帶有模糊約束的證券投資決策問題

杜雅哲　許玉芬+史麗麗　王曉

[提要] 基于可信性理論，本文建立一類新的帶有模糊約束的投資決策模型。然后，利用模型的基本性質(zhì)將模糊模型轉(zhuǎn)化為一個經(jīng)典的線性規(guī)劃模型。最后給出一個證券投資決策問題的實例，并利用Lingo軟件進(jìn)行求解。

關(guān)鍵詞：投資決策；模糊約束；線性規(guī)劃

中圖分類號：F83 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

收錄日期：2014年7月25日

一、背景介紹

投資決策問題一直都是經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的熱門問題之一，眾多學(xué)者利用不同的研究方法在投資決策問題上得到了大量研究成果。例如，錢進(jìn)（1990）通過全局最優(yōu)的方法研究投資決策問題。宋軍等（2003）建立了一種極小化跟蹤投資回報率與目標(biāo)回報率偏差的多階段投資決策模型，并將隨機模擬、遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)集成在動態(tài)規(guī)劃之中，設(shè)計給出了一種智能化求解方法。衛(wèi)淑芝（2010）討論了資產(chǎn)價格在宏觀經(jīng)濟(jì)以及金融等因素影響下，含有可違約風(fēng)險債券的連續(xù)時間風(fēng)險敏感度投資決策問題。但是，隨著經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，當(dāng)前的投資決策問題依然面臨著巨大的挑戰(zhàn)，尤其在不確定性因素的處理方面更顯突出。

為了處理投資決策中的各種不確定性因素，眾多學(xué)者應(yīng)用隨機方法和模糊方法對投資問題進(jìn)行了大量的研究。本文將主要從模糊優(yōu)化的角度來研究投資決策問題。自從美國控制論專家Zadeh（1965）提出模糊集理論以來，模糊模型及相應(yīng)算法得到了迅速發(fā)展。期間，Liu和Liu（2002）提出了可信性測度的概念并有效地豐富了現(xiàn)有模糊優(yōu)化理論。經(jīng)過十多年的發(fā)展，可信性理論已經(jīng)在社會眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。袁國強（2009）基于可信性理論提出了三類模糊生產(chǎn)計劃模型并設(shè)計了相應(yīng)的算法對模型進(jìn)行了求解。鑒于可信性理論地廣泛應(yīng)用，本文首先將基于可信性理論提出一類新的帶有模糊約束的投資決策模型；然后，通過模型的性質(zhì)將模糊投資決策模型轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型；最后，給出一個具體的證券投資決策問題例子來表明所設(shè)計模型的實用性。

二、帶有模糊約束的投資決策模型

在本文的以下討論中，假設(shè)采用下面的指標(biāo)和參數(shù)。

i=1，2，…，n：投資有價證券的數(shù)量；

Ai：第i種有價證券；

ai：第i種有價證券的信用等級；

bi：第i種有價證券的到期年限；

ci：第i種有價證券的到期稅前收益率；

xi：投資第i種有價證券的金額；

k：在n種有價證券中選出固定投資的m種有價證券至少所需投資的金額總數(shù)；

K：投資者現(xiàn)有的投資金額總數(shù)；

a：投資者可以接受的所購證券的平均信用等級；

b：投資者可以接受的最高所購證券的平均到期年限。

使用上面的記號，為了得到帶有模糊參數(shù)的投資決策模型，本文首先建立以下帶有確定性參數(shù)的投資決策模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （1）

aixi≤axi

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

這里，約束條件xi≥k表示在需要投資的證券中選出m種證券，使得這些證券的投資總額不少于k；xi≤K表示需要投資證券的總金額數(shù)不超過K；bixi≤bxi表示投資者所購證券的平均到期年限不超過b。

在確定性模型（1）中，約束條件aixi≤axi表示投資者所購證券的平均信用等級不超過a。由于有價證券的投資受到各種不確定性因素（例如，銀行利率、信用風(fēng)險、交易風(fēng)險、操作風(fēng)險和市場風(fēng)險等）影響，從而要求投資者在有限的信息條件下要想得到最大的投資利潤就必須合理地對各種投資風(fēng)險進(jìn)行妥善處理，所以本文將信用等級看作離散型模糊變量，即模糊信用等級ai（？酌）（i=1，2，…，n）。因此，通過以上引入的模糊系數(shù)可以建立下面帶有模糊參數(shù)的投資決策模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （2）

