一種基于小波分析的閾值去噪算法

曹亞君 陳樹寧

摘 要：利用信號和噪聲在小波變換中不同尺度上具有不同的特性，提出了基于小波變換的去噪方法。經過小波變換后的信號，在其小波系數中包含了實際信號的重要信息特征，表現為幅值較大的小波系數，而噪聲產生的小波系數幅值較小。通過在不同尺度上選取適當的閾值，對大于和小于該閾值的小波系數進行相應的處理，以得到去噪后的信號。

關鍵詞：小波變換；閾值；算法

圖像是人類傳遞信息的主要媒介。圖像以其信息量大，傳輸速度快，作用距離遠等一系列優點成為人類獲取信息的重要來源和利用信息的重要手段[1]。由于圖像在獲取和傳輸的過程中會受到各種噪聲的干擾，對信號的處理、傳輸和存儲造成極大的影響，噪聲的去除就顯得尤為重要。傳統的圖像去噪主要是在空域或頻域的局部內進行的。如通過各種濾波器對圖像去噪的順序統計濾波器、均值濾波器、Wiener濾波器等，以及基于傅里葉變換的去噪方法。但是這些方法對圖像信號的處理要么完全在空間域，要么完全在頻率域，而對圖像信號來說它的頻率特征往往隨著空間位置的變化而變化，因此小波理論正好解決了這個問題[2]。目前，基于小波分析的圖像去噪技術已成為圖像去噪的一個重要方法。

1 閾值去噪原理

小波閾值去噪的具體處理過程是：在不同尺度上對含有噪聲的信號進行小波分解，保留最大尺度上（低分辨率下）的全部小波系數，對于其他尺度上的高頻小波系數，通過設定一個閾值，將幅值小于該閾值的小波系數置零，而把幅值大于該閾值的小波系數予以保留，或者做相應的“收縮”處理[3]。最后將經過閾值處理后所得到的小波系數利用小波逆變換進行重構，以恢復出原始信號。設觀測信號如下：

f（k）=s（k）+n（k） （1）

其中s（k）為原始信號，n（k）是方差為σ2的高斯白噪聲，且服從N（0，σ2）。對上式進行離散小波變換，其中變換后的小波系數Wf（j，k）簡記為Wj，k，由小波變換的線性性質可知，Wj，k由兩部分組成，一部分為原始信號s（k）的小波系數簡記為uj，k，另一部分為噪聲的小波系數簡記為vj，k[4]。

小波閾值去噪算法的基本步驟為：

⑴對含有噪聲的信號f（k）進行小波變換，得到變換后的小波系數Wj，k；⑵對小波系數進行閾值處理，選擇合理的閾值處理策略，對Wj，k進行估計，得到估計出來的小波系數 ，使 盡可能小；（3）利用處理后的系數 對原始信號f（k）進行重構，得到的 即為去除噪聲之后的信號。

利用小波閾值法進行去噪，在最大程度抑制噪聲的同時，也能夠很好的保留信號的細節特征，因而具有較好的去噪效果。相關研究己經證明了軟閾值去噪產生的估計信號是光滑的，而硬閾值方法則可以在均方誤差意義上得到對原始信號的近似最優估計。小波閾值法去噪的關鍵是如何選取最優的閾值函數和閾值。

2 閾值函數的選取

由于選取的閾值函數不一樣，就會產生對小波域中大于和小于閾值的小波系數使用不同的方法策略。對常用的幾種閾值函數闡述各個閾值函數的特點，并詳細分析它們在去噪時的性能[5]。（下面各式中λ表示所選取的閾值）

硬閾值函數：

軟閾值函數：

由上圖可知，硬閾值函數對分解后的小波系數進行處理時，將保留絕對值大于閾值λ的小波系數，而對于絕對值小于閾值λ的小波系數則置為零。而軟閾值函數對小波系數的處理策略是將絕對值大于閾值λ的小波系數向原點方向收縮一個固定值λ，對于絕對值小于閾值λ的小波系數與硬閾值函數作相同的處理。兩種閾值函數的區別在于：硬閾值函數在均方誤差意義上優于軟閾值函數，對圖像的邊緣和細節信息的特征可以很好的保留，然而它在λ處不連續，這就會使得重構后的圖像會產生偽吉布斯現象，即圖像的不連續點周圍會產生振蕩圖像的視覺失真。經過軟閾值處理的圖像會相對平滑，軟閾值函數的處理策略保證在閾值λ處是連續的，從而導致重構后的圖像與原圖像的誤差程度。如果 ，則真實值和估計值就會有恒定的偏差，這樣重構后的圖像可能會使邊緣和細節信息產生模糊，而且軟閾值處理后的圖像在均方誤差意義上比硬閾值要大。

