復合衰落信道下分布式MIMO系統下行中斷概率分析

彭文杰，李岳衡，居美艷，黃平，譚國平

(河海大學 計算機與信息學院，江蘇 南京 211100)

1 引言

多輸入多輸出（MIMO）技術能在不增加系統帶寬的情況下成倍提高MIMO系統容量，且信道可靠性亦大為增強[1]。分布式天線系統（DAS）作為傳統MIMO技術的拓展，通過將天線在小區內分開放置以提高接收信噪比，進而提高整個系統的無線信號覆蓋能力[2]。由于分布式MIMO系統綜合了傳統MIMO和分布式天線系統的優點，其各對收發鏈路之間將更加獨立，故具有大容量、低功耗、更好的信號覆蓋等優勢[4～6]，因而被認為是未來B4G/5G無線通信系統的備選方案之一。

不過在分布式MIMO系統投入實際應用前，包括諸如分布式天線端口在小區內位置最優配置以及各天線發射功率分配在內的系統上層網絡規劃將是設計者所面臨的一個關鍵問題。而系統中斷概率作為衡量無線通信系統整體性能的一項重要指標，其參數值能非常有效地指導MIMO系統網絡規劃，因此研究系統中斷概率顯然具有極其重要的理論指導及應用價值。

文獻[7]則綜合考慮了Rayleigh衰落、陰影衰落和路徑損耗，建立了一個復合衰落信道模型，并推導出中斷概率的顯性表達式，但路徑損耗被設定為固定值，這與實際情況明顯不符。文獻[9]完善了文獻[8]中的系統模型，綜合考慮了Nakagami-m衰落、陰影衰落和路徑損耗，推導得到了分布式MIMO系統的系統中斷概率。雖然文獻[7～9]已比較系統地分析了分布式MIMO系統的中斷概率問題，但其分析仍然存在局限性，即所有分析都是基于小區內某一固定位置上的系統中斷概率加以分析。文獻[10]則進一步考慮了移動臺在小區內的分布情況，對比了移動臺均勻分布和存在小區熱點時的小區平均中斷概率，但該文中的移動臺分布模型并不能完全客觀地反映小區移動臺的實際分布情形，故仍有待完善；此外在復合信道建模過程中，其小尺度衰落僅采用簡單Rayleigh衰落，這一點也不能體現城市衰落的客觀實際。

本文將在前人研究成果的基礎之上對上述論文中有關分布式 MIMO系統中斷概率研究中的不完善之處進行改進。首先綜合考慮Nakagami-m衰落、路徑損耗和陰影衰落，建立較完善的Gamma-Lognormal復合衰落信道模型，并搭建一個簡單的分布式MIMO系統。然后針對存在中心基站的系統模型，提出一種新的更接近實際應用環境的準均勻小區移動臺分布模型，并給出相應概率密度函數。接著利用矩生成函數、Gauss-Hermite積分公式、Simpson積分公式等數學手段推導任意移動臺分布下、單小區內系統下行平均中斷概率的閉合表達式。最后，將本文提出的準均勻小區移動臺分布模型應用到該中斷概率閉合表達式中，并通過MATLAB數值仿真驗證所推導得到的閉合表達式及小區移動臺分布模型的合理性。

2 系統模型

經典分布式MIMO系統結構框如圖1所示：假設一個半徑為R的圓形小區內，存在Mt個基站，放置在不同位置上，記作BSi，i=1,2,…,Mt。為充分利用空間復用或分集，每個基站上帶有L根天線。在本文分析的系統中，存在中心基站BS1，其余分布式基站天線則均勻分布在半徑為Rbs的圓上，所有基站天線通過光纖連接到中心處理器[11]。小區內存在移動臺 MS，不失一般性地，假設每個移動臺帶有Mr根接收天線，組成一個簡單的分布式MIMO系統。由于是圓形小區，所以采用極坐標，并以小區中心為坐標原點，故BSi位置記作(Rbs,θi)，MS所在位置記作(ρ,θ)。

