“定律推廣類”課的“先學后教”模式

鐘世文

小數運算定律與整數運算定律相同，兩者內在的一致性有利于整數運算定律推廣應用到小數領域，為學生的“先學后教”提供了可能。基于“先學后教”策略，如何進行此類課型的教學呢？下面就以“整數乘法運算定律推廣到小數”的教學為例，淺談一些實踐思考。

一、課始聚焦結構性預習，體驗定律的遷移力

“先學”是“后教”的前奏。“先學”若只是讓學生在課前隨意翻看教材，不僅會加重學生課業負擔，而且易使學生淺嘗輒止，不求甚解，失去對學習的興趣。因此，基于數學知識的內在聯系和學生的已有經驗，精心設計富有挑戰性的“先學”活動，讓學生主動探索，提高“先學”的質量。在本課教學中，針對大部分學生對整數運算定律推廣到小數，沒有太多的認知障礙，而對乘法分配律的運用卻感到較為吃力的情形，在課始“先學”時，變全面鋪開為個別聚焦，緊扣“乘法分配律”設計如下結構性預習作業，讓學生在解決現實問題的過程中，發現不同情境下解題結構的一致性，體驗乘法分配律的遷移力與再生力。

“整數乘法運算定律推廣到小數”預習作業

同學們，四年級時我們已經知道了“整數加法的運算定律在小數運算中同樣適用”，那么，“整數乘法的運算定律在小數乘法中是否也同樣適用”呢？讓我們帶著這樣的思考完成下列預習作業。

我能解決：只列出綜合算式不用計算。

1.在一個長方形花圃里栽了油菜和向日葵（左下圖），這個花圃一共占地多少平方米？

列式：_____________________________________

2.這個長方形（右上圖）的周長是多少厘米？

列式：_____________________________________

3.小明和小冬同時從家里出發到學校，小明每分鐘走50.5m，小冬每分鐘走49.5m，9.5分鐘后兩人同時到校，他們兩家相距多遠？（圖略）

列式：_____________________________________

我的發現：_________________________________

這樣，通過結構性預習，讓學生在“先學”預習中從不同角度解決問題，有利于策略的遷移、思維的延伸和知識的結構化，為進一步的探究學習積累感性經驗。

二、課中倡導自主性研究，體會定律的內聯力

在個體獨立思考，自主完成預習作業的基礎上，教師組織學生開展一系列研究性學習。首先要求學生根據反思提綱，對照典型解法進行自我反思，然后組織小組交流，最后進行集體匯報。通過反思、討論、比較、辨析，讓學生體會到整數、小數乘法運算定律之間的內在聯系，自然明晰乘法運算定律的拓展應用，自覺進行簡便計算。

1.收集典型解法，個體對照反思。

教師展示巡視過程中收集的典型解法，同時要求學生根據反思提綱，對照下列解法進行自我反思。

（1）①37.6×4.5+12.4×4.5 ②（37.6+12.4）×4.5

（2）①73.2×2+26.8×2 ②（73.2+26.8）×2

（3）①50.5×9.5+49.5×9.5 ②（50.5+49.5）×9.5

（1）上述各題先后兩種解法的解題思路分別是什么？

（2）上述三個實際問題都用了兩種方法解決，仔細觀察，兩種方法分別有什么共同點？

（3）你還能舉出像這樣用兩種結構的算式解決的實際問題嗎？

（4）具有這樣兩種結構的算式之間存在怎樣的大小關系？

教學實踐表明，個體獨立反思越深刻，小組之間的交流就越充分，也就越有利于學生實現真正意義上的理解，自然生長出新的知識和經驗。

2.組織小組交流，嘗試溝通定律。

在引導學生對照典型解法進行反思后，教師及時組織學生進行小組交流，使得小組交流更具有針對性和實效性。在小組交流環節，教師要通過概括性提問，讓學生再度進行思考討論，在交流中嘗試溝通定律。

（1）你能用字母把這一規律表示出來嗎？這里的字母，除了自然數外，還可以是什么數？

（2）除了乘法分配律外，整數乘法的其余兩個運算定律也適用于小數嗎？請舉例驗證。

以上問題，由局部到整體，由個別到一般，由具體到抽象，讓學生逐步領悟到整數、小數乘法運算定律之間存在天然的共同之處，真正把新知識自覺納入同一種結構體系。

3.展示交流成果，提煉概括結語。

展示小組交流成果是課中研習的重要環節，重點在于交流集體智慧，提煉概括結語。匯報時以小組為單位進行，并要體現小組的集體智慧。通常，為了節約教學時間確保交流質量，小組匯報后教師一般不作逐一點評，只在最后一個小組匯報結束后，教師再作畫龍點睛式的總評，并對知識進行總結。

