泰勒定理論證函數(shù)性態(tài)的教學(xué)研究

張建軍+王玉琢+楊美妮

摘 要：該文從一個新的角度研究了高等數(shù)學(xué)中泰勒定理的本質(zhì)，通過典型實(shí)例闡述了泰勒公式對函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)之間有機(jī)聯(lián)系的深入刻畫及運(yùn)用其論證函數(shù)性態(tài)的要點(diǎn)，進(jìn)而幫助學(xué)生更深入地理解并掌握泰勒定理這一教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：泰勒定理 泰勒公式 函數(shù)的性態(tài) 有界性

中圖分類號：O172 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）09（b）-0148-02

泰勒定理是高等數(shù)學(xué)中微分學(xué)研究函數(shù)性態(tài)的主要定理，堪稱教學(xué)的重中之重，也是真正的難點(diǎn)。對于大多數(shù)學(xué)生來說，定理的形式極為抽象，理解起來有難度。其實(shí)，泰勒公式就是一個用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的一個公式，即如果函數(shù)足夠光滑的話，在已知函數(shù)在某點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，泰勒公式就可以借助這些導(dǎo)數(shù)值作為系數(shù)構(gòu)建一個多項式來近似函數(shù)在這一點(diǎn)的鄰域中的值；泰勒公式還給出了該多項式的值與實(shí)際的函數(shù)值之間的偏差。

但是，只有理解好泰勒定理，才能用泰勒公式去研究函數(shù)的性態(tài)。其實(shí)，從本質(zhì)上又不難看到，泰勒定理刻畫了一個事實(shí)，即一個足夠光滑的函數(shù)，該函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)之間存在一種有機(jī)的聯(lián)系；而這一聯(lián)系，是通過泰勒公式刻畫的。使學(xué)生理解了這一點(diǎn)，運(yùn)用泰勒公式進(jìn)行函數(shù)性態(tài)的相關(guān)討論往往就能化難為易。

教學(xué)中教員往往強(qiáng)調(diào)了泰勒公式在函數(shù)值的近似計算、極限的計算等方面的應(yīng)用，對于直接運(yùn)用泰勒公式研究函數(shù)的基本性態(tài)則涉及較少。且這些應(yīng)用往往并不從其本質(zhì)出發(fā)，因而學(xué)生遇到涉及函數(shù)性態(tài)的問題往往覺得難以下手。該文結(jié)合我們長期以來在各級教學(xué)和數(shù)學(xué)競賽指導(dǎo)中對泰勒公式教學(xué)的研究心得，通過典型實(shí)例闡明運(yùn)用泰勒定理論證函數(shù)性態(tài)的要點(diǎn)及其教學(xué)方法。

1 泰勒定理與函數(shù)的性態(tài)

泰勒定理的一般形式如下：若函數(shù)在上存在直至階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，則對于，在與之間至少存在一點(diǎn)，使得

，（1）

其中，稱為拉格朗日型余項。

從本質(zhì)上而言，Taylor公式（1）描述了一個“足夠光滑的”函數(shù)在處的函數(shù)值、各階導(dǎo)數(shù)值之間的一種有機(jī)聯(lián)系，這就使得該公式在討論函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的基本性態(tài)（比如“有界性”等）時具有非常重要的作用。

泰勒公式的物理意義可以幫助學(xué)生加深對上述本質(zhì)的理解。在式（1）中，如果用表示時刻時質(zhì)點(diǎn)的位移，則左側(cè)代表質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律；如僅取右端前三項，則代表質(zhì)點(diǎn)的初始位移，則代表其初始速度，代表初始加速度，右端刻畫了運(yùn)動，與左端刻畫的運(yùn)動相比，二者至少在初始時刻，對應(yīng)的位移、速度和加速度都一樣。因此，如果將左端的理解為質(zhì)點(diǎn)“本來的”運(yùn)動，而將右端理解為“估計的”運(yùn)動，則當(dāng)時對應(yīng)的泰勒公式既可以視為在時刻附近對所代表運(yùn)動的一種近似刻畫；更根本地，它也表明了該質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度等重要運(yùn)動特征的有機(jī)聯(lián)系。至于拉格朗日型余項則代表了這種對位移作“近似刻畫”的偏差，這只是由于忽略了更高層次的運(yùn)動形式所致。對于更高階形式的泰勒公式，教員也可以作類似的闡釋。實(shí)踐表明，上述做法能吸引學(xué)生的興趣，收到好的教學(xué)效果。