圖1 分布式MIMO系統示意

在系統下行傳輸過程中，基站采用選擇—最大比發送機制，即選擇能夠使移動臺接收信噪比最大的基站與之建立鏈路并進行數據傳輸，而基站內多天線則采用最大比發送。為簡化問題的分析，本文在采用選擇發送機制時僅考慮接收信噪比而不是信干噪比作為判決度量，這是因為在實際應用中，為了克服多用戶通信時存在的同頻干擾，系統一般都會引入導頻信道以供測量之需；而導頻信道與專用數據傳輸信道之間可通過采用碼分或者時分模式加以區分，如此則可依靠導頻信道進行接入基站端口的選擇測量而忽略同頻干擾。

MS上第 j根天線接收到基站BSi發送的下行信號可以表示為

綜合考慮包含Nakagami-m衰落、陰影衰落和路勁損耗的復合信道模型，其數學表示為[9]

Si服從對數正態分布，概率密度函數為[12]

其中，ξ=10 ln10，μi和σi都以dB為單位，分別是10lgSi的均值和標準差。根據文獻[13]的研究結果，均值μi與路徑損耗有關，可以建模為

其中，d0為參考距離，β是路徑損耗指數，di代表MS與BSi之間的距離，在基站天線位置已知的前提下，與MS所在位置(ρ,θ)有關，可以表示為

根據上述建模，可以得到MS上第j根接收天線所接收到的信噪比為

其中，Ωi=ESiN0。由于Si服從對數正態分布，因此Ωi也服從對數正態分布，參照式(5)，其概率密度函數可表示為

其中，wi=μi+10lg(E N0)，是10lgΩi的均值，標準差仍然為σi。

移動臺接受信號時采用最大比合并，得到輸出信噪比為

給定Ωi時，γi的條件概率密度函數可以通過對條件矩生成函數先取反，再做拉普拉斯逆變換得到[12]。利用文獻[14]中的式(26)，可以得到

其中，L-1(·)表示拉普拉斯逆變換，Γ(·)為伽馬函數。

最后通過對條件Ωi進行概率積分可得輸出信噪比γi的概率密度函數為

從式(13)可以看出，此時的輸出信噪比服從Gamma-Lognormal分布[12]。需要注意，式(13)中wi與移動臺在小區內的位置有關，是(ρ,θ)的方程。

3 準均勻小區移動臺分布

現有文獻對分布式MIMO系統的中斷概率等系統性能進行理論分析時，大都將小區內的移動臺分布模型建模為均勻分布，即移動臺出現在小區內任意位置的概率是相同的；在直角坐標系下，針對本文所研究的圓形小區，其概率密度函數定義為

其中，R為圓形小區半徑，(x,y)為移動臺位置直角坐標。若將移動臺位置轉換為極坐標(ρ,)θ的形式，取小區中心為原點并假設極距ρ和方位角θ之間相互獨立，則根據直角坐標與極坐之間的數學轉換，可得二者極坐標形式的概率密度函數分別為[15]

不過在實際應用環境中，小區內的移動臺分布往往并不服從均勻分布。在文獻[10]中，作者就將圓形小區內移動臺位置的分布改進并建模為一種存在熱點區域的非均勻分布模型，由于該模型充分考慮了小區內移動臺更多地分布于中心區域的這一特征，故較傳統均勻分布具有一定的先進性和參考價值。不過該文獻因將小區劃分為移動臺密度不等的2個不同環形區域，而在這2個區域內移動臺卻分別呈均勻分布，從而形成了一種兩級“階梯狀”平臺遞減分布模型，究其實質只不過是一種變形的均勻分布而已。但在實際環境中，可以預見移動臺的分布不會這么簡單地分為這樣兩部分：一般而言，小區中心區域內移動臺分布最為密集，距離小區中心越遠移動臺分布的密度越小；從小區中心到小區邊緣，移動臺分布的概率密度函數應該連續緩慢遞減，而不應該是如文獻[10]所述的那樣一個二級分段平臺函數。

