函數的基本性質

趙攀峰

函數的基本性質包括函數的定義域、值域、解析式、單調性、奇偶性、周期性、對稱性等. 在解決與函數有關的（如方程、不等式等）問題時，巧妙利用函數的相關性質，可以使得問題得到簡化，從而達到解決問題的目的.

函數的基本性質是函數知識的核心，是研究函數、方程、不等式的重要武器，已成為各省市高考命題的“重頭戲”. 如何利用函數性質是解題的難點與關鍵.

重點難點

1. 函數的單調性

（1）定義：一般地，設函數y=f（x）的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1f（x2）），那么就說f（x）在區間D上是增函數（減函數）.

深化（單調性定義的等價形式）：設x1，x2∈[a，b]，那么（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0？圳■>0？圳f（x）在[a，b]上是增函數；（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]<0？圳■<0？圳f（x）在[a，b]上是減函數.

（2）單調區間：如果函數y=f（x）在某個區間D上是增函數或減函數，那么就說函數y=f（x）在區間D上具有（嚴格的）單調性，區間D叫做y=f（x）的單調區間.

2. 函數的最值

一般地，設函數y=f（x）的定義域為I，如果存在實數M滿足：①對于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）；②存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么，稱M是函數y=f（x）的最大值（最小值）.

3. 函數的奇偶性

（1）定義：若對于函數f（x）定義域內的任意x，都有f（-x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數；如果對于函數f（x）定義域內的任意x，都有f（-x）=f（x），則稱f（x）為偶函數.

（2）性質：①f（x）為奇函數？圳f（-x）= -f（x）？圳f（-x）+f（x）=0；f（x）為偶函數？圳f（x）=f（-x）=f（x）？圳f（x）-f（-x）=0.

②f（x）是偶函數？圳f（x）的圖象關于y軸對稱；f（x）是奇函數？圳f（x）的圖象關于原點對稱.

③奇函數在對稱的單調區間內具有相同的單調性；偶函數在對稱的單調區間內具有相反的單調性.

④在公共定義域內：兩個奇函數的和是奇函數，兩個奇函數的積是偶函數；兩個偶函數的和、積都是偶函數；一個奇函數、一個偶函數的積是奇函數.

⑤若奇函數f（x）的定義域中含有0，則必有f（0）=0. 但要注意f（0）=0是f（x）為奇函數的既不充分也不必要條件.

4. 函數的周期性

（1）定義：若存在一個非零常數T，使得對于函數定義域內的任意x，都有f（x+T）=f（x），則稱f（x）為周期函數，其中T稱作f（x）的周期. 若所有的T值中存在一個最小的正數，則稱它為f（x）的最小正周期.

（2）性質：①f（x+T）=f（x）常寫作fx+=fx-.

②若T是函數y=f（x）的周期，則kT（k∈Z，且k≠0）也是y=f（x）的周期，即f（x+kT）=f（x）.

③若對于函數f（x）定義域內的任意x，都有f（x+a）=-f（x）或f（x+a）=或f（x+a）=-（a是常數，且a≠0），則f（x）是一個以2a為周期的周期函數.

方法突破

1. 單調性的證明方法

（1）定義法：如果對于函數f（x）的定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1f（x2）），那么就說f（x）在區間D上單調遞增（單調遞減）.

（2）導數法：在某個區間（a，b）內，如果f ′（x）>0，那么函數y=f（x）在這個區間內單調遞增；如果f ′（x）<0，那么函數y=f（x）在這個區間內單調遞減.

2. 單調區間的求法及表示

單調區間的求法：定義法、導數法、圖象法、復合函數法.

函數的單調區間是函數定義域的子區間，所以在求解函數的單調區間時，必須先求出函數的定義域. 單調區間只能用區間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調區間應分別寫，不能用并集符號“∪”聯結，也不能用“或”聯結.

3. 函數奇偶性的判斷

主要根據定義判斷函數的奇偶性：一般地，如果對于函數f（x）定義域內的任意x，都有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），那么函數f（x）就叫做偶函數（或奇函數）. 該定義包含兩個必備條件：①定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域有利于準確、簡潔地解決問題；②判斷f（x）與f（-x）是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷關系式f（x）+f（-x）=0（奇函數）或f（x）-f（-x）=0（偶函數）是否成立.