理解了泰勒定理的本質(zhì)，運(yùn)用它進(jìn)行相關(guān)問題的論證就水到渠成了。我們在教學(xué)實(shí)踐中還通過對函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的有界性等基本性態(tài)的討論，來深化學(xué)生對上述本質(zhì)的理解，使學(xué)生能用泰勒公式去化解實(shí)際問題中的困難，化難為易，“內(nèi)化”對其本質(zhì)的理解。

2 運(yùn)用泰勒定理論證與“有界性”相關(guān)的問題

為讓學(xué)生更好地理解并掌握泰勒定理，我們通過習(xí)題課，精心選擇典型實(shí)例，來闡述Taylor公式在研究函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)基本性態(tài)方面的應(yīng)用及解題要點(diǎn)。

例1設(shè)函數(shù)在內(nèi)二階可導(dǎo)，且和在內(nèi)有界，證明：在內(nèi)有界。

分析：教員首先分析，解題的關(guān)鍵在于如何選取公式（1）中的和，將中與、之間的關(guān)系揭示出來。

證明：依題意，存在，使得，均有

。

由于函數(shù)在任意有限區(qū)間滿足泰勒定理的條件，因此，在泰勒公式中將和分別取為和，可得

，

其中，。由上式可得，故

，即在內(nèi)也有界。

將例1說明白講透徹，就能使學(xué)員意識到，一個足夠光滑的函數(shù)，刻畫其性態(tài)的、和之間竟然還有如此密切的關(guān)系。進(jìn)一步，教員再問：如果更光滑、在內(nèi)三階可導(dǎo)，又有什么類似的結(jié)果呢？教員再適時出示如下問題。

例2設(shè)函數(shù)在內(nèi)三階可導(dǎo)，且和在內(nèi)有界，證明：和在內(nèi)均有界。

分析：希望像例1那樣通過泰勒公式刻畫、、和之間的關(guān)系，但根據(jù)問題的特點(diǎn)，需要分別將中與、之間以及與、之間的關(guān)系揭示出來。因此，解題的難點(diǎn)在于如何獲取這種關(guān)系，即如何選取泰勒公式中的“特殊點(diǎn)”和，以分別得到和的“合適的”表達(dá)式。

證明：依題意，存在，使得，均有

。

由于函數(shù)在任意有限區(qū)間滿足泰勒定理的條件，因此，在泰勒公式中將和分別取為和，可得

，

再在泰勒公式中將和分別取為和，可得

。

兩式相加，整理可得

，從而就有

。

類似地將兩式相減，最后可得。

上述兩式表明，和在內(nèi)均有界。

通過例2的進(jìn)一步強(qiáng)化，就能使學(xué)生對泰勒公式本質(zhì)的認(rèn)識進(jìn)一步“內(nèi)化”，對如何用運(yùn)用泰勒公式研究函數(shù)性態(tài)有了進(jìn)一步的認(rèn)識。

在“定性”描述的基礎(chǔ)上，還可以進(jìn)一步設(shè)問：如果我們“定量”給出和在內(nèi)的上確界，那么，的上確界又有什么特點(diǎn)呢？接著，教員再出示如下問題。

例3設(shè)為二次可微函數(shù)，且，

試證：，

且。

分析：大多數(shù)學(xué)生仍想按例1的解題思路解本題，但照搬例1的過程，好象不行。那么，教員應(yīng)適時啟發(fā)學(xué)生，能否同時從例2得到啟示，為證明該結(jié)論提供“更多”的信息呢？endprint

證明：依題意，，

有，

其中；同時還有，其中。

兩式相減并整理，就有

，

從而

，

上式表明，

均成立，故上述的二次三項式之判別式必非正，即，故，且。

這樣，一層更進(jìn)一層，通過定性和定量兩方面的論證強(qiáng)化了學(xué)生對于函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)間有機(jī)聯(lián)系的理解；同時，給學(xué)有余力的學(xué)生留下進(jìn)一步思考的問題：如果函數(shù)在無限區(qū)間內(nèi)具有更高階導(dǎo)數(shù)，又能得到怎樣的結(jié)論？通過上述教與學(xué)的過程，不僅加深了學(xué)生對于泰勒定理的理解，對函數(shù)性態(tài)的認(rèn)識也不斷上升到新的高度，學(xué)活了知識，也用活了知識。

