軟繩下滑問題的研究

邱偉

摘 要：該文擬討論軟繩在非光滑面上下滑過程中轉角處的摩擦力是否可以忽略， 經研究發現轉角雖然很小但彈力并不小，所產生的摩擦力足可以與平面相比，摩擦力做功也不小，忽略轉角處摩擦力做功，計算出的速度明顯比實際速度大；另外在研究光滑面上軟繩下滑過程中繩的長度與速度的關系時，根據所研究問題的側重點不同，將面視為無摩擦力的完全理想化情況，本文運用微圓法、能量守恒定律和牛頓第二定律等對問題進行深入的分析。

關鍵詞：摩擦力 桌面 軟繩 速度

中圖分類號：O313 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）09（b）-0035-03

軟繩下滑問題是力學研究中一種比較典型的問題。軟繩在下滑的問題中涉及的力學知識非常的廣，其中有牛頓的三條定律（以牛頓第二定律運用最多），在物理問題中常常運用的微圓法，還有能量守恒定律等等。從中學我們就開始接觸軟繩問題，如軟繩連接著定滑輪的問題、軟繩的自由落體運動、軟繩的重心等等，再到大學中我們所學的軟繩的一些例子，如阿特伍德機。但我們很少單獨的研究軟繩的問題，本文就以軟繩為研究對象，分析其在下滑過程中的一些情況。

1 軟繩下滑轉角處的摩擦力

1.1 軟繩在光滑的桌面上下滑

例1：如圖1所示，一根長為1 m軟繩，一部分垂在桌沿下面，一部分放在桌面上，垂下部分最大長度0.2 m，若保持靜止求其在桌面上的摩擦因數為多少；若此時稍有擾動軟繩就會滑離桌面，當軟繩全部滑出桌面時速度為多少（g取10 m/s2）。

解：據題對軟繩受力分析，如圖2、圖3所示。

設軟繩單位長度的質量為p，小繩的全長為s，在桌沿下的長為l，全部滑出桌面的速度為。

則有 （1）

（2）

（3）

根據能量守恒定律

（4）

，在上面的問題中沒有考慮轉角處的摩擦力情況，可能是考慮到轉角非常的小，在此處的摩擦力所做的功可以忽略。

例2：在桌面上放著一長為L的軟繩，繩的一端在通過小孔連接一個質量為M的物體，如圖4所示用手拉著繩使其保持靜止，然后放開讓其運動。其中繩與平面的摩擦因數為m，求當繩的尾部剛好滑到小孔時的速度。

解：對繩受力分析有如圖5所示。

設：軟繩的單位長度質量為p，則根據為能量守恒定律有：

（5）

（6）

（7）

這一結果是運用能量守恒定律，忽略在轉角處摩擦力所做的功得出的。在實際情況中有一些數據由于與所求數據相差很多，基本不影響或影響非常小，我們可以忽略不計，但對于上述問題中的轉角處的摩擦力我們是否可以將其視作小量而忽略，我們引入下一個例題來證明。看其是否可以忽略轉角處的摩擦力，若不能忽略，轉角處的摩擦力影響是否很大？

1.2 軟繩在滑輪上下滑

有一條輕繩繞在半徑為R的圓柱上，繩子與圓柱間的摩擦力為，繩子與圓柱接觸的圓心角為，設其一段繩的拉力為另一端為，當其平衡時與的關系（見圖1）。

據題設一個小單位弧長，小單位角為，受力分析則有：

據受力分析圖我們可以得到（見圖7）：

（8）

（9）

（10），因為無限的趨近于0，所以有，，則有：

（11）

（12）

忽略二階小量，整理得：

（13）

（14）

（15）

從這個習題我們可以看出在轉角處的摩擦力是不能夠忽略的，而且在轉角處的摩擦力的作用非常的大。在實際生活中有很多證明轉角處摩擦很大的實例，用一個很小的力拽住大負荷，例如拴著一頭牛只要很小的力拽住另一端即可將繩索固定，如圖所示，牛對繩提供T0的拉力，繩與柱的摩擦力為，為使牛不能脫離，所用的最小拉力多大？解：根據題意受力分析如圖8所示

