《機械原理》平面機構運動分析圖解法新探索

石云霞++沈景鳳++王新華

摘 要：介紹了《機械原理》課程教學中矢量方程圖解法在平面機構運動分析中的基本原理及應用方法，結合具體實例對矢量方程圖解法應用過程中一些傳統的解法進行了補充和更正，以期對相關概念有一個更明確的認識，對相應教學做一些有益的探討。

關鍵詞：機械原理 平面機構 運動分析

中圖分類號：TH112.1 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）07（c）-0238-02

《機械原理》是機械類各專業中研究機械共性的一門專業基礎課程。它的主要任務是使學生掌握各種基本機構及由其所組成的機械系統的基礎理論、基本知識、分析和設計方法，并具備進行機械系統運動方案設計的初步能力。它的知識結構承前啟后，是學習相關專業課的基礎。在《機械原理》教學中，平面機構的運動分析是必不可少的教學內容，無論是設計新機械還是對現有機構進行分析，都要用到機構的運動分析知識。而平面機構運動分析中的矢量方程圖解法是運動分析教學的一個重點難點內容。在多年的教學實踐過程中，筆者發現通用的《機械原理》教材中對矢量方程圖解法的一些說法有語焉不詳或不準確的地方，現提出問題的所在并對問題進行分析、更正和解法補充，與大家探討。

1 矢量方程圖解法的基本原理和作法

矢量方程圖解法是平面機構運動分析的一種常用方法，可同時進行機構的速度、加速度分析，其基本原理是理論力學的運動學理論：“剛體的平面運動是隨基點的牽連運動和繞基點的相對運動的合成”及“重合點的絕對運動是牽連運動和相對運動的合成”。

在用矢量方程圖解法對機構進行速度和加速度分析時，首先是根據相對運動原理，建立點與點之間的速度和加速度矢量方程，然后根據矢量方程圖解條件作圖求解，按比例繪出機構的速度多邊形和加速度多邊形，求得未知的運動參數。

機構運動分析可為分兩種情況：

1）同一構件上兩點間速度及加速度的關系；

2）兩構件重合點間的速度和加速度的關系。

2 引例及其傳統的求解方法

在圖1（a）所示的曲柄滑塊機構中，設已知各構件尺寸和原動件1以角速度ω1勻速轉動，則A點的運動已知。如果要求B點的速度，分析可知，其屬于機構運動分析的第一種情況，即同一構件上兩點間的速度關系。由剛體平面運動的運動合成原理可知，連桿2上任一點（如點B）的運動可認為是隨基點A的平動（牽連平動）和繞基點轉動（相對運動）的合成，故點B的速度為

上式為一矢量方程，只有vB及vBA的大小兩個未知量，故可根據該式作矢量多邊形求解。為此，選定速度比例尺μv（m·s-1/mm），并任選點p作為起始點（代表機構中絕對速度為零的點），作矢量線pa表示vA（圖5-5（b）），過點a作直線ab代表vBA的方向線，與代表vB的方向線的直線pb交于點b，則pb表示vB，ab表示vBA，且構件2的角速度大小為ω2=vBA/lAB=abμv/AB，通過將vBA平移到點B可確定其轉向為逆時針方向。

在連桿2上A、B兩點的速度已知后，如何求構件2上任一點C的速度呢？

這種在已知構件上A、B兩點的速度，求構件上任一點C的速度的問題，《機械原理》教材中傳統的解法有兩種：一是利用點C與點A和點C與點B間的速度關系，列出矢量方程，再用圖解法求解；二是利用速度影像法，即圖1中△ABC∽△abc，圖形△abc稱為構件圖形△ABC的速度影像，并且兩者的方位關系為速度影像是相應機構圖形沿ω2方向轉過90°所得。當已知構件上兩點的速度時，則構件上其他任一點的速度便可利用速度影像關系求得，而不需再列矢量方程求解，是一種簡潔的求解方法。本實例速度影像法的應用如圖1b）所示。