三、課末精設針對性練習，體味定律的應用力

“后教”意味著數學教學離不開教師的教，特別是練習設計更需要教師基于學生的課始“先學”及課中研習的學情，精心設計。在本課教學中，為了讓學生進一步體驗運算定律在小數中的應用魅力，需要教師精心設計多層次練習，不斷完善與豐富學生對定律的認識，拓寬定律的應用空間，提升定律的應用能力。

1.基礎練習，拓展定律。

規律的應用既包括對總結出的規律的直接應用（如乘法分配律），又包括對總結規律過程的進一步遷移和拓展。如，由整數乘法分配律對小數的適用，自然聯想到整數乘法交換律和結合律對小數也適用，以及由乘法對加法的分配律推廣到乘法對減法的分配律等。為此，可以設計如下練習：

在□里填上適當的數，并說明理由。

（1）2.5×3.7+2.5×6.3=□×（□+□）

（2）4.5×2.4=□×□

（3）1.25×0.7×0.8=□×（□×□）

（4）7.2×11.2-7.2×1.2=□×（□-□）

以上4題，第（4）題是乘法對加法的分配律在乘法對減法中的推廣，第（3）題有多種填法，講評時應及時追問哪種填法更簡便，并說明理由。

2.專項練習，內化定律。

運算定律推廣到小數中會有新的學習拐點，需要通過專項練習來達成。如在整數乘法運算定律中，主要是判斷兩個或幾個數的和或積可以湊成整十、整百、整千數等，而在小數乘法中，主要判斷哪兩個或幾個數可以湊成整數。因此，可以設計如下專項練習：

下面哪兩個數的和、差或積能湊成整數？用線連一連，并口算出結果。

2.83 12.5 □

16.2 1.17 □

0.08 0.4 □

0.25 6.2 □

8.8 2.3 □

為了克服思維定式與惰性，在專項練習中，可以設計有不能配對湊成整數以及可以“以一配幾”或“以幾配一”湊成整數的情況。

3.編題練習，深化定律。

練習不僅是為了鞏固已有定律，更是為了促進學生深化對定律的理解，達到舉一反三靈活運用的目的。為此，可以設計編題練習，如在“2.5×□○2.5×□”的□里填上適當的數，在○里填上運算符號，編出可簡便計算的習題，再簡算。此題內涵豐富，它涵蓋了乘法運算的三個定律，同時包含了乘法對減法的分配律。這樣雖然只給學生“一題”的感覺，但是卻有“多題”的收獲。

這里特別需要指出的是，雖然運算定律是運算本身固有的規律，但是學習運算定律的目的并不是為了簡便運算，而是為進一步學習代數知識打下必備基礎，所以課堂教學中應注意避免將運算定律的教學異化成為簡便計算服務。

責任編輯：張 瑩

小數運算定律與整數運算定律相同，兩者內在的一致性有利于整數運算定律推廣應用到小數領域，為學生的“先學后教”提供了可能。基于“先學后教”策略，如何進行此類課型的教學呢？下面就以“整數乘法運算定律推廣到小數”的教學為例，淺談一些實踐思考。

一、課始聚焦結構性預習，體驗定律的遷移力

“先學”是“后教”的前奏。“先學”若只是讓學生在課前隨意翻看教材，不僅會加重學生課業負擔，而且易使學生淺嘗輒止，不求甚解，失去對學習的興趣。因此，基于數學知識的內在聯系和學生的已有經驗，精心設計富有挑戰性的“先學”活動，讓學生主動探索，提高“先學”的質量。在本課教學中，針對大部分學生對整數運算定律推廣到小數，沒有太多的認知障礙，而對乘法分配律的運用卻感到較為吃力的情形，在課始“先學”時，變全面鋪開為個別聚焦，緊扣“乘法分配律”設計如下結構性預習作業，讓學生在解決現實問題的過程中，發現不同情境下解題結構的一致性，體驗乘法分配律的遷移力與再生力。

“整數乘法運算定律推廣到小數”預習作業

同學們，四年級時我們已經知道了“整數加法的運算定律在小數運算中同樣適用”，那么，“整數乘法的運算定律在小數乘法中是否也同樣適用”呢？讓我們帶著這樣的思考完成下列預習作業。