最后，教員還可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維，要求它們考慮：如果考慮有限區(qū)間，又應(yīng)如何處理？請學(xué)生思考下邊的例子。

例4設(shè)函數(shù)在上有二階導(dǎo)數(shù)，且時，，試證：當(dāng)時，。

分析：大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為，應(yīng)該像例1那樣論證，教員也可適時啟發(fā)學(xué)生：能否直接用例1的過程或結(jié)論呢？確實(shí)，由例1的結(jié)論，可知，似乎可行，但這是不正確的。因?yàn)槔?針對的是無限區(qū)間，論證過程不再適用，結(jié)論當(dāng)然就不能照搬。同樣，例3的結(jié)論也不能直接用于有限區(qū)間。

證明：由于函數(shù)在上滿足泰勒定理的條件，因此在泰勒公式中將和分別取為和1，可得

，

再在泰勒公式中將和分別取為和0，可得

，

兩式相減，可得

，從而就有

。

通過本題的分析和論證，使學(xué)生明白了，將區(qū)間從換為，好像只是量的變化，但問題證明的方式就發(fā)生了質(zhì)變，要有辯證的和發(fā)散的思維。

為檢驗(yàn)教學(xué)效果，我們提出以下問題考察學(xué)生：設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，，試證：，有。事實(shí)證明，大部分學(xué)生都能迎刃而解，泰勒公式的本質(zhì)這個知識點(diǎn)得到了“內(nèi)化”。

泰勒定理論證函數(shù)性態(tài)的教學(xué)研究的實(shí)踐表明，上述做法能幫助學(xué)生更好地掌握泰勒定理這一教學(xué)的難點(diǎn)，同時鼓勵學(xué)員在論證問題中辯證地思維，提高其運(yùn)用該知識點(diǎn)研究函數(shù)性態(tài)和進(jìn)行理論論證的能力，使得知識不斷內(nèi)化成學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這正是教學(xué)改革的基本要求。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2] 國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)競賽指導(dǎo)組.大學(xué)數(shù)學(xué)競賽指導(dǎo)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009.

[3] 孫洪祥.高等數(shù)學(xué)難題解題方法選講[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003.endprint

證明：依題意，，

有，

其中；同時還有，其中。

兩式相減并整理，就有

，

從而

，

上式表明，

均成立，故上述的二次三項式之判別式必非正，即，故，且。

這樣，一層更進(jìn)一層，通過定性和定量兩方面的論證強(qiáng)化了學(xué)生對于函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)間有機(jī)聯(lián)系的理解；同時，給學(xué)有余力的學(xué)生留下進(jìn)一步思考的問題：如果函數(shù)在無限區(qū)間內(nèi)具有更高階導(dǎo)數(shù)，又能得到怎樣的結(jié)論？通過上述教與學(xué)的過程，不僅加深了學(xué)生對于泰勒定理的理解，對函數(shù)性態(tài)的認(rèn)識也不斷上升到新的高度，學(xué)活了知識，也用活了知識。

最后，教員還可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維，要求它們考慮：如果考慮有限區(qū)間，又應(yīng)如何處理？請學(xué)生思考下邊的例子。

例4設(shè)函數(shù)在上有二階導(dǎo)數(shù)，且時，，試證：當(dāng)時，。

分析：大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為，應(yīng)該像例1那樣論證，教員也可適時啟發(fā)學(xué)生：能否直接用例1的過程或結(jié)論呢？確實(shí)，由例1的結(jié)論，可知，似乎可行，但這是不正確的。因?yàn)槔?針對的是無限區(qū)間，論證過程不再適用，結(jié)論當(dāng)然就不能照搬。同樣，例3的結(jié)論也不能直接用于有限區(qū)間。