Cr？酌ai（？酌）xi≤axi≥0.8

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

由于以上模糊投資決策模型（2）的模糊約束中的可信性水平是0.8，所以根據(jù)Bai等（2009）中的相關(guān)理論可以將模型（2）轉(zhuǎn)化為下面的線性規(guī)劃模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （3）

[ai（？酌）]R0.4xi≤axi

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

這里，[ai（？酌）]R0.4表示sup{t？滋（t）≥0.4}，并且由于模型（3）是一個經(jīng)典的線性規(guī)劃問題，從而可以采用經(jīng)典的線性規(guī)劃算法進(jìn)行求解。

三、帶有模糊約束的證券投資決策實例

下面將給出一個證券投資決策問題的例子來說明上述模糊投資決策模型的實用性。這里，假設(shè)某投資者計劃用2，000萬元資金進(jìn)行5種有價證券的投資，并且可供購進(jìn)的證券、信用等級、到期年限、到期稅前收益如表1所示。（表1）

基于以上的數(shù)據(jù)，下面建立帶有模糊約束的證券投資決策模型：

maxcixi

s.t. x2+x4+x5≥800

xi≤2000 （4）

Cr？酌ai（？酌）xi≤1.3xi≥0.8

8x1+14x2+4x3+3x4+3x5≤5xi

xi≥0，i=1，2，…，5

這里，要求第2種、第4種和第5種證券至少要購進(jìn)800萬元；所購證券的平均模糊信用等級不超過a=1.3；所購證券的平均到期年限不超過b=5年。根據(jù)模型（2）和模型（3）的轉(zhuǎn)化可以得到下面的線性規(guī)劃模型：

max 0.043x1+0.03x2+0.033x3+0.025x4+0.023x5

s.t. x2+x3+x4≥800

xi≤2000 （5）

2.1x1+2.2x2+x3+x4+4x5≤1.3xi

8x1+14x2+4x3+3x4+3x5≤5xi

xi≥0，i=1，2，…，5

本文利用Lingo軟件對模型（5）進(jìn)行求解，最后得到模型（5）的最大收益值為65.06636萬元，最優(yōu)解為第1種證券投資546.6364萬元；第3種證券投資653.3636萬元；第4種證券投資800萬元。

主要參考文獻(xiàn)：

[1]錢進(jìn).全局最優(yōu)投資決策問題和方法[J].中南財經(jīng)政法大學(xué)學(xué)報，1990.3.

[2]宋軍，唐萬生，張莉.多階段投資決策問題的一種智能化求解方法[J].系統(tǒng)工程，2003.2.

[3]衛(wèi)淑芝.考慮可違約風(fēng)險資產(chǎn)的風(fēng)險敏感度投資決策問題[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2010.3.

[4]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and control，1965.8.

[5]袁國強等.基于可信性理論的生產(chǎn)計劃期望值模型[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2009.5.

[提要] 基于可信性理論，本文建立一類新的帶有模糊約束的投資決策模型。然后，利用模型的基本性質(zhì)將模糊模型轉(zhuǎn)化為一個經(jīng)典的線性規(guī)劃模型。最后給出一個證券投資決策問題的實例，并利用Lingo軟件進(jìn)行求解。

關(guān)鍵詞：投資決策；模糊約束；線性規(guī)劃

中圖分類號：F83 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

收錄日期：2014年7月25日

一、背景介紹

投資決策問題一直都是經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的熱門問題之一，眾多學(xué)者利用不同的研究方法在投資決策問題上得到了大量研究成果。例如，錢進(jìn)（1990）通過全局最優(yōu)的方法研究投資決策問題。宋軍等（2003）建立了一種極小化跟蹤投資回報率與目標(biāo)回報率偏差的多階段投資決策模型，并將隨機模擬、遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)集成在動態(tài)規(guī)劃之中，設(shè)計給出了一種智能化求解方法。衛(wèi)淑芝（2010）討論了資產(chǎn)價格在宏觀經(jīng)濟(jì)以及金融等因素影響下，含有可違約風(fēng)險債券的連續(xù)時間風(fēng)險敏感度投資決策問題。但是，隨著經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，當(dāng)前的投資決策問題依然面臨著巨大的挑戰(zhàn)，尤其在不確定性因素的處理方面更顯突出。

