泰勒定理論證函數性態的教學研究

張建軍+王玉琢+楊美妮

摘 要：該文從一個新的角度研究了高等數學中泰勒定理的本質，通過典型實例闡述了泰勒公式對函數及其各階導數之間有機聯系的深入刻畫及運用其論證函數性態的要點，進而幫助學生更深入地理解并掌握泰勒定理這一教學重點和難點。

關鍵詞：泰勒定理 泰勒公式 函數的性態 有界性

中圖分類號：O172 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）09（b）-0148-02

泰勒定理是高等數學中微分學研究函數性態的主要定理，堪稱教學的重中之重，也是真正的難點。對于大多數學生來說，定理的形式極為抽象，理解起來有難度。其實，泰勒公式就是一個用函數在某點的信息描述其附近取值的一個公式，即如果函數足夠光滑的話，在已知函數在某點的各階導數值的情況之下，泰勒公式就可以借助這些導數值作為系數構建一個多項式來近似函數在這一點的鄰域中的值；泰勒公式還給出了該多項式的值與實際的函數值之間的偏差。

但是，只有理解好泰勒定理，才能用泰勒公式去研究函數的性態。其實，從本質上又不難看到，泰勒定理刻畫了一個事實，即一個足夠光滑的函數，該函數及其各階導數之間存在一種有機的聯系；而這一聯系，是通過泰勒公式刻畫的。使學生理解了這一點，運用泰勒公式進行函數性態的相關討論往往就能化難為易。

教學中教員往往強調了泰勒公式在函數值的近似計算、極限的計算等方面的應用，對于直接運用泰勒公式研究函數的基本性態則涉及較少。且這些應用往往并不從其本質出發，因而學生遇到涉及函數性態的問題往往覺得難以下手。該文結合我們長期以來在各級教學和數學競賽指導中對泰勒公式教學的研究心得，通過典型實例闡明運用泰勒定理論證函數性態的要點及其教學方法。

1 泰勒定理與函數的性態

泰勒定理的一般形式如下：若函數在上存在直至階的連續導函數，在內存在階導函數，則對于，在與之間至少存在一點，使得

，（1）

其中，稱為拉格朗日型余項。

從本質上而言，Taylor公式（1）描述了一個“足夠光滑的”函數在處的函數值、各階導數值之間的一種有機聯系，這就使得該公式在討論函數及其各階導數的基本性態（比如“有界性”等）時具有非常重要的作用。

泰勒公式的物理意義可以幫助學生加深對上述本質的理解。在式（1）中，如果用表示時刻時質點的位移，則左側代表質點的運動規律；如僅取右端前三項，則代表質點的初始位移，則代表其初始速度，代表初始加速度，右端刻畫了運動，與左端刻畫的運動相比，二者至少在初始時刻，對應的位移、速度和加速度都一樣。因此，如果將左端的理解為質點“本來的”運動，而將右端理解為“估計的”運動，則當時對應的泰勒公式既可以視為在時刻附近對所代表運動的一種近似刻畫；更根本地，它也表明了該質點的位移、速度、加速度等重要運動特征的有機聯系。至于拉格朗日型余項則代表了這種對位移作“近似刻畫”的偏差，這只是由于忽略了更高層次的運動形式所致。對于更高階形式的泰勒公式，教員也可以作類似的闡釋。實踐表明，上述做法能吸引學生的興趣，收到好的教學效果。

理解了泰勒定理的本質，運用它進行相關問題的論證就水到渠成了。我們在教學實踐中還通過對函數及其各階導數的有界性等基本性態的討論，來深化學生對上述本質的理解，使學生能用泰勒公式去化解實際問題中的困難，化難為易，“內化”對其本質的理解。

2 運用泰勒定理論證與“有界性”相關的問題

為讓學生更好地理解并掌握泰勒定理，我們通過習題課，精心選擇典型實例，來闡述Taylor公式在研究函數及其各階導數基本性態方面的應用及解題要點。

例1設函數在內二階可導，且和在內有界，證明：在內有界。

分析：教員首先分析，解題的關鍵在于如何選取公式（1）中的和，將中與、之間的關系揭示出來。

證明：依題意，存在，使得，均有

。

由于函數在任意有限區間滿足泰勒定理的條件，因此，在泰勒公式中將和分別取為和，可得

，

其中，。由上式可得，故

，即在內也有界。

將例1說明白講透徹，就能使學員意識到，一個足夠光滑的函數，刻畫其性態的、和之間竟然還有如此密切的關系。進一步，教員再問：如果更光滑、在內三階可導，又有什么類似的結果呢？教員再適時出示如下問題。