其實如果仔細分析直角均勻分布的極坐標等價式(15)也可以看出該分布的不合理性：所謂的直角均勻分布在方位角θ上服從均勻分布；而在極徑ρ上則服從從圓心至小區邊緣的單調“遞增”分布，顯然這與實際基站站點應盡可能放置在用戶分布比較密集的區域的這一布設規范相違背。不過受該式啟發，本文假設小區內移動臺分布服從如圖2所示的準均勻分布模型，即在圓形小區內移動臺沿極徑方向服從“徑向線性稀疏”的均勻分布而不是式(15)中的單調遞增分布；同時極角的取值仍保持均勻分布不變，此時ρ和θ的極坐標概率密度函數可以分別表示為

根據與上述推導類似的極坐標到直角坐標的轉換，圖2所示的小區內移動臺位置極坐標均勻分布的等價直角坐標系聯合概率密度函數為

由式(16)可見，雖然移動臺的ρ和θ在極坐標下都服從均勻分布，但從直角坐標系的角度來看，其在小區內的分布卻已不再是簡單的均勻分布，而是沿著極徑呈從圓心至小區邊緣的一種非均勻平滑線性單調遞減特性。

若從小區上層網絡規劃的角度來分析，基站應該放置于移動臺分布密集的地區，或者說移動臺應更多地分布在基站周圍；而移動臺也應自然呈現出一種距基站中心逾遠、其分布逾稀疏的態勢。基于此小區用戶分布的直觀特征可以看出：基于傳統直角坐標均勻用戶分布模型加以極坐標極距密度均勻修正而提出并加以分析的這種新型移動臺分布模型是符合實際小區移動臺分布預期的，是合理的；相較于傳統均勻分布模型以及文獻[10]所研究的二級階梯“平臺”遞減模型能更好地描述移動臺在小區內的分布情況。本文將這種移動臺分布模型稱為小區移動臺“準均勻分布”。

事實上，本文所提出的“準均勻分布”模型的最大特點體現在移動用戶直角坐標分布概率密度沿極徑線性單調遞減的特性上(如式(17)所示)，其數學依據則源于對傳統均勻分布等價極坐標公式不合理性的分析與改進；研究該模型的目的也旨在盡可能逼近實際用戶分布狀況、進而更真實地反映傳統分布式MIMO系統的各項性能計算指標。由于小區移動用戶分布的真實狀況非常復雜，此“準均勻分布”雖不能完全表征系統用戶的實際分布情況，但從小區用戶沿極徑遞減的趨勢來看，該模型是合理的；該分布模型的提出也可為后續類似的模型研究與進一步改進提供一個新穎的理論參考。

圖2 移動臺分布示意

4 中斷概率分析

在基站天線與移動臺之間信道信息已知的前提下，本文采用選擇發送機制，即選擇能夠使移動臺接收信噪比最大的基站進行信息發送，因此MSk接收到的信噪比可以建模為

由于各個基站天線之間的距離足夠遠，對應的接收信噪比γi相互獨立，因此系統中斷概率可以表示為

其中，γth是信噪比門限。根據式(13)可以得到Pr(γi＜γth)，但卻是一個復雜的積分公式。本文利用 Gauss-Hermite積分公式[15]將復雜的表達式轉化為如下簡單的閉合表達式

其中，N是Hermite多項式的階數，tn和Hn分別是N階Hermite多項式的基點和權重。

將式(20)代入式(19)，可得系統中斷概率為其中，wi是移動臺所在位置(),ρ θ的函數，所以該中斷概率表達式與移動臺在小區內所處位置有關，僅代表處于小區內某一位置點移動臺的中斷概率值，故不能作為整個系統中斷概率分析的指標。為此，考慮移動臺在小區內的整體分布情況，得到系統的平均中斷概率表達式

式(22)為非閉合表達式，不利于進一步分析，利用Simpson積分公式[17]將上式進一步簡化

其中，P和Q分別是極徑和極角等距劃分的節點數，必須為偶數，h=R P，k=2πQ，ρp=ph，θq=qk；ap,q為權值，是權值矩陣A中第p+1行第q+1列元素，而權值矩陣A可以表示為