為了處理投資決策中的各種不確定性因素，眾多學(xué)者應(yīng)用隨機方法和模糊方法對投資問題進(jìn)行了大量的研究。本文將主要從模糊優(yōu)化的角度來研究投資決策問題。自從美國控制論專家Zadeh（1965）提出模糊集理論以來，模糊模型及相應(yīng)算法得到了迅速發(fā)展。期間，Liu和Liu（2002）提出了可信性測度的概念并有效地豐富了現(xiàn)有模糊優(yōu)化理論。經(jīng)過十多年的發(fā)展，可信性理論已經(jīng)在社會眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。袁國強（2009）基于可信性理論提出了三類模糊生產(chǎn)計劃模型并設(shè)計了相應(yīng)的算法對模型進(jìn)行了求解。鑒于可信性理論地廣泛應(yīng)用，本文首先將基于可信性理論提出一類新的帶有模糊約束的投資決策模型；然后，通過模型的性質(zhì)將模糊投資決策模型轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型；最后，給出一個具體的證券投資決策問題例子來表明所設(shè)計模型的實用性。

二、帶有模糊約束的投資決策模型

在本文的以下討論中，假設(shè)采用下面的指標(biāo)和參數(shù)。

i=1，2，…，n：投資有價證券的數(shù)量；

Ai：第i種有價證券；

ai：第i種有價證券的信用等級；

bi：第i種有價證券的到期年限；

ci：第i種有價證券的到期稅前收益率；

xi：投資第i種有價證券的金額；

k：在n種有價證券中選出固定投資的m種有價證券至少所需投資的金額總數(shù)；

K：投資者現(xiàn)有的投資金額總數(shù)；

a：投資者可以接受的所購證券的平均信用等級；

b：投資者可以接受的最高所購證券的平均到期年限。

使用上面的記號，為了得到帶有模糊參數(shù)的投資決策模型，本文首先建立以下帶有確定性參數(shù)的投資決策模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （1）

aixi≤axi

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

這里，約束條件xi≥k表示在需要投資的證券中選出m種證券，使得這些證券的投資總額不少于k；xi≤K表示需要投資證券的總金額數(shù)不超過K；bixi≤bxi表示投資者所購證券的平均到期年限不超過b。

在確定性模型（1）中，約束條件aixi≤axi表示投資者所購證券的平均信用等級不超過a。由于有價證券的投資受到各種不確定性因素（例如，銀行利率、信用風(fēng)險、交易風(fēng)險、操作風(fēng)險和市場風(fēng)險等）影響，從而要求投資者在有限的信息條件下要想得到最大的投資利潤就必須合理地對各種投資風(fēng)險進(jìn)行妥善處理，所以本文將信用等級看作離散型模糊變量，即模糊信用等級ai（？酌）（i=1，2，…，n）。因此，通過以上引入的模糊系數(shù)可以建立下面帶有模糊參數(shù)的投資決策模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （2）

Cr？酌ai（？酌）xi≤axi≥0.8

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

由于以上模糊投資決策模型（2）的模糊約束中的可信性水平是0.8，所以根據(jù)Bai等（2009）中的相關(guān)理論可以將模型（2）轉(zhuǎn)化為下面的線性規(guī)劃模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （3）

[ai（？酌）]R0.4xi≤axi

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

這里，[ai（？酌）]R0.4表示sup{t？滋（t）≥0.4}，并且由于模型（3）是一個經(jīng)典的線性規(guī)劃問題，從而可以采用經(jīng)典的線性規(guī)劃算法進(jìn)行求解。

三、帶有模糊約束的證券投資決策實例

下面將給出一個證券投資決策問題的例子來說明上述模糊投資決策模型的實用性。這里，假設(shè)某投資者計劃用2，000萬元資金進(jìn)行5種有價證券的投資，并且可供購進(jìn)的證券、信用等級、到期年限、到期稅前收益如表1所示。（表1）