例2設函數在內三階可導，且和在內有界，證明：和在內均有界。

分析：希望像例1那樣通過泰勒公式刻畫、、和之間的關系，但根據問題的特點，需要分別將中與、之間以及與、之間的關系揭示出來。因此，解題的難點在于如何獲取這種關系，即如何選取泰勒公式中的“特殊點”和，以分別得到和的“合適的”表達式。

證明：依題意，存在，使得，均有

。

由于函數在任意有限區間滿足泰勒定理的條件，因此，在泰勒公式中將和分別取為和，可得

，

再在泰勒公式中將和分別取為和，可得

。

兩式相加，整理可得

，從而就有

。

類似地將兩式相減，最后可得。

上述兩式表明，和在內均有界。

通過例2的進一步強化，就能使學生對泰勒公式本質的認識進一步“內化”，對如何用運用泰勒公式研究函數性態有了進一步的認識。

在“定性”描述的基礎上，還可以進一步設問：如果我們“定量”給出和在內的上確界，那么，的上確界又有什么特點呢？接著，教員再出示如下問題。

例3設為二次可微函數，且，

試證：，

且。

分析：大多數學生仍想按例1的解題思路解本題，但照搬例1的過程，好象不行。那么，教員應適時啟發學生，能否同時從例2得到啟示，為證明該結論提供“更多”的信息呢？endprint

證明：依題意，，

有，

其中；同時還有，其中。

兩式相減并整理，就有

，

從而

，

上式表明，

均成立，故上述的二次三項式之判別式必非正，即，故，且。

這樣，一層更進一層，通過定性和定量兩方面的論證強化了學生對于函數各階導數間有機聯系的理解；同時，給學有余力的學生留下進一步思考的問題：如果函數在無限區間內具有更高階導數，又能得到怎樣的結論？通過上述教與學的過程，不僅加深了學生對于泰勒定理的理解，對函數性態的認識也不斷上升到新的高度，學活了知識，也用活了知識。

最后，教員還可進一步引導學生進行發散思維，要求它們考慮：如果考慮有限區間，又應如何處理？請學生思考下邊的例子。

例4設函數在上有二階導數，且時，，試證：當時，。

分析：大多數學生認為，應該像例1那樣論證，教員也可適時啟發學生：能否直接用例1的過程或結論呢？確實，由例1的結論，可知，似乎可行，但這是不正確的。因為例1針對的是無限區間，論證過程不再適用，結論當然就不能照搬。同樣，例3的結論也不能直接用于有限區間。

證明：由于函數在上滿足泰勒定理的條件，因此在泰勒公式中將和分別取為和1，可得

，

再在泰勒公式中將和分別取為和0，可得

，

兩式相減，可得

，從而就有

。

通過本題的分析和論證，使學生明白了，將區間從換為，好像只是量的變化，但問題證明的方式就發生了質變，要有辯證的和發散的思維。

為檢驗教學效果，我們提出以下問題考察學生：設在上具有二階連續導數，且，，試證：，有。事實證明，大部分學生都能迎刃而解，泰勒公式的本質這個知識點得到了“內化”。

泰勒定理論證函數性態的教學研究的實踐表明，上述做法能幫助學生更好地掌握泰勒定理這一教學的難點，同時鼓勵學員在論證問題中辯證地思維，提高其運用該知識點研究函數性態和進行理論論證的能力，使得知識不斷內化成學生的認知結構，這正是教學改革的基本要求。

參考文獻

[1] 同濟大學應用數學系.高等數學[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2] 國防科學技術大學大學數學競賽指導組.大學數學競賽指導[M].北京：清華大學出版社，2009.