根據牛頓第二定律有

（16）

（17）

根據上題的方法，忽略二階小量我們可以直接得出（18），當繩在圓柱上拴上兩圈，，，則用時，就可以抵抗另一端的力。由上述的例題證明，轉角處的摩擦力是不可以忽略的。將桌子的直角部分視為四分之一圓的弧形，和上面的習題一樣，運用微圓法，根據牛頓第二定律，設在圓弧上的摩擦因數為，在聯系例1有如圖9所示。

解：根據例題1有：

（19）

在根據我們上面對軟繩在滑輪上下滑的公式有（20），在將（19）式帶入（20）式有（21），（22），（23） 在這個方程中我們很難求出摩擦因數，但可以運用計算機，采取逐漸逼近的方法，求出摩擦因數。對比桌面上的摩擦力，我們可以看出，轉角處的摩擦因數只比桌面上的摩擦因數小0.038，所以轉角處的摩擦力不能忽略。可以看出我們上面所做的例題1和例題2是錯誤的。

1.3 小結

轉角雖然很小，但彈力并不小；所產生的摩擦力足可以與平面相比。

同樣的原因也說明轉角雖然小但摩擦力做功并不小，忽略轉角處摩擦力做功，計算出的速度明顯比實際速度大。

2 軟繩在光滑的物體上下滑過程中的速度與長度的關系

2.1 軟繩在光滑的桌面上下滑

在軟繩下滑的過程中，在各個時刻的速度是不一樣，現在我們討論在一些，軟繩下滑到一些特殊的長度時它的速度和加速度。

均勻鏈條從光滑的桌面上下滑，其中繩長為L，長為b的一段下垂，軟繩從靜止開始下滑，軟繩的下滑規律，軟繩滑出桌面的時間和速度。

解：以桌面為坐標原點取向下的方向為正方向做直角坐標系有如圖10所示。

設：軟繩的單位長度質量為p。

則有軟繩的總質量為，軟繩下垂到時，下垂部分的質量為受到的重力為，水平部分與下垂部分的作用力為，根據牛頓第二定律有

（24）

（25）

（26）

（27）

積分得，當時，，則帶入上式（28），將其帶入，得（29），根據初始條件和積分公式可以得出（30），則全部滑落的時間為（31），下滑的速度為（32），由上面的例題我們可以得出軟繩在光滑的桌面上下滑任意長度時軟繩的速度公式。我們只需知道其長度和其下垂部分的長度L和b就可以求速度，其中y是軟繩下滑的到以桌面為原點的長度。當其全部下滑時y=L，軟繩做自由落體運動。

2.2 軟繩從光滑的定滑輪上下滑

一根粗細均勻長為2L的軟繩，放在光滑的定滑輪上，一面長為L，另一面長為L，給繩施加一個微小的擾動，軟繩從靜止開始下滑，問繩的下滑規律，軟繩滑離定滑輪的瞬間其速度。

解：解這類問題我們可以利用牛頓第二定律，類似與上題，設下滑了X，軟繩的單位質量密度為。則在下滑的過程中一部分的質量，，滑輪左右兩邊的相互作用力為

· （33）

（34）

（35）

帶入上式 我們可以直接求出軟繩下滑過程中速度與長度（36），當軟繩的一個端點剛好滑離圖釘時軟繩的速度為（將X=L帶入（36）式）（37）方法二：（能量守恒）（38）由上題的解我們知道繩從定滑輪上下滑時它的速度與繩長度的關系為其中X為軟繩從一端運動到另一端的長度。同桌面一樣當其全部滑落時做自由落體運動。上述的兩道題我們都是在光滑的平面上討論軟繩下滑問題，可以看出繩的下滑速度與繩長的分布有直接關系。這也是由于繩的不可伸長的特征所決定，軟繩在下滑的過程中，做變加速運動，當繩全部離開平面時，它就做我們所熟悉的自由落體運動。