3 問題的提出及新解

上述解法是經典機械原理教材對已知構件上兩點的速度后，求其上其他任一點速度的兩種方法。在求C的速度時，幾乎所以教材都沒有提及其他方法，甚至有的教材書上明確寫到：因為C點的大小方向均未知，vCA和vCB大小也未知，故方程和無法求解。即

上述兩個方程均含三個未知要素，故都無法作圖求解。

通過聯立方程，即

上述方程只有vCA和vCB兩個未知量，可解。

在多年教學實踐過程中，筆者發現，這種說法是不妥當的。在已知構件上兩點的速度（即vA和vB）后，不可認為vCA和vCB還是未知量，因為此時構件2的角速度已經求得，即ω2=vBA/lAB=abμv/AB，vCA和vCB的大小和方向也就已經知道，則有

上述兩個方程均只含有兩個未知要素，故都可作圖求解，圖解分別如圖2b）、2c）所示。

為什么如此經典的問題及解法會出現這樣的疏忽，筆者分析如下：首先傳統的兩種解法已經能滿足我們的求解要求，并且在實際操作過程中也很方便，尤其是速度影像法，尤為推崇，從而導致了大家對其他方法的探索。其次，因為機械原理課程是一門技術基礎課，相比力學等基礎課程，其理論分析不太被強調而更多地考慮了實用，即只要滿足應用需求，能解決問題就行，而沒有全面地分析考慮 該問題的所有可能解。因為教材中只提了這兩種解法，長此以往，就引起誤解，許多人以為只能這樣求解，甚至有些教材書上也給出了武斷錯誤的結論。

這里對C點運動速度的求解方法做出詳細解釋和補充說明，目的有二：一是更正不妥的說法，二是對求解方法做出補充，提出新的解法，即除了傳統的兩種解法之外，還可利用和這兩個矢量方程分別進行求解。

4 結語

平面機構的運動分析是《機械原理》課程的重點教學內容，矢量方程圖解法是其教學難點，對于其基本原理和求解方法，應做到概念明確和思路清晰。新補充的解法不僅僅是對原有求解方法的補充和完善，更是對原有求解方法的更正，避免錯誤的長期存在。尤其是作為教材，更不能起到誤導的作用。

引例所述問題的具體求解方法總結如下：已知構件上兩點的速度（如圖1中構件2）后，求其上其他任一點速度的求解方法有四種，即傳統的聯立方程求解和利用速度影像法求解；還可以利用本文提出的和這兩個矢量方程分別進行求解。

參考文獻

[1] 孫桓.機械原理[M].7版.高等教育出版社，2006.

[2] 魏兵.機械原理[M].華中科技大學出版社，2007.

[3] 江帆.機械原理[M].機械工業出版社，2013.

[4] 鄒慧君.機械原理[M].高等教育出版社，1999.

[5] 王新華.高等機械設計[M].化學工業出版社，2013.endprint

摘 要：介紹了《機械原理》課程教學中矢量方程圖解法在平面機構運動分析中的基本原理及應用方法，結合具體實例對矢量方程圖解法應用過程中一些傳統的解法進行了補充和更正，以期對相關概念有一個更明確的認識，對相應教學做一些有益的探討。

關鍵詞：機械原理 平面機構 運動分析

中圖分類號：TH112.1 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）07（c）-0238-02

《機械原理》是機械類各專業中研究機械共性的一門專業基礎課程。它的主要任務是使學生掌握各種基本機構及由其所組成的機械系統的基礎理論、基本知識、分析和設計方法，并具備進行機械系統運動方案設計的初步能力。它的知識結構承前啟后，是學習相關專業課的基礎。在《機械原理》教學中，平面機構的運動分析是必不可少的教學內容，無論是設計新機械還是對現有機構進行分析，都要用到機構的運動分析知識。而平面機構運動分析中的矢量方程圖解法是運動分析教學的一個重點難點內容。在多年的教學實踐過程中，筆者發現通用的《機械原理》教材中對矢量方程圖解法的一些說法有語焉不詳或不準確的地方，現提出問題的所在并對問題進行分析、更正和解法補充，與大家探討。

