淺析構造法在初等數學中的應用

芮媛媛+王天予

摘要：現代數學素質教育要求大力提高學生的數學素養，這不僅要使學生掌握數學知識，而且要使學生掌握滲透于數學知識中的數學思想方法，使他們能用數學知識和方法解決實際問題。構造法作為一種數學方法，不同于一般的邏輯方法，一步一步尋求必要條件，直至推導出結論，它屬于非常規思維。其本質特征是“構造”，用構造法解題，無一定之規，表現出思維的試探性、不規則性和創造性。數學證明中的構造法一般可分為兩類，一類為直接性構造法，一類為間接性構造法。

關鍵詞：構造法；構造；幾何變換

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）44-0204-03

一、引言

解數學問題時，常規的思考方法是由條件到結論的定向思考，但有些問題用常規的思維方式來尋求解題途徑卻比較困難，甚至無從著手。在這種情況下，經常要求我們改變思維方向，換一個角度去思考從而找到一條繞過障礙的新途徑。構造法就是這樣的手段之一。構造法是運用數學的基本思想經過認真地觀察，深入地思考、分析，遷移聯想，正確思維，巧妙地、合理地構造出某些元素、某種模式，使問題轉化為新元素的問題，或轉化為新元素之間的一種新的組織形式，從而使問題得以解決。構造法作為數學的一種重要的方法，它最大的特點是：創造性地使用已知條件。構造法的內涵十分豐富沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性和現實問題的特殊行為基礎，針對具體問題的特點而采取相應的解決辦法。古希臘數學家歐幾里得不僅是歐氏幾何的奠基人，而且也是數學上構造法的創始人。在《幾何原本》中，他第一次用構造法巧妙地證明了數論中以他的名字命名的基本定理“素數的個數是無窮的”。歷史上古今中外不少數學家，都曾經用構造法成功地解決過數學上的難題，如瑞士數學家歐拉通過映射構造數學模型，成功地解決了著名的哥尼斯保七橋問題；又如我國古代數學家通過割補構造給出了勾股定理的證明。怎樣構造呢？當某些數學問題使用通常辦法按定式思維去解很難奏效時，可根據題設條件和結論的特征、性質展開聯想，通常是從一個目標聯想起我們曾經使用過可能達到目的的方法、手段，進而構造出解決問題的特殊模式，這就是構造法解題的思路。構造法是幫助發現數學理論和解決數學問題的方法。它在數學解題中的作用主要表現在兩個方面：一是許多問題本身有構造性的要求，或者可以通過構造而直接得解；二是有些問題需要通過構造出一個與原問題有關或等價的新問題（我們亦稱之為輔助問題），并通過輔助問題幫助原問題的解決，這種巧妙構思正是構造法的技巧與魅力所在。

二、構造法的應用

運用構造法解決問題，關鍵在于構造什么和怎么構造。充分地挖掘題設與結論的內在聯系，把問題與某個熟知的概念、公式、定理、圖形聯系起來，進行構造，往往能促使問題轉化，使問題中原來蘊含不清的關系和性質清晰地展現出來，從而恰當地構造數學模型，進而謀求解決題目的途徑。

用構造法解題時，被構造的對象是多種多樣的，按它的內容可分為數、式、函數、方程、數列、復數、圖形、圖表、幾何變換、對應、數學模型、反例等，從下面的例子可以看出這些想法的實現是非常靈活的，沒有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以嘗試從中總結規律：在運用構造法時，一要明確構造的目的，即為什么目的而構造；二要弄清楚問題的特點，以便依據特點確定方案，實現構造。下面按構造對象的不同將構造方法分別予以舉例說明。

1.輔助數與式的構造。在求解某些數學問題時，利用矛盾的對立統一性，充分揭示條件與結論的內在聯系，探索構造適宜的數或式，來架設解題的通道。

例1 正數a，b滿足a■3+b■3=2，求證：a+b≤2。分析：條件式中次數是3次，而結論式中是1次，所以需要降冪。又結論式是不等式，當且僅當a=b=1時成立。于是考慮構造均值不等式。由均值不等式a■3+b■3+c■3≥3abc得：a■3+13+13≥3a （1）？搖 b■3+13+13≥3b （2） 由（1）+（2）變形整理得：a+b≤2