[3] 孫洪祥.高等數學難題解題方法選講[M].北京：機械工業出版社，2003.endprint

證明：依題意，，

有，

其中；同時還有，其中。

兩式相減并整理，就有

，

從而

，

上式表明，

均成立，故上述的二次三項式之判別式必非正，即，故，且。

這樣，一層更進一層，通過定性和定量兩方面的論證強化了學生對于函數各階導數間有機聯系的理解；同時，給學有余力的學生留下進一步思考的問題：如果函數在無限區間內具有更高階導數，又能得到怎樣的結論？通過上述教與學的過程，不僅加深了學生對于泰勒定理的理解，對函數性態的認識也不斷上升到新的高度，學活了知識，也用活了知識。

最后，教員還可進一步引導學生進行發散思維，要求它們考慮：如果考慮有限區間，又應如何處理？請學生思考下邊的例子。

例4設函數在上有二階導數，且時，，試證：當時，。

分析：大多數學生認為，應該像例1那樣論證，教員也可適時啟發學生：能否直接用例1的過程或結論呢？確實，由例1的結論，可知，似乎可行，但這是不正確的。因為例1針對的是無限區間，論證過程不再適用，結論當然就不能照搬。同樣，例3的結論也不能直接用于有限區間。

證明：由于函數在上滿足泰勒定理的條件，因此在泰勒公式中將和分別取為和1，可得

，

再在泰勒公式中將和分別取為和0，可得

，

兩式相減，可得

，從而就有

。

通過本題的分析和論證，使學生明白了，將區間從換為，好像只是量的變化，但問題證明的方式就發生了質變，要有辯證的和發散的思維。

為檢驗教學效果，我們提出以下問題考察學生：設在上具有二階連續導數，且，，試證：，有。事實證明，大部分學生都能迎刃而解，泰勒公式的本質這個知識點得到了“內化”。

泰勒定理論證函數性態的教學研究的實踐表明，上述做法能幫助學生更好地掌握泰勒定理這一教學的難點，同時鼓勵學員在論證問題中辯證地思維，提高其運用該知識點研究函數性態和進行理論論證的能力，使得知識不斷內化成學生的認知結構，這正是教學改革的基本要求。

參考文獻

[1] 同濟大學應用數學系.高等數學[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2] 國防科學技術大學大學數學競賽指導組.大學數學競賽指導[M].北京：清華大學出版社，2009.

[3] 孫洪祥.高等數學難題解題方法選講[M].北京：機械工業出版社，2003.endprint

證明：依題意，，

有，

其中；同時還有，其中。

兩式相減并整理，就有

，

從而

，

上式表明，

均成立，故上述的二次三項式之判別式必非正，即，故，且。

這樣，一層更進一層，通過定性和定量兩方面的論證強化了學生對于函數各階導數間有機聯系的理解；同時，給學有余力的學生留下進一步思考的問題：如果函數在無限區間內具有更高階導數，又能得到怎樣的結論？通過上述教與學的過程，不僅加深了學生對于泰勒定理的理解，對函數性態的認識也不斷上升到新的高度，學活了知識，也用活了知識。

最后，教員還可進一步引導學生進行發散思維，要求它們考慮：如果考慮有限區間，又應如何處理？請學生思考下邊的例子。

例4設函數在上有二階導數，且時，，試證：當時，。

分析：大多數學生認為，應該像例1那樣論證，教員也可適時啟發學生：能否直接用例1的過程或結論呢？確實，由例1的結論，可知，似乎可行，但這是不正確的。因為例1針對的是無限區間，論證過程不再適用，結論當然就不能照搬。同樣，例3的結論也不能直接用于有限區間。

證明：由于函數在上滿足泰勒定理的條件，因此在泰勒公式中將和分別取為和1，可得

，

再在泰勒公式中將和分別取為和0，可得

，

兩式相減，可得

，從而就有

。

通過本題的分析和論證，使學生明白了，將區間從換為，好像只是量的變化，但問題證明的方式就發生了質變，要有辯證的和發散的思維。

為檢驗教學效果，我們提出以下問題考察學生：設在上具有二階連續導數，且，，試證：，有。事實證明，大部分學生都能迎刃而解，泰勒公式的本質這個知識點得到了“內化”。

泰勒定理論證函數性態的教學研究的實踐表明，上述做法能幫助學生更好地掌握泰勒定理這一教學的難點，同時鼓勵學員在論證問題中辯證地思維，提高其運用該知識點研究函數性態和進行理論論證的能力，使得知識不斷內化成學生的認知結構，這正是教學改革的基本要求。

參考文獻

[1] 同濟大學應用數學系.高等數學[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2] 國防科學技術大學大學數學競賽指導組.大學數學競賽指導[M].北京：清華大學出版社，2009.

[3] 孫洪祥.高等數學難題解題方法選講[M].北京：機械工業出版社，2003.endprint