函數與方程

張月晴

函數與方程是數學中兩個重要的概念，它們貫穿于整個高中教學之中. 對函數與方程的復習，除了研究函數的零點、方程的根之外，還需要注意函數與方程思想在其他知識中的應用. 函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題. 方程思想，是指從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解. 此外，很多時候我們還需要實現函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的.

重點難點

重點：理解函數零點的概念、零點存在性定理；掌握函數零點和方程的實根之間的關系；掌握函數零點（方程的根）個數以及零點（方程的根）所在區間的判斷方法；了解用二分法求方程近似解的過程；能靈活運用函數與方程思想解決數學問題.

難點：零點存在性定理的理解及應用；函數零點、方程的根以及兩函數圖象的交點橫坐標三者之間的轉化；如何在不同的情境中構造函數或方程來解決數學綜合問題.

方法突破

1. 由函數零點的概念可知，函數y=f（x）的零點就是方程f（x）=0的實根，也是其圖象與x軸交點的橫坐標，它是實數. 寫一個函數的零點時，所寫的一定是一個數字，而不是一個坐標.

2. 在確定一個函數的零點所在區間時，通常利用零點存在性定理，將問題轉化為確定區間兩端點對應的函數值的符號是否相反. 在運用零點存在性定理時要注意以下幾點：（1）函數的圖象在某區間內是不是連續不斷的一條曲線；（2）該函數是否滿足在上述區間的兩個端點處，函數值之積小于0；（3）若函數y=f（x）的圖象在閉區間[a，b]上是一條連續不斷的曲線，則“f（a）·f（b）<0”是“函數y=f（x）在閉區間[a，b]上有零點”的充分不必要條件；（4）若函數y=f（x）在[a，b]上單調，則f（a）·f（b）<0？圳函數y=f（x）在閉區間[a，b]上有唯一的零點.

3. 判斷函數y=f（x）在某區間內的零點個數的方法主要有三種：（1）解方程f（x）=0，計算出方程實數根的個數（重根按1個計算）即為函數零點個數；（2）作出函數y=f（x）的圖象，判斷圖象與x軸的交點個數即為函數零點個數；（3）轉化為求兩函數圖象的交點個數問題，一般是將f（x）=0的若干項移到等式右邊，構造兩個基本初等函數，繼而在同一直角坐標系內作出兩函數圖象，兩函數圖象的交點個數即為函數y=f（x）的零點個數.

4. 函數與方程式密切相關，函數問題可以轉化為方程問題，方程問題也可以轉化為函數問題. 如函數的零點問題就可以轉化為方程的根來解決；求方程的根或根的近似值就是求函數的零點值或近似值.將方程根的問題轉化為函數的零點問題，不僅直觀展現了方程根的幾何意義，重要的是可以簡化運算程序，提高解決問題的效率.

5. 已知函數有零點（方程有實根）或已知函數的零點個數（方程的實根個數）求參數的取值范圍是高考考查的熱點和難點，其突破的方法主要有：（1）直接法，即直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數的范圍；（2）分離參數法，即先將參數分離，轉化為求函數值域或最值問題去解決；（4）數形結合法，即先對函數解析式變形，在同一直角坐標系中畫出函數圖象，然后通過數形結合求解.

6.函數與方程思想作為一種重要的基本數學思想，幾乎滲透于高中數學的各大知識板塊之中. 如函數與不等式之間的相互轉化，不等式f（x）>0的解集等價于函數y=f（x）的位于x軸上方的圖象所涉及的x的取值范圍；證明不等式f（x）>0恒成立，可以轉化為研究函數y=f（x）的最小值大于0等.endprint

函數與方程是數學中兩個重要的概念，它們貫穿于整個高中教學之中. 對函數與方程的復習，除了研究函數的零點、方程的根之外，還需要注意函數與方程思想在其他知識中的應用. 函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題. 方程思想，是指從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解. 此外，很多時候我們還需要實現函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的.

重點難點

重點：理解函數零點的概念、零點存在性定理；掌握函數零點和方程的實根之間的關系；掌握函數零點（方程的根）個數以及零點（方程的根）所在區間的判斷方法；了解用二分法求方程近似解的過程；能靈活運用函數與方程思想解決數學問題.

難點：零點存在性定理的理解及應用；函數零點、方程的根以及兩函數圖象的交點橫坐標三者之間的轉化；如何在不同的情境中構造函數或方程來解決數學綜合問題.

方法突破

1. 由函數零點的概念可知，函數y=f（x）的零點就是方程f（x）=0的實根，也是其圖象與x軸交點的橫坐標，它是實數. 寫一個函數的零點時，所寫的一定是一個數字，而不是一個坐標.

2. 在確定一個函數的零點所在區間時，通常利用零點存在性定理，將問題轉化為確定區間兩端點對應的函數值的符號是否相反. 在運用零點存在性定理時要注意以下幾點：（1）函數的圖象在某區間內是不是連續不斷的一條曲線；（2）該函數是否滿足在上述區間的兩個端點處，函數值之積小于0；（3）若函數y=f（x）的圖象在閉區間[a，b]上是一條連續不斷的曲線，則“f（a）·f（b）<0”是“函數y=f（x）在閉區間[a，b]上有零點”的充分不必要條件；（4）若函數y=f（x）在[a，b]上單調，則f（a）·f（b）<0？圳函數y=f（x）在閉區間[a，b]上有唯一的零點.

