關于線性代數(shù)中的三類反問題研究

程 國,劉亞亞,李 超

(商洛學院 數(shù)學與計算機應用學院，陜西商洛 726000)

線性代數(shù)是高等院校理工、經(jīng)管類專業(yè)的一門重要的公共必修課，也是全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試中必考的數(shù)學課程之一。它的基本內(nèi)容是以矩陣為工具，研究向量空間，主要分為兩部分：一部分是基本工具，如矩陣、行列式、線性方程組、多項式、二次型等；另一部分是研究線性空間的代數(shù)結構[1]。學好這些理論的每一個正面問題是非常重要的，而這些理論中某些問題的反問題，在現(xiàn)行經(jīng)典教材中均沒有涉及，但是卻成為近年來考研數(shù)學的一個熱點問題。很多學者都對線性代數(shù)中的反問題進行了研究。劉學鵬[2]討論了線性變換及矩陣對角化的反問題；田立平等[3]研究了行列式和矩陣中的反問題；石永芳[4]對已知線性變換在給定基下的矩陣反求線性變換等幾個反問題給出了求解過程；雍龍泉[5]研究了幾類矩陣的反問題；陳興同[6]討論了矩陣秩和矩陣方程的反問題；張利兵[7]也討論了方陣對角化的反問題。反問題的出現(xiàn)是教與學中的一個難點，研究反問題對理解線性代數(shù)中的基本概念和理論，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力方面有著積極的作用。本文就線性代數(shù)中線性方程組、特征值與特征向量、二次型中的幾類典型反問題給出了原理證明和求解方法。

1 線性方程組中的反問題

線性方程組[8]是線性代數(shù)的核心內(nèi)容之一。通常都是給定線性方程組，根據(jù)求解理論求出方程組的通解，還可以考慮它的反問題?！?br>