微分中值定理常見題型的解題方法

曹金亮，謝錦濤

(1.浙江海洋學(xué)院數(shù)理與信息學(xué)院,浙江舟山 316022;2.浙江海洋學(xué)院東海科學(xué)技術(shù)學(xué)院,浙江舟山 316000)

微分中值定理常見題型的解題方法

曹金亮1，謝錦濤2

(1.浙江海洋學(xué)院數(shù)理與信息學(xué)院,浙江舟山 316022;2.浙江海洋學(xué)院東?？茖W(xué)技術(shù)學(xué)院,浙江舟山 316000)

微分中值定理建立了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系.與微分中值定理有關(guān)的常見題型在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中占有重要的地位,構(gòu)造輔助函數(shù)是證明微分中值定理和解題的主要方法,可以起到化繁為簡,大大降低解題難度的效果.本文主要介紹與微分中值定理有關(guān)的常見題型的解題方法.

微分中值定理;輔助函數(shù);常見題型

1 緒論

微分中值定理建立了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間的聯(lián)系,是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)研究函數(shù)整體性質(zhì)的重要工具,其中構(gòu)造輔助函數(shù)是解決微分中值定理中證明的關(guān)鍵,但也是解題的困難所在,熟練掌握部分構(gòu)造法及其幾種常用的題型,對解題能力和發(fā)散性思維的培養(yǎng)有一定促進(jìn)作用.幾個主要的微分中值定理如下:

1.1 (Rolle中值定理)[1]如果函數(shù)f（x）滿足

(1)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù);

(2)在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo);

(3)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等,即f（a）=f（b）;

那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ζ（a＜ζ＜b）,使得f（ζ）=0.

1.2 (Lagrange中值定理)[1]如果函數(shù)f（x）滿足

(1)在閉區(qū)間上［a，b］連續(xù);

(2)在開區(qū)間內(nèi)（a，b）可導(dǎo),

那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ζ（a＜ζ＜b）,使等式f（b）-f（a）=f＇（ζ）（b-a）成立.

1.3 (Cauchy中值定理)[1]如果函數(shù)f（x）及g（x）滿足

(1)在閉區(qū)間上0［a，b］連續(xù);

(2)在開區(qū)間內(nèi)（a，b）可導(dǎo);

(3)對任一x∈（a，b）,g＇（x）≠0,

2 微分中值定理的應(yīng)用

2.1 羅爾中值定理的應(yīng)用

注:此類題型因含中值ζ的兩項(xiàng)已分居在中值等式的兩旁,其他各項(xiàng)均為常數(shù),而這兩項(xiàng)導(dǎo)數(shù)又可倒用導(dǎo)數(shù)公式求出其原函數(shù),便可求出輔助函數(shù)F（x）:

令F（x）=c·f（x）-b·g（x）即為所求的輔助函數(shù).

例2:設(shè)函數(shù)f（x）在［1，2］上連續(xù),在（1，2）內(nèi)可導(dǎo),且f（2）=0,證明至少有一點(diǎn)∈（1，2）,使

證明:取g（x）=ln x,則有［f（x）g（x）］＇=［f（x）ln（x）］＇=f＇（x）ln（x）+（ln x）＇f（x）=0.

注:常利用導(dǎo)數(shù)公式［f（x）g（x）］＇=f（x）g＇（x）+f＇（x）g（x）找出輔助函數(shù)F（x）=f（x）g（x）.

(4)題型四[2]:研究函數(shù)或?qū)?shù)所對應(yīng)的方程根的個數(shù).

在（0，1）內(nèi)至少有一個實(shí)根.

則f（x）在[0，1]上連續(xù),在（0，1）內(nèi)可導(dǎo),且f（0）=f（1）=0,于是由羅爾定理即可得證.

注:此類題型常常從所要證明的結(jié)論入手.

注:該題型的特點(diǎn)是除給出區(qū)間端點(diǎn)a,b的函數(shù)值外,還給出(或能求出)另一點(diǎn)的函數(shù)值,且找出輔助函數(shù)F（x）后,一般不滿足F（a）=F（b）,此時(shí)一般通過介值定理再找F（x）的一個零點(diǎn),最后在小區(qū)間內(nèi)對F（x）使用羅爾中值定理,使問題得到解決.

2.3 拉格朗日中值定理的應(yīng)用

(1)題型六:證明與函數(shù)差值有關(guān)的中值命題.

例6:設(shè)f（x）在[a，b]上可導(dǎo),且ab＞0,試證:存在ζ∈（a，b）,使

(2)題型七:證明含有或可化為函數(shù)差值的不等式.