2.3 小結

綜上所述的例題我們可以得出軟繩在下滑過程中長度與速度的關系，速度與其下滑的長度成正比，但當其全部下滑是軟繩就做我們所熟悉的自由落體運動。在研究的軟繩下滑速度與其長度的關系中，我們都將其為無摩擦力，無轉角處的摩擦力的完全理想化情況，如果討論繩子在有摩擦力和轉角處摩擦力的情況，我們需要大量的已知條件，這里不做深入討論。

3 結語

該文研究的軟繩下滑問題主要得出兩個結論。其一軟繩在非光滑的桌面上下滑，其轉角處的摩擦力是不可忽略的，而且在其轉角處的摩擦力很大。其二在理想情況下，軟繩在光滑物體上的下滑過程它的速度與下滑的軟繩長度有著直接的關系根據例題比較我們可以看出，速度與軟繩下滑的長度成正比，當全部滑落的時候軟繩做自由落體運動。

參考文獻

[1] 張漢壯，王文全.力學[M].北京：高等教育出版社，2009（12）：45-49.

[2] 漆安慎，杜嬋英.力學[M].2版.北京：高等教育出版社，2005，6：77-85.

[3] 曲顯林.物理通報[J].軟繩從桌面或滑輪上滑落問題的深度分析，2001（9）：94-97.

[4] 胡盤新.普通物理學（第五版）習題分析解答[M].北京：高等教育出版社，2003.1：38-41.

[5] 梁昆淼.力學（上冊）[M].人民教育出版社，1978，12：124-127.

則有軟繩的總質量為，軟繩下垂到時，下垂部分的質量為受到的重力為，水平部分與下垂部分的作用力為，根據牛頓第二定律有

（24）

（25）

（26）

（27）

積分得，當時，，則帶入上式（28），將其帶入，得（29），根據初始條件和積分公式可以得出（30），則全部滑落的時間為（31），下滑的速度為（32），由上面的例題我們可以得出軟繩在光滑的桌面上下滑任意長度時軟繩的速度公式。我們只需知道其長度和其下垂部分的長度L和b就可以求速度，其中y是軟繩下滑的到以桌面為原點的長度。當其全部下滑時y=L，軟繩做自由落體運動。

2.2 軟繩從光滑的定滑輪上下滑

一根粗細均勻長為2L的軟繩，放在光滑的定滑輪上，一面長為L，另一面長為L，給繩施加一個微小的擾動，軟繩從靜止開始下滑，問繩的下滑規律，軟繩滑離定滑輪的瞬間其速度。

解：解這類問題我們可以利用牛頓第二定律，類似與上題，設下滑了X，軟繩的單位質量密度為。則在下滑的過程中一部分的質量，，滑輪左右兩邊的相互作用力為

· （33）

（34）

（35）

帶入上式 我們可以直接求出軟繩下滑過程中速度與長度（36），當軟繩的一個端點剛好滑離圖釘時軟繩的速度為（將X=L帶入（36）式）（37）方法二：（能量守恒）（38）由上題的解我們知道繩從定滑輪上下滑時它的速度與繩長度的關系為其中X為軟繩從一端運動到另一端的長度。同桌面一樣當其全部滑落時做自由落體運動。上述的兩道題我們都是在光滑的平面上討論軟繩下滑問題，可以看出繩的下滑速度與繩長的分布有直接關系。這也是由于繩的不可伸長的特征所決定，軟繩在下滑的過程中，做變加速運動，當繩全部離開平面時，它就做我們所熟悉的自由落體運動。

2.3 小結

綜上所述的例題我們可以得出軟繩在下滑過程中長度與速度的關系，速度與其下滑的長度成正比，但當其全部下滑是軟繩就做我們所熟悉的自由落體運動。在研究的軟繩下滑速度與其長度的關系中，我們都將其為無摩擦力，無轉角處的摩擦力的完全理想化情況，如果討論繩子在有摩擦力和轉角處摩擦力的情況，我們需要大量的已知條件，這里不做深入討論。