2.函數的構造。在求解某些數學問題時，根據問題的條件，構想組合一種新的函數關系，使問題在新的觀念下轉化并利用函數的有關性質解決原問題是一種行之有效的解題手段。構造函數證（解）問題是一種創造性思維過程，具有較大的靈活性和技巧性。在運用過程中，應有目的、有意識地進行構造，始終“盯住”要證、要解的目標。

例2 求函數y=■+■的最大值。

分析：由根號下的式子看出x+1-x=1且0≤x≤1

故可聯想到三角函數關系式并構造x=sin■θ（0≤θ≤■）

所以y=sinx+cosx=■sin（θ+■）

當θ=■即x=■時，y■=■

3.方程的構造。方程，作為中學數學的重要內容之一，與數、式、函數等諸多知識密切相關。在數學解題中，根據題目的已知條件和結論、性質與特征，構造出某種數學模型（如方程模型），通過對模型的解釋與研究，實現問題的解決，這是解數學題中常用的思想與方法.即有目的地構造方程，以溝通問題中條件與結論的聯系，使問題中的隱含關系明朗化，從而簡捷迅速地使問題獲解.構造方程是初等代數的基本方法之一。如列方程解應用題，求動點的軌跡方程等即屬此法。

構造方程解題體現了方程的觀點，運用方程觀點解題可歸結為3個步驟：

1.將所面臨的問題轉化為方程問題；

2.解這個方程或討論這個方程的有關性質，得出相應結論；

3.將方程的相應結論再返回為原問題的結論。

例3 設a>b>c且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a+b的范圍。

分析：由a+b+c=1得a+b=1-c？搖 （1）

將（1）的兩邊平方并將a2+b2+c2=1代入得

ab=c2-c ？搖（2）endprint

由（1）（2）可知，a，b是方程x2+（c-1）x+（c2-c）=0的兩個不等的實根

于是Δ=（c-1）■-4（c2-c）=-3c2+2c+1>0

解得：-■

∴1

4.數列的構造。在處理與自然數n有關的數學問題時，根據題目所提供的特征，通過替換、設想等構造出一個與欲解（證）問題有關的數列（數組），并對該數列（數組）的特征進行分析，常可獲得解題的途徑。如果從分析問題所提出的信息知道其本質與數列有關，那么該問題就可以考慮運用構造數列的方法來解。對于某些關于自然數的不等式問題，與數列有著密切的聯系，這時也可構造有關的數列模型，利用其單調性解決.

例4 求證：■+■+…+■>1

（其中n∈N■）。

分析：構造數列模型=a■=■+■+…+■-1，

則有a■-a■=■+■+■-■=■+■-■=■>0，所以數列a■為遞增數列。又因a■=■+■+■-1=■>0，故a■>0（其中n∈N■），即原不等式得證。

評注：欲證含有與自然數n有關的和的不等式

f（n）-g（n），可以構造數列模型a■=f（n）-g（n），只需證明數列a■是單調遞增，且a■>0。另外，本題也可以用數學歸納法證明，但用構造數列模型證明簡潔.對于某些關于自然數的不等式問題，與數列有著密切的聯系，這時也可構造有關的數列模型，利用其單調性解決.

5.構造幾何圖形（體）。如果問題條件中的數量關系有明顯的或隱含的幾何意義與背景，或能以某種方式與幾何圖形建立起聯系，則可考慮通過構造幾何圖形將題設中的數量關系直接在圖形中得以實現，然后，借助于圖形的性質在所構造的圖形中尋求問題的結論。構造的圖形，最好是簡單而又熟悉其性質的圖形。這些幾何圖形包括平面幾何圖形、立體幾何圖形及通過建立坐標系得到的解析幾何圖形。

例5 求證：三角形的三條高相交于一點。分析：本命題若用平面幾何上的綜合證法來證明較為復雜，而通過構造平面直角坐標系，證明則顯得極為簡潔.以AB所在直線為x軸，AB上的高CD所在直線為y軸，建立平面直角坐標，如圖1。設A、B、C、D的坐標分別為（a，0）、（b，0）、（0，c）、（0，0），則三條高線的方程分別為：