我能解決：只列出綜合算式不用計算。

1.在一個長方形花圃里栽了油菜和向日葵（左下圖），這個花圃一共占地多少平方米？

列式：_____________________________________

2.這個長方形（右上圖）的周長是多少厘米？

列式：_____________________________________

3.小明和小冬同時從家里出發到學校，小明每分鐘走50.5m，小冬每分鐘走49.5m，9.5分鐘后兩人同時到校，他們兩家相距多遠？（圖略）

列式：_____________________________________

我的發現：_________________________________

這樣，通過結構性預習，讓學生在“先學”預習中從不同角度解決問題，有利于策略的遷移、思維的延伸和知識的結構化，為進一步的探究學習積累感性經驗。

二、課中倡導自主性研究，體會定律的內聯力

在個體獨立思考，自主完成預習作業的基礎上，教師組織學生開展一系列研究性學習。首先要求學生根據反思提綱，對照典型解法進行自我反思，然后組織小組交流，最后進行集體匯報。通過反思、討論、比較、辨析，讓學生體會到整數、小數乘法運算定律之間的內在聯系，自然明晰乘法運算定律的拓展應用，自覺進行簡便計算。

1.收集典型解法，個體對照反思。

教師展示巡視過程中收集的典型解法，同時要求學生根據反思提綱，對照下列解法進行自我反思。

（1）①37.6×4.5+12.4×4.5 ②（37.6+12.4）×4.5

（2）①73.2×2+26.8×2 ②（73.2+26.8）×2

（3）①50.5×9.5+49.5×9.5 ②（50.5+49.5）×9.5

（1）上述各題先后兩種解法的解題思路分別是什么？

（2）上述三個實際問題都用了兩種方法解決，仔細觀察，兩種方法分別有什么共同點？

（3）你還能舉出像這樣用兩種結構的算式解決的實際問題嗎？

（4）具有這樣兩種結構的算式之間存在怎樣的大小關系？

教學實踐表明，個體獨立反思越深刻，小組之間的交流就越充分，也就越有利于學生實現真正意義上的理解，自然生長出新的知識和經驗。

2.組織小組交流，嘗試溝通定律。

在引導學生對照典型解法進行反思后，教師及時組織學生進行小組交流，使得小組交流更具有針對性和實效性。在小組交流環節，教師要通過概括性提問，讓學生再度進行思考討論，在交流中嘗試溝通定律。

（1）你能用字母把這一規律表示出來嗎？這里的字母，除了自然數外，還可以是什么數？

（2）除了乘法分配律外，整數乘法的其余兩個運算定律也適用于小數嗎？請舉例驗證。

以上問題，由局部到整體，由個別到一般，由具體到抽象，讓學生逐步領悟到整數、小數乘法運算定律之間存在天然的共同之處，真正把新知識自覺納入同一種結構體系。

3.展示交流成果，提煉概括結語。

展示小組交流成果是課中研習的重要環節，重點在于交流集體智慧，提煉概括結語。匯報時以小組為單位進行，并要體現小組的集體智慧。通常，為了節約教學時間確保交流質量，小組匯報后教師一般不作逐一點評，只在最后一個小組匯報結束后，教師再作畫龍點睛式的總評，并對知識進行總結。

三、課末精設針對性練習，體味定律的應用力

“后教”意味著數學教學離不開教師的教，特別是練習設計更需要教師基于學生的課始“先學”及課中研習的學情，精心設計。在本課教學中，為了讓學生進一步體驗運算定律在小數中的應用魅力，需要教師精心設計多層次練習，不斷完善與豐富學生對定律的認識，拓寬定律的應用空間，提升定律的應用能力。

1.基礎練習，拓展定律。

規律的應用既包括對總結出的規律的直接應用（如乘法分配律），又包括對總結規律過程的進一步遷移和拓展。如，由整數乘法分配律對小數的適用，自然聯想到整數乘法交換律和結合律對小數也適用，以及由乘法對加法的分配律推廣到乘法對減法的分配律等。為此，可以設計如下練習：

在□里填上適當的數，并說明理由。

（1）2.5×3.7+2.5×6.3=□×（□+□）

（2）4.5×2.4=□×□

（3）1.25×0.7×0.8=□×（□×□）

（4）7.2×11.2-7.2×1.2=□×（□-□）

以上4題，第（4）題是乘法對加法的分配律在乘法對減法中的推廣，第（3）題有多種填法，講評時應及時追問哪種填法更簡便，并說明理由。

2.專項練習，內化定律。

運算定律推廣到小數中會有新的學習拐點，需要通過專項練習來達成。如在整數乘法運算定律中，主要是判斷兩個或幾個數的和或積可以湊成整十、整百、整千數等，而在小數乘法中，主要判斷哪兩個或幾個數可以湊成整數。因此，可以設計如下專項練習：