1 矢量方程圖解法的基本原理和作法

矢量方程圖解法是平面機構運動分析的一種常用方法，可同時進行機構的速度、加速度分析，其基本原理是理論力學的運動學理論：“剛體的平面運動是隨基點的牽連運動和繞基點的相對運動的合成”及“重合點的絕對運動是牽連運動和相對運動的合成”。

在用矢量方程圖解法對機構進行速度和加速度分析時，首先是根據相對運動原理，建立點與點之間的速度和加速度矢量方程，然后根據矢量方程圖解條件作圖求解，按比例繪出機構的速度多邊形和加速度多邊形，求得未知的運動參數。

機構運動分析可為分兩種情況：

1）同一構件上兩點間速度及加速度的關系；

2）兩構件重合點間的速度和加速度的關系。

2 引例及其傳統的求解方法

在圖1（a）所示的曲柄滑塊機構中，設已知各構件尺寸和原動件1以角速度ω1勻速轉動，則A點的運動已知。如果要求B點的速度，分析可知，其屬于機構運動分析的第一種情況，即同一構件上兩點間的速度關系。由剛體平面運動的運動合成原理可知，連桿2上任一點（如點B）的運動可認為是隨基點A的平動（牽連平動）和繞基點轉動（相對運動）的合成，故點B的速度為

上式為一矢量方程，只有vB及vBA的大小兩個未知量，故可根據該式作矢量多邊形求解。為此，選定速度比例尺μv（m·s-1/mm），并任選點p作為起始點（代表機構中絕對速度為零的點），作矢量線pa表示vA（圖5-5（b）），過點a作直線ab代表vBA的方向線，與代表vB的方向線的直線pb交于點b，則pb表示vB，ab表示vBA，且構件2的角速度大小為ω2=vBA/lAB=abμv/AB，通過將vBA平移到點B可確定其轉向為逆時針方向。

在連桿2上A、B兩點的速度已知后，如何求構件2上任一點C的速度呢？

這種在已知構件上A、B兩點的速度，求構件上任一點C的速度的問題，《機械原理》教材中傳統的解法有兩種：一是利用點C與點A和點C與點B間的速度關系，列出矢量方程，再用圖解法求解；二是利用速度影像法，即圖1中△ABC∽△abc，圖形△abc稱為構件圖形△ABC的速度影像，并且兩者的方位關系為速度影像是相應機構圖形沿ω2方向轉過90°所得。當已知構件上兩點的速度時，則構件上其他任一點的速度便可利用速度影像關系求得，而不需再列矢量方程求解，是一種簡潔的求解方法。本實例速度影像法的應用如圖1b）所示。

3 問題的提出及新解

上述解法是經典機械原理教材對已知構件上兩點的速度后，求其上其他任一點速度的兩種方法。在求C的速度時，幾乎所以教材都沒有提及其他方法，甚至有的教材書上明確寫到：因為C點的大小方向均未知，vCA和vCB大小也未知，故方程和無法求解。即

上述兩個方程均含三個未知要素，故都無法作圖求解。

通過聯立方程，即

上述方程只有vCA和vCB兩個未知量，可解。

在多年教學實踐過程中，筆者發現，這種說法是不妥當的。在已知構件上兩點的速度（即vA和vB）后，不可認為vCA和vCB還是未知量，因為此時構件2的角速度已經求得，即ω2=vBA/lAB=abμv/AB，vCA和vCB的大小和方向也就已經知道，則有

上述兩個方程均只含有兩個未知要素，故都可作圖求解，圖解分別如圖2b）、2c）所示。

為什么如此經典的問題及解法會出現這樣的疏忽，筆者分析如下：首先傳統的兩種解法已經能滿足我們的求解要求，并且在實際操作過程中也很方便，尤其是速度影像法，尤為推崇，從而導致了大家對其他方法的探索。其次，因為機械原理課程是一門技術基礎課，相比力學等基礎課程，其理論分析不太被強調而更多地考慮了實用，即只要滿足應用需求，能解決問題就行，而沒有全面地分析考慮 該問題的所有可能解。因為教材中只提了這兩種解法，長此以往，就引起誤解，許多人以為只能這樣求解，甚至有些教材書上也給出了武斷錯誤的結論。