BE：ax-cy-ab=0

AF：bx-cy-ab=0

CD：x=0

因為a -c -abb -c -ab1 0 0=0，故三高共點O。

6.構造模型。數學解題的一個基本思想就是設法將所要求解的問題轉化為我們熟悉的或容易解決的問題，模型構造在解排列組合問題時尤顯重要.在教學過程中經常強化這一思想，以便尋求更便捷的解法。

例6 現有10個完全相同的球全部分給7個班級，每班至少一個球，問共有多少種不同的分法？

分析：解：題目中球的分法有三類：

（1）有三個班每個班分到2個球，其余4個班每班分到一個球，其分法種數是：N■=C■■；

（2）有一個班分到3個球，有一個班分到2個球，其余5個班每班分到一個球，其分法種數是N■=C■■C■■；

（3）有一個班分到4個球，其余6個班每班分到1個球，其分法種數是N■=C■■。

所以10個球按題意分法種數為N=N■+N■■+N■=C■■+

C■■C■■+C■■=84。

由上面解題過程可以明顯感到，這類問題進行分類計算比較煩瑣，若上題中球的數目較多，處理起來將更加困難，因此我們需要尋求一種新的模式來解決該類問題，由此我們創設這樣一種虛擬的模型——插板。

將10個相同的球排成一行，10個球之間出現了9個空檔（除去首尾兩個空檔），現在我們用“檔板”把10個球隔成有序的7份，每個班級依次按班級序號分到對應位置的幾個球（可能是1個、2個、3個、4個）。這樣每個班級分到球的個數不在于它們所排的位置，借助于這樣一種虛擬的“檔板”分配物品的方法稱之為“隔板法”。使得解題過程更為簡潔明了。

由上述情境分析可知，分球的方法實際是為檔板的插法：即在9個空檔之中插入6個“檔板”，其方法。種數為C■■=84，這種方法簡潔明了。

綜上可知，構造法真正體現了“數式與圖形的溝通、直覺與邏輯的互動”以及數學發現的思維特點，“構造”不是“胡思亂想”，而是以所掌握的知識為背景，以具備的能力為基礎，以觀察為先導，以分析為武器，通過仔細地觀察、分析、去發現問題的各個環節以及其中的聯系，從而為尋求解法創造條件。在應用構造法時，要明確目的，需要構造的是什么，根據什么設計構造方案。構造的模型結構形式應盡可能的簡單，以便于問題的解決，盡可能地使復雜問題簡單化；構造的模型必須是熟悉的，通過熟悉的模型將難以下手的問題轉化為熟悉的問題；構造的模型應盡可能的直觀，通過構造使問題變得直觀明了。

用構造法教學有利于開拓學生的思維，有利于培養學生的思維能力，有利于學生的思維由單一轉化為多角度。它不僅開拓了學生的解題思路，而且加深了學生對數學的理解，并能給學生一種數學美的享受。最后還應指出，構造法并非是上述題型的唯一解法，并且構造法也不只限于本文提到的幾種，對于同一道題既能有幾種構造法，也可以用其他方法來解，教師應注意在學習研究的過程中注意對學生創新性思維的培養，使學生體會知識間的內在聯系和互相轉化，能創造性地構造解決問題的有力條件，巧妙地解決問題，從而獲得學習的愉悅感和成功的體驗。

參考文獻：

[1]李明振.數學方法與解題研究[M].第二版.上海科技教育出版社，2002：339-400.

[2]賀金華.數學教學中如何培養學生的思維品質[J].數學教學通訊，2004，（3）：38-40.

[3]劉朝斌.解一元二次不等式的幾點技巧[J].數學教學通訊，2004，（3）：46-47.

[4]王秀奎，李昆.構造解析幾何模型求函數值域[J].語數外，2006，（2）：37-38.