3. 判斷函數y=f（x）在某區間內的零點個數的方法主要有三種：（1）解方程f（x）=0，計算出方程實數根的個數（重根按1個計算）即為函數零點個數；（2）作出函數y=f（x）的圖象，判斷圖象與x軸的交點個數即為函數零點個數；（3）轉化為求兩函數圖象的交點個數問題，一般是將f（x）=0的若干項移到等式右邊，構造兩個基本初等函數，繼而在同一直角坐標系內作出兩函數圖象，兩函數圖象的交點個數即為函數y=f（x）的零點個數.

4. 函數與方程式密切相關，函數問題可以轉化為方程問題，方程問題也可以轉化為函數問題. 如函數的零點問題就可以轉化為方程的根來解決；求方程的根或根的近似值就是求函數的零點值或近似值.將方程根的問題轉化為函數的零點問題，不僅直觀展現了方程根的幾何意義，重要的是可以簡化運算程序，提高解決問題的效率.

5. 已知函數有零點（方程有實根）或已知函數的零點個數（方程的實根個數）求參數的取值范圍是高考考查的熱點和難點，其突破的方法主要有：（1）直接法，即直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數的范圍；（2）分離參數法，即先將參數分離，轉化為求函數值域或最值問題去解決；（4）數形結合法，即先對函數解析式變形，在同一直角坐標系中畫出函數圖象，然后通過數形結合求解.

6.函數與方程思想作為一種重要的基本數學思想，幾乎滲透于高中數學的各大知識板塊之中. 如函數與不等式之間的相互轉化，不等式f（x）>0的解集等價于函數y=f（x）的位于x軸上方的圖象所涉及的x的取值范圍；證明不等式f（x）>0恒成立，可以轉化為研究函數y=f（x）的最小值大于0等.endprint

函數與方程是數學中兩個重要的概念，它們貫穿于整個高中教學之中. 對函數與方程的復習，除了研究函數的零點、方程的根之外，還需要注意函數與方程思想在其他知識中的應用. 函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題. 方程思想，是指從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解. 此外，很多時候我們還需要實現函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的.

重點難點

重點：理解函數零點的概念、零點存在性定理；掌握函數零點和方程的實根之間的關系；掌握函數零點（方程的根）個數以及零點（方程的根）所在區間的判斷方法；了解用二分法求方程近似解的過程；能靈活運用函數與方程思想解決數學問題.

難點：零點存在性定理的理解及應用；函數零點、方程的根以及兩函數圖象的交點橫坐標三者之間的轉化；如何在不同的情境中構造函數或方程來解決數學綜合問題.

方法突破

1. 由函數零點的概念可知，函數y=f（x）的零點就是方程f（x）=0的實根，也是其圖象與x軸交點的橫坐標，它是實數. 寫一個函數的零點時，所寫的一定是一個數字，而不是一個坐標.

2. 在確定一個函數的零點所在區間時，通常利用零點存在性定理，將問題轉化為確定區間兩端點對應的函數值的符號是否相反. 在運用零點存在性定理時要注意以下幾點：（1）函數的圖象在某區間內是不是連續不斷的一條曲線；（2）該函數是否滿足在上述區間的兩個端點處，函數值之積小于0；（3）若函數y=f（x）的圖象在閉區間[a，b]上是一條連續不斷的曲線，則“f（a）·f（b）<0”是“函數y=f（x）在閉區間[a，b]上有零點”的充分不必要條件；（4）若函數y=f（x）在[a，b]上單調，則f（a）·f（b）<0？圳函數y=f（x）在閉區間[a，b]上有唯一的零點.

3. 判斷函數y=f（x）在某區間內的零點個數的方法主要有三種：（1）解方程f（x）=0，計算出方程實數根的個數（重根按1個計算）即為函數零點個數；（2）作出函數y=f（x）的圖象，判斷圖象與x軸的交點個數即為函數零點個數；（3）轉化為求兩函數圖象的交點個數問題，一般是將f（x）=0的若干項移到等式右邊，構造兩個基本初等函數，繼而在同一直角坐標系內作出兩函數圖象，兩函數圖象的交點個數即為函數y=f（x）的零點個數.

4. 函數與方程式密切相關，函數問題可以轉化為方程問題，方程問題也可以轉化為函數問題. 如函數的零點問題就可以轉化為方程的根來解決；求方程的根或根的近似值就是求函數的零點值或近似值.將方程根的問題轉化為函數的零點問題，不僅直觀展現了方程根的幾何意義，重要的是可以簡化運算程序，提高解決問題的效率.

5. 已知函數有零點（方程有實根）或已知函數的零點個數（方程的實根個數）求參數的取值范圍是高考考查的熱點和難點，其突破的方法主要有：（1）直接法，即直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數的范圍；（2）分離參數法，即先將參數分離，轉化為求函數值域或最值問題去解決；（4）數形結合法，即先對函數解析式變形，在同一直角坐標系中畫出函數圖象，然后通過數形結合求解.

6.函數與方程思想作為一種重要的基本數學思想，幾乎滲透于高中數學的各大知識板塊之中. 如函數與不等式之間的相互轉化，不等式f（x）>0的解集等價于函數y=f（x）的位于x軸上方的圖象所涉及的x的取值范圍；證明不等式f（x）>0恒成立，可以轉化為研究函數y=f（x）的最小值大于0等.endprint