利用軸對稱和平移求最短距離

莫慧瓊

利用軸對稱和平移求最短距離是近年來中考的一個熱點，這類問題主要考察同學們化歸的數學思想和建模能力，它可以結合各類知識進行考察，綜合性強，是同學們較為頭痛的一類問題.

例如，2012年南寧市中考壓軸題的最后一問就是此類問題.

如圖1，已知點A（3，4），當點B的坐標為（-1，1）時，在x軸上另取兩點E，F，且EF=1. 線段EF在x軸上平移，線段EF平移至何處時，四邊形ABEF的周長最小？求出此時點E的坐標.

要解決這個問題，我們得先從幾個簡單的數學模型入手，發現并歸納解這一類問題的思想和方法.先跟著老師看下面的例題，或許你能從中得到某些啟示.

例1：如圖2，地下河兩側有村莊A，B. 今年大旱，村民們要在河上方挖一口井向A村與B村供水. 若要使井口P分別到A，B兩村的水管之和最短，應在圖上什么地方鑿井？（注：本題由八年級上冊課本第42頁例題改編）

【分析】這道題是個實際問題，我們將它轉化成數學模型就不需要考慮河寬，所以可以將這個實際問題抽象為下面這樣一個數學問題：

如圖3，兩點A，B分別在一直線l的兩側，直線上一動點P停留在哪一位置時，能使PA+PB最短？

顯然，應該連接AB，與直線l相交于一點，當動點P位于此位置時，PA+PB是最短的，理由是“兩點之間，線段最短”.

【變式1】當村莊A，B在河的同一側時，井口P又應在什么地方呢？

【分析】這時在直線上任取一點P，連接PA，PB，如圖4，還能輕易看出哪條路徑最短嗎？能否想個辦法，把它轉化成剛才那種點在直線兩側的情況呢？

顯然，可以作點B關于……