分段函數(shù)的單調(diào)性

2014-10-27 15:11:53范紅星

中學(xué)生天地·高中學(xué)習(xí)版 2014年10期

范紅星

例：已知f（x）=（3a-1）x+4a，x<1，logax，x≥1是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

（A）（0，1）

（B） 0，

（C），

（D），1

錯(cuò)解：當(dāng)x<1時(shí)， f（x）=（3a-1）x+4a遞減，得3a-1<0，即a<；當(dāng)x≥1時(shí)， f（x）=logax遞減，得0

錯(cuò)因分析：這一錯(cuò)誤解法在同學(xué)中普遍存在，選項(xiàng)B是不對(duì)的. 主要錯(cuò)誤原因是同學(xué)們只從局部認(rèn)識(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減的意義，沒(méi)有從全局上理解函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減的深刻含義.

事實(shí)上，當(dāng)x<1時(shí)f（x）=（3a-1）x+4a遞減、x≥1時(shí)f（x）=logax遞減，并不能保證f（x）在（-∞，+∞）上遞減. 如圖1所示，當(dāng)x1

真正滿足題意的是圖2的情形，從圖上可以看出：除了要滿足x<1時(shí)f（x）=（3a-1）x+4a遞減、x≥1時(shí)f（x）=logax遞減外，還必須滿足[（3a-1）x+4a]min≥（logax）max. 因此在判斷分段函數(shù)單調(diào)性時(shí)，要特別注意臨界情況的分析.

正解：由題意得3a-1<0，0

【練一練】

（1）若函數(shù)f（x）= ax，x>1，4-x+2，x≤1是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

（A）（1，+∞）

（B）（1，8）

（C）（4，8）

（D） [4，8）

（2）若函數(shù)f（x）=（4-2a2）x+a2，x≤1， 2a+log3（x+2），x>1在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 .

（3）已知函數(shù)f（x）=（3-a）x-3，x≤7，ax-6，x>7，數(shù)列{an}滿足：an=f（n），n∈N*且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

【參考答案】

（1）由題意得a>1，4->0，4-×1+2≤a，

所以a>1，a<8，a≥4，解得4≤a<8，選D.

（2）由題意得4-2a2>0，（4-2a2）×1+a2≤2a+1，

所以-

（3）當(dāng)x>7時(shí)，由于{an}是遞增數(shù)列，所以ax-6遞增，a>1.同理，x≤7時(shí)，（3-a）x-3遞增，所以3-a>0，a<3.在兩段“銜接”處要求a72或a<-9. 綜上可得，a∈（2，3）.