基于一階倒立擺系統的機器人建模仿真分析

薛桂娥

摘 要：該文簡化了機器人數學建模，采用一階倒立擺數學模型來近似替代原模型，用來研究機器人控制器。控制器設計使用的是NI的控制器設計軟件。使用Simulation對第四章設計的控制算法進行仿真分析，采用的被控對象為一階倒立擺非線性模型。

關鍵詞：一階模型 機器人 仿真

中圖分類號：TP242 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）07（c）-0068-01

系統仿真是根據被研究的真實系統的數學模型研究系統性能的一門學科，現在尤指利用計算機去研究數學模型行為的方法。計算機仿真的基本內容包括系統、模型、算法、計算機程序設計與仿真結果顯示、分析與驗證等環節。本文選用NI提供的NI Simulation Module軟件模塊構建機器人實時系統仿真，實時對數據進行采集，使得不需要編寫任何程序直接把控制模型的輸出信號引出作用在真實系統。

1 近似模型—倒立擺系統

倒立擺系統的控制問題一直是自動控制理論研究中的一個典型問題?？刂频哪繕耸峭ㄟ^給機器人底座施加一個力u（控制量），使機器人停留在預定的位置，并使豎起的支桿不倒下，即不超過一個預定好的垂直偏離角范圍。該次設計使用的倒立擺硬件是固高公司生產的GIP-100-L一階倒立擺系統。

其中，計算機與運動控制卡的部分采用了NI的PXI控制器及其運動控制卡系統，即固高上層運動控制部分被替換為NI的運動控制產品，下層系統不變。整個系統包括計算機、運動控制卡、伺服機構、倒立擺本體和光電碼盤幾大部分，組成了一個閉環系統。光電碼盤1將機器人的位移、速度信號反饋給伺服驅動器和運動控制卡，擺桿的位置、速度信號由光電碼盤2反饋回運動控制卡。

在該文中，將應用牛頓一歐拉法對倒立擺進行數學建模。得到一階倒立擺動力學非線性方程組后，在=0附近對以上方程組進行線性化處理，其中，可以得到式（1）：

2 倒立擺非線性系統數學模型建立

非線性是指不具有線性疊加的性質，在現實系統中，大多數系統都是非線性的，NI的Simulation Module工具套件除了本身提供的非線性工具（比如過沖、摩擦、死區、量化、延遲、變化率限制等非線性模型）之外，還可以通過NI的公式節點來編輯非線性數學模型，得到系統的非線性微分方程表示，比如三角函數、指數函數、冪函數等等。

根據NI建議的，本次設計倒立擺的線性模型采用Simulation 自帶的自控理論函數仿真，采用公式節點輔助Simulation Module提供的標準積分器來實現。根據公式（1）的倒立擺非線性系統模型，采用公式節點輔助標準積分器實現。

其中M表示機器人質量，m表示倒立擺擺桿質量，g表示重力加速度，L表示擺桿桿長，u表示控制力大小，b表示滑動摩擦系數，f表示轉動摩擦系數，J表示擺桿轉動慣量。dda表示角度相對于時間的二階導數，da是角度的一階導數，a表示角度，ddx表示位移相對于時間的二階導數（即加速度），dx表示位移相對于時間的一階倒數（即速度），x表示機器人的位移。其中a、da、x、dx為非線性系統類似于自控理論中狀態空間表示的狀態變量，u表示系統輸入，并且對于上述的四個狀態，系統的初始值可以設定。

以上就是直接采用倒立擺非線性微分方程所建立數學模型的仿真，通過仿真發現，采用非線性模型對系統仿真更接近于系統的真實特性，如果采用線性模型（即對倒立擺模型線性化后所使用的狀態空間表示方程），系統將完全看不出在平衡位置震蕩的曲線。

3 機器人建模仿真

目前大部分仿真系統內只提供線性控制器，所得到的分析曲線也是在倒立擺為線性的情況下的結果，所以并不能比較真實全面地表現該控制器對真實系統（非線性系統）作用時倒立擺真正的表現，使用了NI Simulation Module就可以把所設計的線性控制器直接對非線性被控對象進行仿真，用于觀測結果。

對于機器人伺服系統控制器為五個輸入，一個輸出，五個輸入分別表示倒立擺對象的四個狀態（即角度、角速度、位移、速度）和位移參考輸入，輸出為控制器對倒立擺機器人所施加的力，把此控制器用于系統仿真，必先得到該控制器的離散LTI模型。

上式就是控制器狀態空間LTI模型，該模型的輸出顯示在程序框圖左側中間的部分，在左側底部，該控制器模型被保存為文件，用于在本章仿真中直接從文件中調出，仿真使用。從該模型中明確看出，v（k）表示積分狀態，x（k）為被控對象輸入的四個狀態和委員參考輸入，y為控制器的輸出，其中被設計的參數、分別顯示在輸出方程中。

w仿真結果的兩個控制開關分別表示了所用的控制器類型以及被控對象倒立擺線性、非線性模型。其中右邊曲線表示在t=0時參考輸入為-1.4，在t=3時參考輸入為0.0052時的響應曲線，其中紅色曲線表示倒立擺擺桿角度，藍色曲線表示機器人位置，可見對于本文所設計控制器應用于非線性被控對象還是完全可以達到預期目地的。但是，由于所設計的控制器是在被控對象為線性近似的情況下完成的，當參考輸入的變化量突然變大時，系統將發生不穩定。由此可見，現代控制理論的設計思想用于實際情況還是具有一定得局限性的。從仿真結果來看，大約參考輸入突然變化2以上時，系統將發生崩潰。

4 結語

本次設計的主要任務即是控制系統設計，對系統進行數學建模，通過真實信號的激勵、響應，對模型進行修正。之后選擇控制器結構并獲取相應的參數，并對控制系的性能進行分析。本文完成了大部分的控制系統開發工作，但是仍有部分工作還在研究階段，該文只是整個開發過程中一個階段性總結，以希望科研繼往開來。

參考文獻

[1] 孫靈芳，孔輝，劉長國，等.倒立擺系統及研究現狀[J].機床與液壓，2012（7）.

[2] 楊世勇，徐莉蘋，王培進.單級倒立擺的PID控制研究[J].控制工程，2012（S1）.

[3] 陽武嬌.基于MATLAB的一階倒立擺控制系統的建模與仿真[J].電子元器件應用，2012（1）.endprint