函數的基本性質包括函數的定義域、值域、解析式、單調性、奇偶性、周期性、對稱性等. 在解決與函數有關的（如方程、不等式等）問題時，巧妙利用函數的相關性質，可以使得問題得到簡化，從而達到解決問題的目的.

函數的基本性質是函數知識的核心，是研究函數、方程、不等式的重要武器，已成為各省市高考命題的“重頭戲”. 如何利用函數性質是解題的難點與關鍵.

重點難點

1. 函數的單調性

（1）定義：一般地，設函數y=f（x）的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1f（x2）），那么就說f（x）在區間D上是增函數（減函數）.

深化（單調性定義的等價形式）：設x1，x2∈[a，b]，那么（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0？圳■>0？圳f（x）在[a，b]上是增函數；（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]<0？圳■<0？圳f（x）在[a，b]上是減函數.

（2）單調區間：如果函數y=f（x）在某個區間D上是增函數或減函數，那么就說函數y=f（x）在區間D上具有（嚴格的）單調性，區間D叫做y=f（x）的單調區間.

2. 函數的最值

一般地，設函數y=f（x）的定義域為I，如果存在實數M滿足：①對于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）；②存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么，稱M是函數y=f（x）的最大值（最小值）.

3. 函數的奇偶性

（1）定義：若對于函數f（x）定義域內的任意x，都有f（-x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數；如果對于函數f（x）定義域內的任意x，都有f（-x）=f（x），則稱f（x）為偶函數.

（2）性質：①f（x）為奇函數？圳f（-x）= -f（x）？圳f（-x）+f（x）=0；f（x）為偶函數？圳f（x）=f（-x）=f（x）？圳f（x）-f（-x）=0.

②f（x）是偶函數？圳f（x）的圖象關于y軸對稱；f（x）是奇函數？圳f（x）的圖象關于原點對稱.

③奇函數在對稱的單調區間內具有相同的單調性；偶函數在對稱的單調區間內具有相反的單調性.

④在公共定義域內：兩個奇函數的和是奇函數，兩個奇函數的積是偶函數；兩個偶函數的和、積都是偶函數；一個奇函數、一個偶函數的積是奇函數.

⑤若奇函數f（x）的定義域中含有0，則必有f（0）=0. 但要注意f（0）=0是f（x）為奇函數的既不充分也不必要條件.

4. 函數的周期性

（1）定義：若存在一個非零常數T，使得對于函數定義域內的任意x，都有f（x+T）=f（x），則稱f（x）為周期函數，其中T稱作f（x）的周期. 若所有的T值中存在一個最小的正數，則稱它為f（x）的最小正周期.

（2）性質：①f（x+T）=f（x）常寫作fx+=fx-.

②若T是函數y=f（x）的周期，則kT（k∈Z，且k≠0）也是y=f（x）的周期，即f（x+kT）=f（x）.

③若對于函數f（x）定義域內的任意x，都有f（x+a）=-f（x）或f（x+a）=或f（x+a）=-（a是常數，且a≠0），則f（x）是一個以2a為周期的周期函數.

方法突破

1. 單調性的證明方法

（1）定義法：如果對于函數f（x）的定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1f（x2）），那么就說f（x）在區間D上單調遞增（單調遞減）.

（2）導數法：在某個區間（a，b）內，如果f ′（x）>0，那么函數y=f（x）在這個區間內單調遞增；如果f ′（x）<0，那么函數y=f（x）在這個區間內單調遞減.

2. 單調區間的求法及表示

單調區間的求法：定義法、導數法、圖象法、復合函數法.

函數的單調區間是函數定義域的子區間，所以在求解函數的單調區間時，必須先求出函數的定義域. 單調區間只能用區間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調區間應分別寫，不能用并集符號“∪”聯結，也不能用“或”聯結.

3. 函數奇偶性的判斷

主要根據定義判斷函數的奇偶性：一般地，如果對于函數f（x）定義域內的任意x，都有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），那么函數f（x）就叫做偶函數（或奇函數）. 該定義包含兩個必備條件：①定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域有利于準確、簡潔地解決問題；②判斷f（x）與f（-x）是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷關系式f（x）+f（-x）=0（奇函數）或f（x）-f（-x）=0（偶函數）是否成立.