下面哪兩個數的和、差或積能湊成整數？用線連一連，并口算出結果。

2.83 12.5 □

16.2 1.17 □

0.08 0.4 □

0.25 6.2 □

8.8 2.3 □

為了克服思維定式與惰性，在專項練習中，可以設計有不能配對湊成整數以及可以“以一配幾”或“以幾配一”湊成整數的情況。

3.編題練習，深化定律。

練習不僅是為了鞏固已有定律，更是為了促進學生深化對定律的理解，達到舉一反三靈活運用的目的。為此，可以設計編題練習，如在“2.5×□○2.5×□”的□里填上適當的數，在○里填上運算符號，編出可簡便計算的習題，再簡算。此題內涵豐富，它涵蓋了乘法運算的三個定律，同時包含了乘法對減法的分配律。這樣雖然只給學生“一題”的感覺，但是卻有“多題”的收獲。

這里特別需要指出的是，雖然運算定律是運算本身固有的規律，但是學習運算定律的目的并不是為了簡便運算，而是為進一步學習代數知識打下必備基礎，所以課堂教學中應注意避免將運算定律的教學異化成為簡便計算服務。

責任編輯：張 瑩

小數運算定律與整數運算定律相同，兩者內在的一致性有利于整數運算定律推廣應用到小數領域，為學生的“先學后教”提供了可能。基于“先學后教”策略，如何進行此類課型的教學呢？下面就以“整數乘法運算定律推廣到小數”的教學為例，淺談一些實踐思考。

一、課始聚焦結構性預習，體驗定律的遷移力

“先學”是“后教”的前奏。“先學”若只是讓學生在課前隨意翻看教材，不僅會加重學生課業負擔，而且易使學生淺嘗輒止，不求甚解，失去對學習的興趣。因此，基于數學知識的內在聯系和學生的已有經驗，精心設計富有挑戰性的“先學”活動，讓學生主動探索，提高“先學”的質量。在本課教學中，針對大部分學生對整數運算定律推廣到小數，沒有太多的認知障礙，而對乘法分配律的運用卻感到較為吃力的情形，在課始“先學”時，變全面鋪開為個別聚焦，緊扣“乘法分配律”設計如下結構性預習作業，讓學生在解決現實問題的過程中，發現不同情境下解題結構的一致性，體驗乘法分配律的遷移力與再生力。

“整數乘法運算定律推廣到小數”預習作業

同學們，四年級時我們已經知道了“整數加法的運算定律在小數運算中同樣適用”，那么，“整數乘法的運算定律在小數乘法中是否也同樣適用”呢？讓我們帶著這樣的思考完成下列預習作業。

我能解決：只列出綜合算式不用計算。

1.在一個長方形花圃里栽了油菜和向日葵（左下圖），這個花圃一共占地多少平方米？

列式：_____________________________________

2.這個長方形（右上圖）的周長是多少厘米？

列式：_____________________________________

3.小明和小冬同時從家里出發到學校，小明每分鐘走50.5m，小冬每分鐘走49.5m，9.5分鐘后兩人同時到校，他們兩家相距多遠？（圖略）

列式：_____________________________________

我的發現：_________________________________

這樣，通過結構性預習，讓學生在“先學”預習中從不同角度解決問題，有利于策略的遷移、思維的延伸和知識的結構化，為進一步的探究學習積累感性經驗。

二、課中倡導自主性研究，體會定律的內聯力

在個體獨立思考，自主完成預習作業的基礎上，教師組織學生開展一系列研究性學習。首先要求學生根據反思提綱，對照典型解法進行自我反思，然后組織小組交流，最后進行集體匯報。通過反思、討論、比較、辨析，讓學生體會到整數、小數乘法運算定律之間的內在聯系，自然明晰乘法運算定律的拓展應用，自覺進行簡便計算。