作者簡介：芮媛媛（1993-），女，學士，江蘇南京人，研究方向：初等數學教育研究；王天予（1994-），女，學士，江蘇南京人，研究方向：數學教育。

由（1）（2）可知，a，b是方程x2+（c-1）x+（c2-c）=0的兩個不等的實根

于是Δ=（c-1）■-4（c2-c）=-3c2+2c+1>0

解得：-■

∴1

4.數列的構造。在處理與自然數n有關的數學問題時，根據題目所提供的特征，通過替換、設想等構造出一個與欲解（證）問題有關的數列（數組），并對該數列（數組）的特征進行分析，常可獲得解題的途徑。如果從分析問題所提出的信息知道其本質與數列有關，那么該問題就可以考慮運用構造數列的方法來解。對于某些關于自然數的不等式問題，與數列有著密切的聯系，這時也可構造有關的數列模型，利用其單調性解決.

例4 求證：■+■+…+■>1

（其中n∈N■）。

分析：構造數列模型=a■=■+■+…+■-1，

則有a■-a■=■+■+■-■=■+■-■=■>0，所以數列a■為遞增數列。又因a■=■+■+■-1=■>0，故a■>0（其中n∈N■），即原不等式得證。

評注：欲證含有與自然數n有關的和的不等式

f（n）-g（n），可以構造數列模型a■=f（n）-g（n），只需證明數列a■是單調遞增，且a■>0。另外，本題也可以用數學歸納法證明，但用構造數列模型證明簡潔.對于某些關于自然數的不等式問題，與數列有著密切的聯系，這時也可構造有關的數列模型，利用其單調性解決.

5.構造幾何圖形（體）。如果問題條件中的數量關系有明顯的或隱含的幾何意義與背景，或能以某種方式與幾何圖形建立起聯系，則可考慮通過構造幾何圖形將題設中的數量關系直接在圖形中得以實現，然后，借助于圖形的性質在所構造的圖形中尋求問題的結論。構造的圖形，最好是簡單而又熟悉其性質的圖形。這些幾何圖形包括平面幾何圖形、立體幾何圖形及通過建立坐標系得到的解析幾何圖形。

例5 求證：三角形的三條高相交于一點。分析：本命題若用平面幾何上的綜合證法來證明較為復雜，而通過構造平面直角坐標系，證明則顯得極為簡潔.以AB所在直線為x軸，AB上的高CD所在直線為y軸，建立平面直角坐標，如圖1。設A、B、C、D的坐標分別為（a，0）、（b，0）、（0，c）、（0，0），則三條高線的方程分別為：

BE：ax-cy-ab=0

AF：bx-cy-ab=0

CD：x=0

因為a -c -abb -c -ab1 0 0=0，故三高共點O。

6.構造模型。數學解題的一個基本思想就是設法將所要求解的問題轉化為我們熟悉的或容易解決的問題，模型構造在解排列組合問題時尤顯重要.在教學過程中經常強化這一思想，以便尋求更便捷的解法。

例6 現有10個完全相同的球全部分給7個班級，每班至少一個球，問共有多少種不同的分法？

分析：解：題目中球的分法有三類：

（1）有三個班每個班分到2個球，其余4個班每班分到一個球，其分法種數是：N■=C■■；

（2）有一個班分到3個球，有一個班分到2個球，其余5個班每班分到一個球，其分法種數是N■=C■■C■■；

（3）有一個班分到4個球，其余6個班每班分到1個球，其分法種數是N■=C■■。

所以10個球按題意分法種數為N=N■+N■■+N■=C■■+

C■■C■■+C■■=84。

由上面解題過程可以明顯感到，這類問題進行分類計算比較煩瑣，若上題中球的數目較多，處理起來將更加困難，因此我們需要尋求一種新的模式來解決該類問題，由此我們創設這樣一種虛擬的模型——插板。

將10個相同的球排成一行，10個球之間出現了9個空檔（除去首尾兩個空檔），現在我們用“檔板”把10個球隔成有序的7份，每個班級依次按班級序號分到對應位置的幾個球（可能是1個、2個、3個、4個）。這樣每個班級分到球的個數不在于它們所排的位置，借助于這樣一種虛擬的“檔板”分配物品的方法稱之為“隔板法”。使得解題過程更為簡潔明了。