注:這類不等式常用拉格朗日中值定理證明,有時(shí)為了構(gòu)造函數(shù)改變量常利用函數(shù)性質(zhì)及f（0）=0的條件作恒等變形或在等式中增添一項(xiàng)及相反項(xiàng),或增添其值恒為零的常數(shù)項(xiàng)如ln1,sin0為使用拉格朗日中值定理創(chuàng)造條件.

(3)題型八:用來求極限.

故

當(dāng)k=0，1，2，…,n-1時(shí),共有n個不等式,將這n個不等式相加得:

即

從而

注:求數(shù)列極限問題時(shí),運(yùn)用輔助函數(shù)法、遞推法和累加法等,往往可使問題得到解決.在應(yīng)用微分中值定理時(shí),仔細(xì)觀察、認(rèn)真分析,適當(dāng)變換待證明的式子巧妙構(gòu)造輔助函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

2.4 柯西中值定理的應(yīng)用

(1)題型九[4]:證明兩函數(shù)差值之比的等式(若表達(dá)式關(guān)于端點(diǎn)處的函數(shù)值具有對稱性?？衫贸?shù)K值法）

例10:設(shè)f（x）函數(shù)在[a，b]上連續(xù),在（a，b）內(nèi)可導(dǎo),試證明存在∈（a，b）,使

例12:設(shè)g（x）＞0,g＇（x）≠0（a≤x≤b）,則存在ζ∈（a，b）,使得

注:在構(gòu)造函數(shù)時(shí),若表達(dá)式關(guān)于端點(diǎn)處的函數(shù)值具有對稱性,通常用常數(shù)K值法來求構(gòu)造輔助函數(shù),這種方法一般選取所證等式中不含ζ的部分作為K,即使常數(shù)部分分離出來并令其為K,恒等變形使等式一端為a與f（a）構(gòu)成的代數(shù)式,另一端為b與f（b）構(gòu)成的代數(shù)式,將所證等式中的端點(diǎn)值(a或b)改為變量x,移項(xiàng)即為輔助函數(shù)F（x）,再用中值定理或待定系數(shù)法等方法確定K.

(2)題型十:證明兩函數(shù)導(dǎo)數(shù)之比的中值等式

例11:設(shè)f（x）在[0，x]（x＞0）上連續(xù),在（0，x）內(nèi)可導(dǎo),且f（0）=0.試證明在（0，x）內(nèi)存在ζ,使f（x）=（1+ζ）f＇（ζ）ln（1+x）.

說明:待證等式也可化為左端為函數(shù)f（x）與ln（1+x）在兩點(diǎn)的差值比.同樣可以想到對f（x）,ln（1+x）在[0，x]上使用柯西中值定理來完成證明.

注:這類題型中兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)至少其中之一沒有給出,往往需憑想象,倒用導(dǎo)數(shù)公式求出.

3 結(jié)論

微分中值定理在高等數(shù)學(xué)中占有很重要的地位,與之有關(guān)的題目也是學(xué)習(xí)與應(yīng)試的重點(diǎn)和難點(diǎn).本文對與微分中值定理有關(guān)的常見題型的進(jìn)行了歸納和總結(jié),對各種題型如何構(gòu)造輔助函數(shù)進(jìn)行了提煉,使我們在解題時(shí)能做到思路清晰、胸中有數(shù).

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)上冊（第六版）[M].北京:高等教育出版社,2007.

[2]應(yīng)六英.中值定理證明的歸一性及應(yīng)用[J].江西電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2004,17（1）：37.

[3]朱智和.微分中值定理在解題中的若干應(yīng)用[J].紹興文理學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,29（10）：116.

[4]唐 帥,王志華.微分中值定理證明題中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法[J].邵陽學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,6（4）：27-28.

Common Approaches to Problem s Related to M ean Value Theorem of Differentials

CAO Jin-liang1,XIE Jin-tao2
（1.School of Mathematics，Physics and Information Science，Zhejiang Ocean University，Zhoushan 316000；2.Donghai School of Science and Technology，Zhejiang Ocean University，Zhoushan 316022，China）

One theorem of particular significance in advanced mathematics is the Mean Value Theorem of Differentials（for short，MVTD）which establishes a relation between functions and their derivatives.The Construction of auxiliary functions in proving MVTD greatly simplifies the problems.This paper introduces some common approaches to problems related to MVTD.

Mean Value Theorem of Differentials；auxiliary functions；common problems

O172.1

A

1008-830X（2014）05-0478-05

2014-02-03

曹金亮(1971-),男,江西上饒人,講師,博士研究生,研究方向:交能信息工程及控制.