其中，[·]T表示轉置，?為克羅內克（Kronecker）積。

5 仿真結果與討論

5.1 仿真及結果

本節將通過 MATLAB軟件計算并觀測接收天線數目、Nakagami參數、路徑損耗指數、小區內移動臺分布對系統平均中斷概率的影響，以及通過對比理論值和Monte-Carlo仿真值，驗證本文推導得到的理論表達式的準確性。系統仿真的主要參數如表 1所示（未加特別標注的皆以表中基本參數為準）。

表1 仿真參數

圖3～圖6分別給出移動臺均勻分布和準均勻分布時，不同系統參數下，小區內系統下行平均中斷概率隨傳輸信噪比（SNR）變化的情況。從這些圖中可以看出：隨著傳輸信噪比的增加，系統平均中斷概率單調遞減；而在相同條件下，小區內移動臺準均勻分布時的系統中斷性能比移動臺均勻分布時提高很多，這主要是因為2種用戶分布模型都被用來分析圖1所示的經典分布式MIMO系統，而本文所提準均勻分布模型因能更好地反映用戶實際分布情形，故能更好地體現圖1分布式MIMO系統分布式基站的放置優點，進而提高用戶接入效率、降低系統中斷概率。此外，本文推導得到的近似理論值與計算機仿真值之間的誤差一直保持在可以接受的范圍內，證明本文推導得到的理論表達式具有很好的準確性。

圖3 不同分布下，基站所配置天線數的影響

圖3給出了移動臺均勻分布和準均勻分布時，每個分布式基站上所配置的天線數目對系統下行平均中斷概率的影響。圖3中仿真曲線表明：隨著基站上參與發送天線數目的增多，發送端空間分集度升高；而采用最大比發送機制能夠有效地提高信噪比，這些都有效降低了系統下行平均中斷概率。

圖4 不同分布下，Nakagami參數的影響

圖4給出了移動臺在小區內均勻分布和準均勻分布時，在不同的Nakagami參數mi取值下，系統下行平均中斷概率隨發送信噪比變化曲線。隨著mi取值的不斷增大，無線信道的小尺度衰落越來越弱，移動臺接收信噪比隨之增大，使得系統下行平均中斷概率降低，系統性能得到提高。

圖5 不同移動臺分布下，接收天線數目的影響

圖5給出了移動臺均勻分布和準均勻分布時，移動臺接收天線數目對系統下行平均中斷概率的影響。圖中仿真曲線表明：隨著移動臺接收天線數的增多，接收端空間分集度升高；在接收端采用最大比合并之后，輸出信噪比就越大，因此，系統下行平均中斷概率也就越小。

圖6 移動臺均勻分布時，路徑損耗指數的影響

圖6給出移動臺均勻分布和準均勻分布時，在不同路徑損耗指數下，系統下行平均中斷概率的變化情況。從圖中可以看出，隨著路徑損耗指數的增大，信號經歷的路徑損耗愈強，因而接收信噪比減小，最終導致中斷概率升高、系統性能變差。

圖7給出的是分布式基站天線與中心基站天線之間的歸一化距離（Rb/sR）對系統性能的影響。當橫坐標取值為0時，即分布式基站與中心基站距離為0，此時為傳統的集中式MIMO系統；當橫坐標取值大于0時，基站天線實現分開放置，成為所謂分布式MIMO系統。由圖中仿真結果可以看出：分布式MIMO系統相比于集中式MIMO系統，在中斷概率這一性能指標上有了很大的提高；同時可見分布式基站的放置對系統中斷概率亦有很大影響；在不同的移動臺分布模型下，要想獲得最小的系統下行平均中斷概率，Rbs的取值是不同的，這個結論可為后續分布式 MIMO系統基站側天線的優化配置研究提供理論依據。