1.收集典型解法，個體對照反思。

教師展示巡視過程中收集的典型解法，同時要求學生根據反思提綱，對照下列解法進行自我反思。

（1）①37.6×4.5+12.4×4.5 ②（37.6+12.4）×4.5

（2）①73.2×2+26.8×2 ②（73.2+26.8）×2

（3）①50.5×9.5+49.5×9.5 ②（50.5+49.5）×9.5

（1）上述各題先后兩種解法的解題思路分別是什么？

（2）上述三個實際問題都用了兩種方法解決，仔細觀察，兩種方法分別有什么共同點？

（3）你還能舉出像這樣用兩種結構的算式解決的實際問題嗎？

（4）具有這樣兩種結構的算式之間存在怎樣的大小關系？

教學實踐表明，個體獨立反思越深刻，小組之間的交流就越充分，也就越有利于學生實現真正意義上的理解，自然生長出新的知識和經驗。

2.組織小組交流，嘗試溝通定律。

在引導學生對照典型解法進行反思后，教師及時組織學生進行小組交流，使得小組交流更具有針對性和實效性。在小組交流環節，教師要通過概括性提問，讓學生再度進行思考討論，在交流中嘗試溝通定律。

（1）你能用字母把這一規律表示出來嗎？這里的字母，除了自然數外，還可以是什么數？

（2）除了乘法分配律外，整數乘法的其余兩個運算定律也適用于小數嗎？請舉例驗證。

以上問題，由局部到整體，由個別到一般，由具體到抽象，讓學生逐步領悟到整數、小數乘法運算定律之間存在天然的共同之處，真正把新知識自覺納入同一種結構體系。

3.展示交流成果，提煉概括結語。

展示小組交流成果是課中研習的重要環節，重點在于交流集體智慧，提煉概括結語。匯報時以小組為單位進行，并要體現小組的集體智慧。通常，為了節約教學時間確保交流質量，小組匯報后教師一般不作逐一點評，只在最后一個小組匯報結束后，教師再作畫龍點睛式的總評，并對知識進行總結。

三、課末精設針對性練習，體味定律的應用力

“后教”意味著數學教學離不開教師的教，特別是練習設計更需要教師基于學生的課始“先學”及課中研習的學情，精心設計。在本課教學中，為了讓學生進一步體驗運算定律在小數中的應用魅力，需要教師精心設計多層次練習，不斷完善與豐富學生對定律的認識，拓寬定律的應用空間，提升定律的應用能力。

1.基礎練習，拓展定律。

規律的應用既包括對總結出的規律的直接應用（如乘法分配律），又包括對總結規律過程的進一步遷移和拓展。如，由整數乘法分配律對小數的適用，自然聯想到整數乘法交換律和結合律對小數也適用，以及由乘法對加法的分配律推廣到乘法對減法的分配律等。為此，可以設計如下練習：

在□里填上適當的數，并說明理由。

（1）2.5×3.7+2.5×6.3=□×（□+□）

（2）4.5×2.4=□×□

（3）1.25×0.7×0.8=□×（□×□）

（4）7.2×11.2-7.2×1.2=□×（□-□）

以上4題，第（4）題是乘法對加法的分配律在乘法對減法中的推廣，第（3）題有多種填法，講評時應及時追問哪種填法更簡便，并說明理由。

2.專項練習，內化定律。

運算定律推廣到小數中會有新的學習拐點，需要通過專項練習來達成。如在整數乘法運算定律中，主要是判斷兩個或幾個數的和或積可以湊成整十、整百、整千數等，而在小數乘法中，主要判斷哪兩個或幾個數可以湊成整數。因此，可以設計如下專項練習：

下面哪兩個數的和、差或積能湊成整數？用線連一連，并口算出結果。

2.83 12.5 □

16.2 1.17 □

0.08 0.4 □

0.25 6.2 □

8.8 2.3 □

為了克服思維定式與惰性，在專項練習中，可以設計有不能配對湊成整數以及可以“以一配幾”或“以幾配一”湊成整數的情況。

3.編題練習，深化定律。

練習不僅是為了鞏固已有定律，更是為了促進學生深化對定律的理解，達到舉一反三靈活運用的目的。為此，可以設計編題練習，如在“2.5×□○2.5×□”的□里填上適當的數，在○里填上運算符號，編出可簡便計算的習題，再簡算。此題內涵豐富，它涵蓋了乘法運算的三個定律，同時包含了乘法對減法的分配律。這樣雖然只給學生“一題”的感覺，但是卻有“多題”的收獲。

這里特別需要指出的是，雖然運算定律是運算本身固有的規律，但是學習運算定律的目的并不是為了簡便運算，而是為進一步學習代數知識打下必備基礎，所以課堂教學中應注意避免將運算定律的教學異化成為簡便計算服務。

責任編輯：張 瑩