解不等式、集合表示與運算及簡易邏輯

王健

知識要點：解不等式

解不等式是一項基礎能力，廣泛應用在集合運算、函數、線性規劃等有關問題中.

★一元二次不等式ax2+bx+c>0（或ax2+bx+c<0）（a≠0）的解法

先求根，然后結合函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象得到結論. 求根過程中優先考慮因式分解，如有困難再求判別式.口訣：“同號兩根之外，異號兩根之間.”

★絕對值不等式xa）（a>0）的解法

① x

② x>ax2>a2x>a或x<-a；

③ f（x）

含有多個絕對值符號的不等式，可用“按零點分區間討論去絕對值”的方法來解.

★一元高次不等式的解法——標根法

① 因式分解：將一元高次不等式化為：（x-x1）（x-x2）·…·（x-xn）>0（或<0）的形式，并使每一個因式中x的系數為正.

② 畫出曲線：先將每一個因式的根標在數軸上，再從最大根的右上方依次通過數軸上代表各根的點畫曲線.如果數值相同的根出現偶數次，則曲線到達該點后彈回，不穿過數軸；如果數值相同的根出現奇數次，則曲線可以通過該點.口訣：“奇穿過偶彈回.”

③ 寫出解集：根據所繪制曲線呈現的f（x）的符號變化情況，寫出不等式的解集.

★分式不等式的解法

① 移項：使不等式右邊為0（標準化）；

② 通分：使每一個因式中最高次項的系數為正（因式化）；

③ 求解：用標根法，求解時注意分母不能為零.（注：必修不作要求）

★其他函數不等式的解法

通法：以函數定義域為前提，統一函數名，利用函數單調性求解.

【提醒】

① 解分式不等式時，不能簡單地在不等式兩邊同時乘以分母來化簡，要注意討論分母的正負情況，如果分母為負，乘以分母時不等式符號需要改變.

② 在解函數型不等式時，首先要使得所求解函……