3 結語

該文研究的軟繩下滑問題主要得出兩個結論。其一軟繩在非光滑的桌面上下滑，其轉角處的摩擦力是不可忽略的，而且在其轉角處的摩擦力很大。其二在理想情況下，軟繩在光滑物體上的下滑過程它的速度與下滑的軟繩長度有著直接的關系根據例題比較我們可以看出，速度與軟繩下滑的長度成正比，當全部滑落的時候軟繩做自由落體運動。

參考文獻

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[3] 曲顯林.物理通報[J].軟繩從桌面或滑輪上滑落問題的深度分析，2001（9）：94-97.

[4] 胡盤新.普通物理學（第五版）習題分析解答[M].北京：高等教育出版社，2003.1：38-41.

[5] 梁昆淼.力學（上冊）[M].人民教育出版社，1978，12：124-127.

則有軟繩的總質量為，軟繩下垂到時，下垂部分的質量為受到的重力為，水平部分與下垂部分的作用力為，根據牛頓第二定律有

（24）

（25）

（26）

（27）

積分得，當時，，則帶入上式（28），將其帶入，得（29），根據初始條件和積分公式可以得出（30），則全部滑落的時間為（31），下滑的速度為（32），由上面的例題我們可以得出軟繩在光滑的桌面上下滑任意長度時軟繩的速度公式。我們只需知道其長度和其下垂部分的長度L和b就可以求速度，其中y是軟繩下滑的到以桌面為原點的長度。當其全部下滑時y=L，軟繩做自由落體運動。

2.2 軟繩從光滑的定滑輪上下滑

一根粗細均勻長為2L的軟繩，放在光滑的定滑輪上，一面長為L，另一面長為L，給繩施加一個微小的擾動，軟繩從靜止開始下滑，問繩的下滑規律，軟繩滑離定滑輪的瞬間其速度。

解：解這類問題我們可以利用牛頓第二定律，類似與上題，設下滑了X，軟繩的單位質量密度為。則在下滑的過程中一部分的質量，，滑輪左右兩邊的相互作用力為

· （33）

（34）

（35）

帶入上式 我們可以直接求出軟繩下滑過程中速度與長度（36），當軟繩的一個端點剛好滑離圖釘時軟繩的速度為（將X=L帶入（36）式）（37）方法二：（能量守恒）（38）由上題的解我們知道繩從定滑輪上下滑時它的速度與繩長度的關系為其中X為軟繩從一端運動到另一端的長度。同桌面一樣當其全部滑落時做自由落體運動。上述的兩道題我們都是在光滑的平面上討論軟繩下滑問題，可以看出繩的下滑速度與繩長的分布有直接關系。這也是由于繩的不可伸長的特征所決定，軟繩在下滑的過程中，做變加速運動，當繩全部離開平面時，它就做我們所熟悉的自由落體運動。

2.3 小結

綜上所述的例題我們可以得出軟繩在下滑過程中長度與速度的關系，速度與其下滑的長度成正比，但當其全部下滑是軟繩就做我們所熟悉的自由落體運動。在研究的軟繩下滑速度與其長度的關系中，我們都將其為無摩擦力，無轉角處的摩擦力的完全理想化情況，如果討論繩子在有摩擦力和轉角處摩擦力的情況，我們需要大量的已知條件，這里不做深入討論。

3 結語

該文研究的軟繩下滑問題主要得出兩個結論。其一軟繩在非光滑的桌面上下滑，其轉角處的摩擦力是不可忽略的，而且在其轉角處的摩擦力很大。其二在理想情況下，軟繩在光滑物體上的下滑過程它的速度與下滑的軟繩長度有著直接的關系根據例題比較我們可以看出，速度與軟繩下滑的長度成正比，當全部滑落的時候軟繩做自由落體運動。

參考文獻

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