這里對C點運動速度的求解方法做出詳細解釋和補充說明，目的有二：一是更正不妥的說法，二是對求解方法做出補充，提出新的解法，即除了傳統的兩種解法之外，還可利用和這兩個矢量方程分別進行求解。

4 結語

平面機構的運動分析是《機械原理》課程的重點教學內容，矢量方程圖解法是其教學難點，對于其基本原理和求解方法，應做到概念明確和思路清晰。新補充的解法不僅僅是對原有求解方法的補充和完善，更是對原有求解方法的更正，避免錯誤的長期存在。尤其是作為教材，更不能起到誤導的作用。

引例所述問題的具體求解方法總結如下：已知構件上兩點的速度（如圖1中構件2）后，求其上其他任一點速度的求解方法有四種，即傳統的聯立方程求解和利用速度影像法求解；還可以利用本文提出的和這兩個矢量方程分別進行求解。

參考文獻

[1] 孫桓.機械原理[M].7版.高等教育出版社，2006.

[2] 魏兵.機械原理[M].華中科技大學出版社，2007.

[3] 江帆.機械原理[M].機械工業出版社，2013.

[4] 鄒慧君.機械原理[M].高等教育出版社，1999.

[5] 王新華.高等機械設計[M].化學工業出版社，2013.endprint

摘 要：介紹了《機械原理》課程教學中矢量方程圖解法在平面機構運動分析中的基本原理及應用方法，結合具體實例對矢量方程圖解法應用過程中一些傳統的解法進行了補充和更正，以期對相關概念有一個更明確的認識，對相應教學做一些有益的探討。

關鍵詞：機械原理 平面機構 運動分析

中圖分類號：TH112.1 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）07（c）-0238-02

《機械原理》是機械類各專業中研究機械共性的一門專業基礎課程。它的主要任務是使學生掌握各種基本機構及由其所組成的機械系統的基礎理論、基本知識、分析和設計方法，并具備進行機械系統運動方案設計的初步能力。它的知識結構承前啟后，是學習相關專業課的基礎。在《機械原理》教學中，平面機構的運動分析是必不可少的教學內容，無論是設計新機械還是對現有機構進行分析，都要用到機構的運動分析知識。而平面機構運動分析中的矢量方程圖解法是運動分析教學的一個重點難點內容。在多年的教學實踐過程中，筆者發現通用的《機械原理》教材中對矢量方程圖解法的一些說法有語焉不詳或不準確的地方，現提出問題的所在并對問題進行分析、更正和解法補充，與大家探討。

1 矢量方程圖解法的基本原理和作法

矢量方程圖解法是平面機構運動分析的一種常用方法，可同時進行機構的速度、加速度分析，其基本原理是理論力學的運動學理論：“剛體的平面運動是隨基點的牽連運動和繞基點的相對運動的合成”及“重合點的絕對運動是牽連運動和相對運動的合成”。

在用矢量方程圖解法對機構進行速度和加速度分析時，首先是根據相對運動原理，建立點與點之間的速度和加速度矢量方程，然后根據矢量方程圖解條件作圖求解，按比例繪出機構的速度多邊形和加速度多邊形，求得未知的運動參數。

機構運動分析可為分兩種情況：

1）同一構件上兩點間速度及加速度的關系；

2）兩構件重合點間的速度和加速度的關系。

2 引例及其傳統的求解方法

在圖1（a）所示的曲柄滑塊機構中，設已知各構件尺寸和原動件1以角速度ω1勻速轉動，則A點的運動已知。如果要求B點的速度，分析可知，其屬于機構運動分析的第一種情況，即同一構件上兩點間的速度關系。由剛體平面運動的運動合成原理可知，連桿2上任一點（如點B）的運動可認為是隨基點A的平動（牽連平動）和繞基點轉動（相對運動）的合成，故點B的速度為