圖7 分布式基站與中心基站歸一化距離的影響

此外，不同的小區移動臺分布模型對系統中斷概率的影響也非常明顯，相較于傳統的小區內均勻分布模型和文獻[10]中所研究的分段均勻分布模型，本文提出并詳加研究的準均勻分布模型所獲得的系統中斷概率較前二者都要低，尤其在獲得最優中斷性能的條件下，相較于前者大約可以降低約40%。

5.2 分析與討論

最后就分布式 MIMO系統中系統下行中斷概率產生重要影響的小區用戶分布模型的研究意義或者說研究必要性再稍微展開一些定性的分析與討論。

從前面的仿真結果可以看出，小區內移動用戶的地理位置分布確實對作為分布式 MIMO系統重要系統性能評價指標之一的中斷概率產生了很大影響。即便是2個完全相同的網絡，比如圖1所示同心圓加中心基站的經典分布式MIMO系統，在用戶分布不同時，如用戶服從小區內均勻分布、或服從文獻[10]所提包含用戶熱點分布的分段均勻模型以及服從本文所研究的準均勻分布等，系統將會產生完全不同的中斷概率。這也從一個側面說明，單純的系統中斷概率并不能完全真實、全面地反映一個現有網絡的物理實質。此外，從圖7的結果也能非常直觀地看出，若以中斷概率作為分布式MIMO系統所追求的優化目標，則能得到最佳中斷概率的分布式基站端口的放置位置必須要考慮諸如移動用戶的地理分布特征這樣的統計參量。也就是說，要想基于系統中斷概率獲得分布式基站端口的最優位置配置，就必須關注移動臺的分布特征。

一般來說，用戶的地理分布特征雖不會隨基站的位置和多少而改變，但基站的數目和放置位置確實反過來又會影響用戶相對于基站的相對地理分布，而這種相對分布由上述分析可知，顯然會對系統中斷概率性能產生不小的影響。本文所研究的不同移動臺分布模型針對的正是已有的經典分布式MIMO系統框架結構，也即研究分布式基站位置固定配置在同心圓和小區中心時的系統中斷性能。上述一系列仿真結果亦顯示這種已有的經典分布式MIMO系統的基站分布模式或設計，從降低系統中斷概率的角度，應該更“契合”本文所分析的較符合實際工作環境的“準均勻分布”用戶分布；而傳統均勻分布或分段均勻分布都將“低估”該經典分布式MIMO系統的中斷概率性能優勢。本文這一研究成果也進一步說明了這種經典同心圓配置分布式基站的分布式 MIMO系統設計思路對于更符合實際移動用戶分布預期的徑向線性稀疏模式是成功、合理的。當然，實際用戶分布作為一種時變的、非人為可控的客觀存在，在這種復雜情況下要獲得分布式MIMO系統的最優系統性能（比如最低中斷概率、最小誤碼率乃至最大系統容量等）就需要即時綜合用戶分布模型等來重新優化設計分布式基站諸如位置、發射功率等參數，這將是另一個更加深入的后續研究課題。

6 結束語

本文在綜合考慮包括Nakagami-m衰落、路徑損耗和陰影衰落的完善復合信道模型的基礎上，提出了一種比較符合小區移動臺實際分布的準均勻分布模型，并以發送端采用選擇最大比發送、接收端采用最大比合并接收為背景，詳細推導了準均勻小區內系統下行平均中斷概率的近似閉合表達。數值仿真結果顯示該表達式能比較準確地計算分布式基站所配置天線數目、Nakagami-m參數、路徑損耗指數以及接收天線數目等系統重要參數對下行中斷概率的影響，證明了該中斷概率閉型表達式的正確性和合理性；該閉型表達式將為后續分布式MIMO系統小區網絡規劃方面的工作提供非常重要的理論計算參考。此外仿真還顯示，針對經典分布式MIMO系統，不論采用傳統均勻分布還是后來的改進型分段均勻分布模型，與本文提出的準均勻分布模型相比，都將高估實際小區移動臺分布的中斷概率性能，這也從另一個側面證明了本文所提準均勻分布移動臺模型的合理性。

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