函數的基本性質包括函數的定義域、值域、解析式、單調性、奇偶性、周期性、對稱性等. 在解決與函數有關的（如方程、不等式等）問題時，巧妙利用函數的相關性質，可以使得問題得到簡化，從而達到解決問題的目的.

函數的基本性質是函數知識的核心，是研究函數、方程、不等式的重要武器，已成為各省市高考命題的“重頭戲”. 如何利用函數性質是解題的難點與關鍵.

重點難點

1. 函數的單調性

（1）定義：一般地，設函數y=f（x）的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1f（x2）），那么就說f（x）在區間D上是增函數（減函數）.

深化（單調性定義的等價形式）：設x1，x2∈[a，b]，那么（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0？圳■>0？圳f（x）在[a，b]上是增函數；（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]<0？圳■<0？圳f（x）在[a，b]上是減函數.

（2）單調區間：如果函數y=f（x）在某個區間D上是增函數或減函數，那么就說函數y=f（x）在區間D上具有（嚴格的）單調性，區間D叫做y=f（x）的單調區間.

2. 函數的最值

一般地，設函數y=f（x）的定義域為I，如果存在實數M滿足：①對于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）；②存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么，稱M是函數y=f（x）的最大值（最小值）.

3. 函數的奇偶性

（1）定義：若對于函數f（x）定義域內的任意x，都有f（-x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數；如果對于函數f（x）定義域內的任意x，都有f（-x）=f（x），則稱f（x）為偶函數.

（2）性質：①f（x）為奇函數？圳f（-x）= -f（x）？圳f（-x）+f（x）=0；f（x）為偶函數？圳f（x）=f（-x）=f（x）？圳f（x）-f（-x）=0.

②f（x）是偶函數？圳f（x）的圖象關于y軸對稱；f（x）是奇函數？圳f（x）的圖象關于原點對稱.

③奇函數在對稱的單調區間內具有相同的單調性；偶函數在對稱的單調區間內具有相反的單調性.

④在公共定義域內：兩個奇函數的和是奇函數，兩個奇函數的積是偶函數；兩個偶函數的和、積都是偶函數；一個奇函數、一個偶函數的積是奇函數.

⑤若奇函數f（x）的定義域中含有0，則必有f（0）=0. 但要注意f（0）=0是f（x）為奇函數的既不充分也不必要條件.

4. 函數的周期性

（1）定義：若存在一個非零常數T，使得對于函數定義域內的任意x，都有f（x+T）=f（x），則稱f（x）為周期函數，其中T稱作f（x）的周期. 若所有的T值中存在一個最小的正數，則稱它為f（x）的最小正周期.

（2）性質：①f（x+T）=f（x）常寫作fx+=fx-.

②若T是函數y=f（x）的周期，則kT（k∈Z，且k≠0）也是y=f（x）的周期，即f（x+kT）=f（x）.

③若對于函數f（x）定義域內的任意x，都有f（x+a）=-f（x）或f（x+a）=或f（x+a）=-（a是常數，且a≠0），則f（x）是一個以2a為周期的周期函數.

方法突破

1. 單調性的證明方法

（1）定義法：如果對于函數f（x）的定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1f（x2）），那么就說f（x）在區間D上單調遞增（單調遞減）.

（2）導數法：在某個區間（a，b）內，如果f ′（x）>0，那么函數y=f（x）在這個區間內單調遞增；如果f ′（x）<0，那么函數y=f（x）在這個區間內單調遞減.

2. 單調區間的求法及表示

單調區間的求法：定義法、導數法、圖象法、復合函數法.

函數的單調區間是函數定義域的子區間，所以在求解函數的單調區間時，必須先求出函數的定義域. 單調區間只能用區間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調區間應分別寫，不能用并集符號“∪”聯結，也不能用“或”聯結.

3. 函數奇偶性的判斷

主要根據定義判斷函數的奇偶性：一般地，如果對于函數f（x）定義域內的任意x，都有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），那么函數f（x）就叫做偶函數（或奇函數）. 該定義包含兩個必備條件：①定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域有利于準確、簡潔地解決問題；②判斷f（x）與f（-x）是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷關系式f（x）+f（-x）=0（奇函數）或f（x）-f（-x）=0（偶函數）是否成立.