基于以上的數(shù)據(jù)，下面建立帶有模糊約束的證券投資決策模型：

maxcixi

s.t. x2+x4+x5≥800

xi≤2000 （4）

Cr？酌ai（？酌）xi≤1.3xi≥0.8

8x1+14x2+4x3+3x4+3x5≤5xi

xi≥0，i=1，2，…，5

這里，要求第2種、第4種和第5種證券至少要購進(jìn)800萬元；所購證券的平均模糊信用等級不超過a=1.3；所購證券的平均到期年限不超過b=5年。根據(jù)模型（2）和模型（3）的轉(zhuǎn)化可以得到下面的線性規(guī)劃模型：

max 0.043x1+0.03x2+0.033x3+0.025x4+0.023x5

s.t. x2+x3+x4≥800

xi≤2000 （5）

2.1x1+2.2x2+x3+x4+4x5≤1.3xi

8x1+14x2+4x3+3x4+3x5≤5xi

xi≥0，i=1，2，…，5

本文利用Lingo軟件對模型（5）進(jìn)行求解，最后得到模型（5）的最大收益值為65.06636萬元，最優(yōu)解為第1種證券投資546.6364萬元；第3種證券投資653.3636萬元；第4種證券投資800萬元。

主要參考文獻(xiàn)：

[1]錢進(jìn).全局最優(yōu)投資決策問題和方法[J].中南財經(jīng)政法大學(xué)學(xué)報，1990.3.

[2]宋軍，唐萬生，張莉.多階段投資決策問題的一種智能化求解方法[J].系統(tǒng)工程，2003.2.

[3]衛(wèi)淑芝.考慮可違約風(fēng)險資產(chǎn)的風(fēng)險敏感度投資決策問題[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2010.3.

[4]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and control，1965.8.

[5]袁國強等.基于可信性理論的生產(chǎn)計劃期望值模型[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2009.5.

[提要] 基于可信性理論，本文建立一類新的帶有模糊約束的投資決策模型。然后，利用模型的基本性質(zhì)將模糊模型轉(zhuǎn)化為一個經(jīng)典的線性規(guī)劃模型。最后給出一個證券投資決策問題的實例，并利用Lingo軟件進(jìn)行求解。

關(guān)鍵詞：投資決策；模糊約束；線性規(guī)劃

中圖分類號：F83 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

收錄日期：2014年7月25日

一、背景介紹

投資決策問題一直都是經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的熱門問題之一，眾多學(xué)者利用不同的研究方法在投資決策問題上得到了大量研究成果。例如，錢進(jìn)（1990）通過全局最優(yōu)的方法研究投資決策問題。宋軍等（2003）建立了一種極小化跟蹤投資回報率與目標(biāo)回報率偏差的多階段投資決策模型，并將隨機模擬、遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)集成在動態(tài)規(guī)劃之中，設(shè)計給出了一種智能化求解方法。衛(wèi)淑芝（2010）討論了資產(chǎn)價格在宏觀經(jīng)濟(jì)以及金融等因素影響下，含有可違約風(fēng)險債券的連續(xù)時間風(fēng)險敏感度投資決策問題。但是，隨著經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，當(dāng)前的投資決策問題依然面臨著巨大的挑戰(zhàn)，尤其在不確定性因素的處理方面更顯突出。

為了處理投資決策中的各種不確定性因素，眾多學(xué)者應(yīng)用隨機方法和模糊方法對投資問題進(jìn)行了大量的研究。本文將主要從模糊優(yōu)化的角度來研究投資決策問題。自從美國控制論專家Zadeh（1965）提出模糊集理論以來，模糊模型及相應(yīng)算法得到了迅速發(fā)展。期間，Liu和Liu（2002）提出了可信性測度的概念并有效地豐富了現(xiàn)有模糊優(yōu)化理論。經(jīng)過十多年的發(fā)展，可信性理論已經(jīng)在社會眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。袁國強（2009）基于可信性理論提出了三類模糊生產(chǎn)計劃模型并設(shè)計了相應(yīng)的算法對模型進(jìn)行了求解。鑒于可信性理論地廣泛應(yīng)用，本文首先將基于可信性理論提出一類新的帶有模糊約束的投資決策模型；然后，通過模型的性質(zhì)將模糊投資決策模型轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型；最后，給出一個具體的證券投資決策問題例子來表明所設(shè)計模型的實用性。