上式為一矢量方程，只有vB及vBA的大小兩個未知量，故可根據該式作矢量多邊形求解。為此，選定速度比例尺μv（m·s-1/mm），并任選點p作為起始點（代表機構中絕對速度為零的點），作矢量線pa表示vA（圖5-5（b）），過點a作直線ab代表vBA的方向線，與代表vB的方向線的直線pb交于點b，則pb表示vB，ab表示vBA，且構件2的角速度大小為ω2=vBA/lAB=abμv/AB，通過將vBA平移到點B可確定其轉向為逆時針方向。

在連桿2上A、B兩點的速度已知后，如何求構件2上任一點C的速度呢？

這種在已知構件上A、B兩點的速度，求構件上任一點C的速度的問題，《機械原理》教材中傳統的解法有兩種：一是利用點C與點A和點C與點B間的速度關系，列出矢量方程，再用圖解法求解；二是利用速度影像法，即圖1中△ABC∽△abc，圖形△abc稱為構件圖形△ABC的速度影像，并且兩者的方位關系為速度影像是相應機構圖形沿ω2方向轉過90°所得。當已知構件上兩點的速度時，則構件上其他任一點的速度便可利用速度影像關系求得，而不需再列矢量方程求解，是一種簡潔的求解方法。本實例速度影像法的應用如圖1b）所示。

3 問題的提出及新解

上述解法是經典機械原理教材對已知構件上兩點的速度后，求其上其他任一點速度的兩種方法。在求C的速度時，幾乎所以教材都沒有提及其他方法，甚至有的教材書上明確寫到：因為C點的大小方向均未知，vCA和vCB大小也未知，故方程和無法求解。即

上述兩個方程均含三個未知要素，故都無法作圖求解。

通過聯立方程，即

上述方程只有vCA和vCB兩個未知量，可解。

在多年教學實踐過程中，筆者發現，這種說法是不妥當的。在已知構件上兩點的速度（即vA和vB）后，不可認為vCA和vCB還是未知量，因為此時構件2的角速度已經求得，即ω2=vBA/lAB=abμv/AB，vCA和vCB的大小和方向也就已經知道，則有

上述兩個方程均只含有兩個未知要素，故都可作圖求解，圖解分別如圖2b）、2c）所示。

為什么如此經典的問題及解法會出現這樣的疏忽，筆者分析如下：首先傳統的兩種解法已經能滿足我們的求解要求，并且在實際操作過程中也很方便，尤其是速度影像法，尤為推崇，從而導致了大家對其他方法的探索。其次，因為機械原理課程是一門技術基礎課，相比力學等基礎課程，其理論分析不太被強調而更多地考慮了實用，即只要滿足應用需求，能解決問題就行，而沒有全面地分析考慮 該問題的所有可能解。因為教材中只提了這兩種解法，長此以往，就引起誤解，許多人以為只能這樣求解，甚至有些教材書上也給出了武斷錯誤的結論。

這里對C點運動速度的求解方法做出詳細解釋和補充說明，目的有二：一是更正不妥的說法，二是對求解方法做出補充，提出新的解法，即除了傳統的兩種解法之外，還可利用和這兩個矢量方程分別進行求解。

4 結語

平面機構的運動分析是《機械原理》課程的重點教學內容，矢量方程圖解法是其教學難點，對于其基本原理和求解方法，應做到概念明確和思路清晰。新補充的解法不僅僅是對原有求解方法的補充和完善，更是對原有求解方法的更正，避免錯誤的長期存在。尤其是作為教材，更不能起到誤導的作用。

引例所述問題的具體求解方法總結如下：已知構件上兩點的速度（如圖1中構件2）后，求其上其他任一點速度的求解方法有四種，即傳統的聯立方程求解和利用速度影像法求解；還可以利用本文提出的和這兩個矢量方程分別進行求解。

參考文獻

[1] 孫桓.機械原理[M].7版.高等教育出版社，2006.

[2] 魏兵.機械原理[M].華中科技大學出版社，2007.

[3] 江帆.機械原理[M].機械工業出版社，2013.

[4] 鄒慧君.機械原理[M].高等教育出版社，1999.

[5] 王新華.高等機械設計[M].化學工業出版社，2013.endprint