由上述情境分析可知，分球的方法實際是為檔板的插法：即在9個空檔之中插入6個“檔板”，其方法。種數為C■■=84，這種方法簡潔明了。

綜上可知，構造法真正體現了“數式與圖形的溝通、直覺與邏輯的互動”以及數學發現的思維特點，“構造”不是“胡思亂想”，而是以所掌握的知識為背景，以具備的能力為基礎，以觀察為先導，以分析為武器，通過仔細地觀察、分析、去發現問題的各個環節以及其中的聯系，從而為尋求解法創造條件。在應用構造法時，要明確目的，需要構造的是什么，根據什么設計構造方案。構造的模型結構形式應盡可能的簡單，以便于問題的解決，盡可能地使復雜問題簡單化；構造的模型必須是熟悉的，通過熟悉的模型將難以下手的問題轉化為熟悉的問題；構造的模型應盡可能的直觀，通過構造使問題變得直觀明了。

用構造法教學有利于開拓學生的思維，有利于培養學生的思維能力，有利于學生的思維由單一轉化為多角度。它不僅開拓了學生的解題思路，而且加深了學生對數學的理解，并能給學生一種數學美的享受。最后還應指出，構造法并非是上述題型的唯一解法，并且構造法也不只限于本文提到的幾種，對于同一道題既能有幾種構造法，也可以用其他方法來解，教師應注意在學習研究的過程中注意對學生創新性思維的培養，使學生體會知識間的內在聯系和互相轉化，能創造性地構造解決問題的有力條件，巧妙地解決問題，從而獲得學習的愉悅感和成功的體驗。

參考文獻：

[1]李明振.數學方法與解題研究[M].第二版.上海科技教育出版社，2002：339-400.

[2]賀金華.數學教學中如何培養學生的思維品質[J].數學教學通訊，2004，（3）：38-40.

[3]劉朝斌.解一元二次不等式的幾點技巧[J].數學教學通訊，2004，（3）：46-47.

[4]王秀奎，李昆.構造解析幾何模型求函數值域[J].語數外，2006，（2）：37-38.

作者簡介：芮媛媛（1993-），女，學士，江蘇南京人，研究方向：初等數學教育研究；王天予（1994-），女，學士，江蘇南京人，研究方向：數學教育。

由（1）（2）可知，a，b是方程x2+（c-1）x+（c2-c）=0的兩個不等的實根

于是Δ=（c-1）■-4（c2-c）=-3c2+2c+1>0

解得：-■

∴1

4.數列的構造。在處理與自然數n有關的數學問題時，根據題目所提供的特征，通過替換、設想等構造出一個與欲解（證）問題有關的數列（數組），并對該數列（數組）的特征進行分析，常可獲得解題的途徑。如果從分析問題所提出的信息知道其本質與數列有關，那么該問題就可以考慮運用構造數列的方法來解。對于某些關于自然數的不等式問題，與數列有著密切的聯系，這時也可構造有關的數列模型，利用其單調性解決.

例4 求證：■+■+…+■>1

（其中n∈N■）。

分析：構造數列模型=a■=■+■+…+■-1，

則有a■-a■=■+■+■-■=■+■-■=■>0，所以數列a■為遞增數列。又因a■=■+■+■-1=■>0，故a■>0（其中n∈N■），即原不等式得證。

評注：欲證含有與自然數n有關的和的不等式

f（n）-g（n），可以構造數列模型a■=f（n）-g（n），只需證明數列a■是單調遞增，且a■>0。另外，本題也可以用數學歸納法證明，但用構造數列模型證明簡潔.對于某些關于自然數的不等式問題，與數列有著密切的聯系，這時也可構造有關的數列模型，利用其單調性解決.

5.構造幾何圖形（體）。如果問題條件中的數量關系有明顯的或隱含的幾何意義與背景，或能以某種方式與幾何圖形建立起聯系，則可考慮通過構造幾何圖形將題設中的數量關系直接在圖形中得以實現，然后，借助于圖形的性質在所構造的圖形中尋求問題的結論。構造的圖形，最好是簡單而又熟悉其性質的圖形。這些幾何圖形包括平面幾何圖形、立體幾何圖形及通過建立坐標系得到的解析幾何圖形。

例5 求證：三角形的三條高相交于一點。分析：本命題若用平面幾何上的綜合證法來證明較為復雜，而通過構造平面直角坐標系，證明則顯得極為簡潔.以AB所在直線為x軸，AB上的高CD所在直線為y軸，建立平面直角坐標，如圖1。設A、B、C、D的坐標分別為（a，0）、（b，0）、（0，c）、（0，0），則三條高線的方程分別為：