證明：由于函數(shù)在上滿足泰勒定理的條件，因此在泰勒公式中將和分別取為和1，可得

，

再在泰勒公式中將和分別取為和0，可得

，

兩式相減，可得

，從而就有

。

通過本題的分析和論證，使學(xué)生明白了，將區(qū)間從換為，好像只是量的變化，但問題證明的方式就發(fā)生了質(zhì)變，要有辯證的和發(fā)散的思維。

為檢驗(yàn)教學(xué)效果，我們提出以下問題考察學(xué)生：設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，，試證：，有。事實(shí)證明，大部分學(xué)生都能迎刃而解，泰勒公式的本質(zhì)這個知識點(diǎn)得到了“內(nèi)化”。

泰勒定理論證函數(shù)性態(tài)的教學(xué)研究的實(shí)踐表明，上述做法能幫助學(xué)生更好地掌握泰勒定理這一教學(xué)的難點(diǎn)，同時鼓勵學(xué)員在論證問題中辯證地思維，提高其運(yùn)用該知識點(diǎn)研究函數(shù)性態(tài)和進(jìn)行理論論證的能力，使得知識不斷內(nèi)化成學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這正是教學(xué)改革的基本要求。

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[2] 國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)競賽指導(dǎo)組.大學(xué)數(shù)學(xué)競賽指導(dǎo)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009.

[3] 孫洪祥.高等數(shù)學(xué)難題解題方法選講[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003.endprint

證明：依題意，，

有，

其中；同時還有，其中。

兩式相減并整理，就有

，

從而

，

上式表明，

均成立，故上述的二次三項式之判別式必非正，即，故，且。

這樣，一層更進(jìn)一層，通過定性和定量兩方面的論證強(qiáng)化了學(xué)生對于函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)間有機(jī)聯(lián)系的理解；同時，給學(xué)有余力的學(xué)生留下進(jìn)一步思考的問題：如果函數(shù)在無限區(qū)間內(nèi)具有更高階導(dǎo)數(shù)，又能得到怎樣的結(jié)論？通過上述教與學(xué)的過程，不僅加深了學(xué)生對于泰勒定理的理解，對函數(shù)性態(tài)的認(rèn)識也不斷上升到新的高度，學(xué)活了知識，也用活了知識。

最后，教員還可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維，要求它們考慮：如果考慮有限區(qū)間，又應(yīng)如何處理？請學(xué)生思考下邊的例子。

例4設(shè)函數(shù)在上有二階導(dǎo)數(shù)，且時，，試證：當(dāng)時，。

分析：大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為，應(yīng)該像例1那樣論證，教員也可適時啟發(fā)學(xué)生：能否直接用例1的過程或結(jié)論呢？確實(shí)，由例1的結(jié)論，可知，似乎可行，但這是不正確的。因?yàn)槔?針對的是無限區(qū)間，論證過程不再適用，結(jié)論當(dāng)然就不能照搬。同樣，例3的結(jié)論也不能直接用于有限區(qū)間。

證明：由于函數(shù)在上滿足泰勒定理的條件，因此在泰勒公式中將和分別取為和1，可得

，

再在泰勒公式中將和分別取為和0，可得

，

兩式相減，可得

，從而就有

。

通過本題的分析和論證，使學(xué)生明白了，將區(qū)間從換為，好像只是量的變化，但問題證明的方式就發(fā)生了質(zhì)變，要有辯證的和發(fā)散的思維。

為檢驗(yàn)教學(xué)效果，我們提出以下問題考察學(xué)生：設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，，試證：，有。事實(shí)證明，大部分學(xué)生都能迎刃而解，泰勒公式的本質(zhì)這個知識點(diǎn)得到了“內(nèi)化”。

泰勒定理論證函數(shù)性態(tài)的教學(xué)研究的實(shí)踐表明，上述做法能幫助學(xué)生更好地掌握泰勒定理這一教學(xué)的難點(diǎn)，同時鼓勵學(xué)員在論證問題中辯證地思維，提高其運(yùn)用該知識點(diǎn)研究函數(shù)性態(tài)和進(jìn)行理論論證的能力，使得知識不斷內(nèi)化成學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這正是教學(xué)改革的基本要求。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2] 國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)競賽指導(dǎo)組.大學(xué)數(shù)學(xué)競賽指導(dǎo)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009.

[3] 孫洪祥.高等數(shù)學(xué)難題解題方法選講[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003.endprint