合適的參照系（坐標系），使該問題大大簡化，便于求解。但表象變換和坐標變換雖有很多相同點，也有一些不同點，在具體運用時應有所區別，而在學習的時候可以將表象變換類比于坐標變換進行學習，在此基礎上可以更容易地理解表象變換。

參考文獻：

[1]周世勛.量子力學教程[M].北京：高等教育出版社，1979.

[2]朗道.量子力學（非相對論理論）[M].第六版.北京：高等教育出版社，2008.

[3]曾謹言.《量子力學》卷I[M].第四版.北京：科學出版社，2007.

[4]陸培森.量子力學中的態疊加原理[J].四川師院學報，1982，（4）.

[5]祝玉華，石鳳良，姚久民.對量子力學中表象及其變換的理解[J].唐山師范學院學報，2009，31（2）.

基金項目：上海理工大學量子力學核心課程建設

作者簡介：郭文軍（1976-），男，山西臨汾人，副教授，博士，理論物理方向。endprint