BE：ax-cy-ab=0

AF：bx-cy-ab=0

CD：x=0

因為a -c -abb -c -ab1 0 0=0，故三高共點O。

6.構造模型。數學解題的一個基本思想就是設法將所要求解的問題轉化為我們熟悉的或容易解決的問題，模型構造在解排列組合問題時尤顯重要.在教學過程中經常強化這一思想，以便尋求更便捷的解法。

例6 現有10個完全相同的球全部分給7個班級，每班至少一個球，問共有多少種不同的分法？

分析：解：題目中球的分法有三類：

（1）有三個班每個班分到2個球，其余4個班每班分到一個球，其分法種數是：N■=C■■；

（2）有一個班分到3個球，有一個班分到2個球，其余5個班每班分到一個球，其分法種數是N■=C■■C■■；

（3）有一個班分到4個球，其余6個班每班分到1個球，其分法種數是N■=C■■。

所以10個球按題意分法種數為N=N■+N■■+N■=C■■+

C■■C■■+C■■=84。

由上面解題過程可以明顯感到，這類問題進行分類計算比較煩瑣，若上題中球的數目較多，處理起來將更加困難，因此我們需要尋求一種新的模式來解決該類問題，由此我們創設這樣一種虛擬的模型——插板。

將10個相同的球排成一行，10個球之間出現了9個空檔（除去首尾兩個空檔），現在我們用“檔板”把10個球隔成有序的7份，每個班級依次按班級序號分到對應位置的幾個球（可能是1個、2個、3個、4個）。這樣每個班級分到球的個數不在于它們所排的位置，借助于這樣一種虛擬的“檔板”分配物品的方法稱之為“隔板法”。使得解題過程更為簡潔明了。

由上述情境分析可知，分球的方法實際是為檔板的插法：即在9個空檔之中插入6個“檔板”，其方法。種數為C■■=84，這種方法簡潔明了。

綜上可知，構造法真正體現了“數式與圖形的溝通、直覺與邏輯的互動”以及數學發現的思維特點，“構造”不是“胡思亂想”，而是以所掌握的知識為背景，以具備的能力為基礎，以觀察為先導，以分析為武器，通過仔細地觀察、分析、去發現問題的各個環節以及其中的聯系，從而為尋求解法創造條件。在應用構造法時，要明確目的，需要構造的是什么，根據什么設計構造方案。構造的模型結構形式應盡可能的簡單，以便于問題的解決，盡可能地使復雜問題簡單化；構造的模型必須是熟悉的，通過熟悉的模型將難以下手的問題轉化為熟悉的問題；構造的模型應盡可能的直觀，通過構造使問題變得直觀明了。

用構造法教學有利于開拓學生的思維，有利于培養學生的思維能力，有利于學生的思維由單一轉化為多角度。它不僅開拓了學生的解題思路，而且加深了學生對數學的理解，并能給學生一種數學美的享受。最后還應指出，構造法并非是上述題型的唯一解法，并且構造法也不只限于本文提到的幾種，對于同一道題既能有幾種構造法，也可以用其他方法來解，教師應注意在學習研究的過程中注意對學生創新性思維的培養，使學生體會知識間的內在聯系和互相轉化，能創造性地構造解決問題的有力條件，巧妙地解決問題，從而獲得學習的愉悅感和成功的體驗。

參考文獻：

[1]李明振.數學方法與解題研究[M].第二版.上海科技教育出版社，2002：339-400.

[2]賀金華.數學教學中如何培養學生的思維品質[J].數學教學通訊，2004，（3）：38-40.

[3]劉朝斌.解一元二次不等式的幾點技巧[J].數學教學通訊，2004，（3）：46-47.

[4]王秀奎，李昆.構造解析幾何模型求函數值域[J].語數外，2006，（2）：37-38.

作者簡介：芮媛媛（1993-），女，學士，江蘇南京人，研究方向：初等數學教育研究；王天予（1994-），女，學士，江蘇南京人，研究方向：數學教育。