二、帶有模糊約束的投資決策模型

在本文的以下討論中，假設(shè)采用下面的指標(biāo)和參數(shù)。

i=1，2，…，n：投資有價證券的數(shù)量；

Ai：第i種有價證券；

ai：第i種有價證券的信用等級；

bi：第i種有價證券的到期年限；

ci：第i種有價證券的到期稅前收益率；

xi：投資第i種有價證券的金額；

k：在n種有價證券中選出固定投資的m種有價證券至少所需投資的金額總數(shù)；

K：投資者現(xiàn)有的投資金額總數(shù)；

a：投資者可以接受的所購證券的平均信用等級；

b：投資者可以接受的最高所購證券的平均到期年限。

使用上面的記號，為了得到帶有模糊參數(shù)的投資決策模型，本文首先建立以下帶有確定性參數(shù)的投資決策模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （1）

aixi≤axi

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

這里，約束條件xi≥k表示在需要投資的證券中選出m種證券，使得這些證券的投資總額不少于k；xi≤K表示需要投資證券的總金額數(shù)不超過K；bixi≤bxi表示投資者所購證券的平均到期年限不超過b。

在確定性模型（1）中，約束條件aixi≤axi表示投資者所購證券的平均信用等級不超過a。由于有價證券的投資受到各種不確定性因素（例如，銀行利率、信用風(fēng)險、交易風(fēng)險、操作風(fēng)險和市場風(fēng)險等）影響，從而要求投資者在有限的信息條件下要想得到最大的投資利潤就必須合理地對各種投資風(fēng)險進(jìn)行妥善處理，所以本文將信用等級看作離散型模糊變量，即模糊信用等級ai（？酌）（i=1，2，…，n）。因此，通過以上引入的模糊系數(shù)可以建立下面帶有模糊參數(shù)的投資決策模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （2）

Cr？酌ai（？酌）xi≤axi≥0.8

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

由于以上模糊投資決策模型（2）的模糊約束中的可信性水平是0.8，所以根據(jù)Bai等（2009）中的相關(guān)理論可以將模型（2）轉(zhuǎn)化為下面的線性規(guī)劃模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （3）

[ai（？酌）]R0.4xi≤axi

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

這里，[ai（？酌）]R0.4表示sup{t？滋（t）≥0.4}，并且由于模型（3）是一個經(jīng)典的線性規(guī)劃問題，從而可以采用經(jīng)典的線性規(guī)劃算法進(jìn)行求解。

三、帶有模糊約束的證券投資決策實例

下面將給出一個證券投資決策問題的例子來說明上述模糊投資決策模型的實用性。這里，假設(shè)某投資者計劃用2，000萬元資金進(jìn)行5種有價證券的投資，并且可供購進(jìn)的證券、信用等級、到期年限、到期稅前收益如表1所示。（表1）

基于以上的數(shù)據(jù)，下面建立帶有模糊約束的證券投資決策模型：

maxcixi

s.t. x2+x4+x5≥800

xi≤2000 （4）

Cr？酌ai（？酌）xi≤1.3xi≥0.8

8x1+14x2+4x3+3x4+3x5≤5xi

xi≥0，i=1，2，…，5

這里，要求第2種、第4種和第5種證券至少要購進(jìn)800萬元；所購證券的平均模糊信用等級不超過a=1.3；所購證券的平均到期年限不超過b=5年。根據(jù)模型（2）和模型（3）的轉(zhuǎn)化可以得到下面的線性規(guī)劃模型：

max 0.043x1+0.03x2+0.033x3+0.025x4+0.023x5

s.t. x2+x3+x4≥800

xi≤2000 （5）

2.1x1+2.2x2+x3+x4+4x5≤1.3xi

8x1+14x2+4x3+3x4+3x5≤5xi

xi≥0，i=1，2，…，5

本文利用Lingo軟件對模型（5）進(jìn)行求解，最后得到模型（5）的最大收益值為65.06636萬元，最優(yōu)解為第1種證券投資546.6364萬元；第3種證券投資653.3636萬元；第4種證券投資800萬元。

主要參考文獻(xiàn)：

[1]錢進(jìn).全局最優(yōu)投資決策問題和方法[J].中南財經(jīng)政法大學(xué)學(xué)報，1990.3.

[2]宋軍，唐萬生，張莉.多階段投資決策問題的一種智能化求解方法[J].系統(tǒng)工程，2003.2.

[3]衛(wèi)淑芝.考慮可違約風(fēng)險資產(chǎn)的風(fēng)險敏感度投資決策問題[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2010.3.

[4]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and control，1965.8.

[5]袁國強等.基于可信性理論的生產(chǎn)計劃期望值模型[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2009.5.