A.G.Bruce分析了軟、硬閾值方法分別在高斯噪聲條件下的偏差、方差以及L2風險公式，所得出的結論如下：

⑴給定閾值λ，軟閾值總比硬閾值方法造成的方差小。

⑵當系數充分大時，軟閾值比硬閾值方法的方差造成的偏差大。

⑶當小波系數在閾值λ的很小鄰域內時，硬閾值方法有較大的偏差、方差及L2風險；兩種方法在小波系數較小時，造成的L2風險都很小。

為了克服硬閾值和軟閾值函數在去噪處理中的缺點，Gao等提出了一種半軟閾值函數，其對閾值的處理策略如下面表達式：

上式中λ1和λ2分別為下閾值和上閾值，λ1的選取與信號的特征有關，當信號有較多的細節時，可將其取為較小的值，以保留信號細節；當信號細節較少時，可取為較大的值，以更大程度的去除噪聲[6]。由上式還可以得出，當λ2→∞時，即為軟閾值的形式，當λ1=λ2時，可轉化為硬閾值形式，因此該方法是一種軟硬折衷的方法，既有連續性又能保留較大的小波系數。然而由于該方法中要確定兩個閾值，故算法的復雜度較大。

基于以上幾個閾值函數在圖像處理中存在的問題，在后續的閾值函數研究中，一些學者在文獻中又提出了如下的閾值函數，以改進圖像去噪后的效果。

模平方處理方法：

容易驗證，當 時，有

因此可知，由公式（5）估計出來的小波系數 的值是介于軟、硬閾值方法之間的，當 時， 的表達式為非線性函數，并且隨著 不斷增大， 與Wj，k的差值越來越小。

半軟、硬閩值函數：

上式為軟、硬折衷閾值方法估計小波系數的表達式，其中β為調整因子，適當調整其大小可以獲得較好的去噪效果。當β分別取1或0時，式（7）即變為軟閾值和硬閾值方法。當0<β<1時，由上式得到的小波系數 介于硬閾值和軟閾值之間，因此，該方法稱為軟、硬折衷閾值法。

該表達式不僅看上去非常簡潔，而且有相當不錯的去噪效果。由于軟閾值方法估計出來的 ，當 時，即 和Wj，k之間存在恒定的偏差，因此有必要減小此偏差；然而，如果將此偏差減小到零，即變為硬閾值方法，但是這種方法也不是最好的，因為 本身就是由uj，k和vj，k組成的，所以將 值限定在 之間有可能會使得估計出來的小波系數 ，更接近真實的信號小波系數uj，k。折中法閾值函數有效的解決了傳統軟硬閾值存在的不足，改善了去噪性能[7]。

3 閾值選取需注意的地方

閾值選取的好壞直接影響著圖像去噪后的效果，如果閾值選取的過大，則在去除噪聲的同時，也去除了一部分圖像的小波系數，使重構后的圖像信息損失過大，不能很好的恢復出圖像的本質信息；如果閾值選取過小，則在較大程度的保留圖像小波系數的同時，也保留了大部分的噪聲信息，經小波重構后的圖像還是含有很大強度的噪聲，對后續的圖像處理會帶來不利的影響；因此，怎樣選取合適的閾值，是閾值去噪算法研究的重點[8]。目前，閾值的選取主要分為全局閾值和局部閾值，全局閾值是指對不同尺度上的所有小波系數或者同一層次中的小波系數采用相同的閾值進行處理，這種方法會“過扼殺”小波系數；局部閾值是考慮到某一點或某一局部區域的小波系數特點，靈活判斷出是由圖像還是噪聲產生的小波系數，以自適應的選取合適的閾值，達到最大限度的保留圖像信息和去除噪聲的目的。

4 結束語

基于小波變換的閾值去噪方法是實現最簡單、計算量最小的一種去噪方法，因此得到廣泛的應用。然而關鍵的問題是閾值和閾值函數的選取，閾值是和噪聲方差緊密相關的，對噪聲方差估計的精度直接影響著去噪的效果，同時能否選取合適的閾值函數也是去噪效果好壞的一個重要方面。雖然在理論上證明并且找到了最優的通用閾值，然而在實際應用中，其去噪效果不是特別理想，如何根據具體情況選取合適的閾值，仍是今后研究的重點。

[參考文獻]

[1]張娜.圖像顯示中的色彩空間轉換研究與實現[D].上海交通大學，2007.

[2]黃玉昌，侯德文.基于改進小波閾值函數的指紋圖像去噪[J].計算機工程與應用，2014（6）：179-181.

[3]李偉.基于小波變換的圖像去噪方法[J].數字通信，2010（1）：80-84.

[4]Sardy S，Tseng P，Bruce A.Robust wavelet denoising[J].IEEE Trans on Signal Processing，2001，49（6）：1146-1152.

[5]高雪娟，高占國.圖像小波閾值去噪算法研究[J].電光與控制，2007，14（6）：148-151.

[6]阮秋琦.數字圖像處理學[M].第二版.北京.電子工業出版社.2007.

[7]邵鴻翔，高宏峰.改進小波閾值去噪方法處理FBG傳感信號[J].2014，44（1）：73-76.

[8]王緒四.基于小波與輪廓波變換的改進圖像去噪算法研究[D].湘潭大學，2012.